周期函数定义再探及教学建议

李昌官

摘要：现行高中数学教材关于周期函数有两种不等价的定义，引发了一些争论。为了减少不必要的争论与困惑，从数学与现实的关系、数学本质、数学思维的严谨性、数学史、课程与教学等视角比较这两种定义的优劣。由此，得到教学建议：作为课程（教学）内容的周期函数定义应尽量统一；周期函数概念的教学应淡化形式、注重实质；周期函数概念的应用应基于实质，而不拘泥于形式；要辩证地看待数学概念界定的争议。

关键词：高中数学；周期函数；数学定义；形式与实质；辩证思维

关于周期函数定义的探讨、争论既是一个历史问题，也是一个现实问题。从历史看，自周期函數的概念产生开始，相关探讨、争论一直没有停止过。从现实看，不同版本高中数学教材关于周期函数定义的不同表达，再次引发了对此问题的探讨、争论。

一、周期函数定义争论的焦点

现行高中数学教材给出的周期函数概念在表述细节上有一些差异。这里把等价的、可以相互导出的定义归为同一类，发现不等价的周期函数定义有如下两类（人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、湘教版、沪教版的与定义1同类，鄂教版的与定义2同类）：

1.一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D且f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期。

2.一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x±T∈D且f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期。

从概念的内涵看，由定义1的“对每一个x∈D，都有x+T∈D”可知，定义域D必然无上界（T>0时）或无下界（T<0时）；由定义２的“对每一个x∈D，都有x±T∈D”可知，定义域D必然无上界且无下界。由概念的外延看，符合定义２的周期函数的集合真包含于符合定义１的周期函数的集合。

专家、学者们普遍认为，这两种定义都没有错。但它们的差异引发了一些争论，主要如下：

1.函数y=1x∈∪+∞n=1n－1，n－12n，y=x－［x］x∈∪+∞n=1n－1，n－12n等符合定义1（T=1，2，3，…），但是它们在区间n－1，n－12n（n∈N*）上的图像是不重合的，那么它们是不是周期函数？

2.周期函数的定义域D必须无上界且无下界，还是只要无上界或无下界？y=sin x（x∈［0，+∞）），y=cos x（x∈（－∞，2））等定义域单侧无界的函数是不是周期函数？

3.如果定义1与定义2都没有科学性错误，那么定义1与定义2哪一个更合适高中生学习？还是它们没有优劣之分？

二、周期函数定义探讨的几个视角

对以上争论，不同的专家、学者有不同的看法。这些争论是历史上周期函数定义争论的重演和延续。20世纪中叶，国外数学家探讨过这些问题。20世纪80年代至今，我国许多学者、教师也在探讨这些问题。这就引出一个新的问题：为何这些争论会一直延续至今？周期函数的定义是不需要统一，还是无法统一？应该从哪些视角进行探讨？

（一）数学与现实关系的视角

数学模型是以简约、近似的方式从数与形两个方面刻画现实世界的。针对不同的自然现象，人们可以构造出不同的数学模型。针对同样的自然现象，为了不同的研究目的，人们也可以构造出不同的数学模型。周期函数的定义1、定义2都可以在现实世界中找到原型。例如，人体的“生物钟”、单摆运动等各种周期性活动可看作定义1的原型，起于何时、终于何时不清楚的昼夜交替和春夏秋冬交替则可看作定义2的原型。既然定义1、定义2都可以在现实世界中找到原型，那么从理论上讲，这两个定义的确都是正确的。

（二）数学本质的视角

周期函数的本质特征是“周而复始、循环往复”，但是定义1给人的感觉是只有“往”没有“复”。另外，数学思维有一个重要的特征：最大限度地追求用一般性的概念刻画一般性的现象，用一般性的方法解决一般性的问题。比如，没有大小的点、向两端无限延伸的直线，就是这种思维方式的反映；规定一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R，也是这种思维方式的反映。生活中大量的指数函数原型问题都可以用y=ax（a>0且a≠1，x∈［0，+∞））来刻画。从这个意义上讲，把y=ax（a>0且a≠1，x∈［0，+∞））作为指数函数的定义也是合理的、正确的。人们最终选择y=ax（a>0且a≠1，x∈R）作为指数函数的定义，是因为它更具有一般性。因为数学意义上的“0”实为刻画事物基准点或分界点的模型。比如，讨论经济增长问题时，如果把2000年底作为时间x的参照点“0”，那么在模型y=ax中，1999年底对应的时间就是-1，2001年底对应的时间就是1。因此，从数学概念的一般性角度考虑，定义2可能要比定义1好一些。

（三）数学思维严谨性的视角

根据定义1，可知函数y=1

x∈∪+∞n=1

n－1，

n－12n

，y=sin xx∈∪+∞n=12（n－1）π，2n－12nπ都是周期函数，但是它们在区间n－1，n－12n（n∈N*）或2（n－1）π，2n－12nπ（n∈N*）上的图像是不重合的。这与人们头脑中的“周期函数”形象有一定的差异。而根据定义2，这几个函数都不是周期函数。鉴于数学概念是严谨的、无歧义的，因此，定义2似乎要优于定义1。

（四）数学史的视角

历史上，数学家曾给出周期函数的各种描述性定义。例如，杜尔斐（Durfee，1900）把周期函数定义为当自变量或幅角增加时重复自身的函数；帕尔默（Palmer，1914）把周期函数定义为当自变量增加一个常量时值不变的函数；莫里兹（Moritz，1915）把周期函数定义为每隔一个确定区间重复自身的曲线所表示的函数；盖伊（Gay，1935）把周期函数定义为图像由一系列形状完全相同的弧线构成的函数。20世纪中叶，数学家给出了周期函数的形式化定义。例如，德累斯顿（Dresden，1940）和夏普（Sharp，1958）分别给出了高度近似于定义1和定义2的周期函数定义。因此，从周期函数的发展史看，定义2是综合考虑包括定义1在内的各种周期函数定义后提出的。

（五）课程与教学的视角

从课程与教学的视角来审视，应该考虑怎样的周期函数定义更有利于高中生的学习。从高中生以及教师反映的情况看，定义1给他们带来了不必要的困惑。另外，高中生是以周而复始、循环往复的客观现象，以及正弦函数、余弦函数、正切函数为原型，认识、建构周期函数概念的，这些原型都是双向无界（延伸）的。从课程与教学的视角，至少从周期函数学习的初始阶段看，定义2比定义1更适宜于高中学生的学习。

当然，定义2不是没有缺点。例如，它会把y=sin x（x∈［0，+∞））等函数排除在周期函数外。采用定义1会使周期函数具有更强的包容性，也许更有利于周期函数的应用。对此，许多学者和教师都有深入的探讨。作为高中数学的课程（教学）内容，如何定义周期函数不是一个简单的对错问题，而是一个怎样做更有利于学生学习的问题，是一个“没有最好，只有更好”的考量。

三、周期函数教学建议

（一）作为课程（教学）内容的周期函数定义应尽量统一

每个概念都是以下两者的统一体：对象或关系的集合（概念的外延），这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的性质特征（概念的内涵）。数学中的实质定义是：“给出准则构建一个集合A，如果利用这个准则，对任何元素x，都能明确判断x∈A还是x∈AC，则称这个准则为定义，A是这个定义对应的集合。”尽管一个数学概念可以有多种定义方式，但是它们之间必须是等价的。例如，我们可以从用平面截圆锥、到两个定点的距离之和、到定点的距离与到定直线的距离之比、与两个定点连线的斜率之积、与圆的关系等不同角度定义椭圆，但是这些定义是可以相互导出的。任意角三角函数的单位圆定义和终边上点的坐标定义也是可以相互导出的。从学生的认知发展阶段（辩证思维还比较弱）和高中教育的实际看，把不等价的定义1、定义2分别作为不同版本教材的内容提供给高中生学习是不大合适的。而且，现在越来越多的省（直辖市、自治区）采用教育部考试中心命制的高考试卷。如果有一天，学习定义1的学生与学习定义2的学生在同一张高考数学试卷中遇到相同的周期函数方面的试题，那么他们是否应该分别依据定义1和定义2思考和作答？

（二）周期函数概念的教学应淡化形式、注重实质

高中周期函数概念是正弦函数、余弦函数、正切函数性质的推广（一般化）。教學时，应明确其如下特点：一是周而复始、循环往复；二是定义域不一定是实数集R，也不一定连续。在此基础上，周期函数概念的教学应淡化形式、注重实质。正如我们把y=sin x（x∈R）叫作正弦函数，但没有必要纠缠于y=sin x（x∈［0，+∞）），y=sin x（x∈［0，100π））是不是正弦函数。类似地，除非学生提出，否则，教师没有必要让学生讨论y=sin x（x∈［0，+∞）），y=1x∈∪+∞n=1n－1，n－12n等是不是周期函数，命题与评价更应避开此类问题。因为这两个函数是不是周期函数，取决于人们如何定义周期函数。应认识到，数学概念是多样的、变化的、发展的。例如，高中阶段学生只学习和讨论单值函数，而大学阶段学生还要学习和讨论多值函数。因此，学生现在学的是符合他们认知基础、认知特点，为解决特定类型的问题而定义的周期函数，而不是要囊括一切的周期函数。

（三）周期函数概念的应用应基于实质，而不拘泥于形式

有教师担心，现实中的许多周期性问题是“单向的”，采用“双向的”周期函数定义（定义2），把它们排除在周期函数外，会影响周期函数概念在实际生活中的运用。这种担心是完全不必要的。我们有没有因为正比例函数、指数函数的定义域是实数集（“双向的”），而影响它们在实际生活中的应用呢？完全没有。周期函数也一样。利用周期函数解决实际问题时，我们应基于其“周而复始、循环往复”的实质，没有必要拘泥于其形式而“作茧自缚”。类似于把y=kx（k≠0，x∈N*）看作正比例型函数，把y=kax（k≠0；a>0且a≠1）看作指数型函数，同样可以把y=sin x（x∈［0，+∞）），y=cos x（x∈（－∞，2））等看作周期型函数，并利用其“周期性”解决实际问题。因为数学模型总是简约、近似地刻画现实世界；“只要数学的命题涉及实在，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”。

（四）要辩证地看待数学概念界定的争议

对同一个数学概念有不同的看法是完全正常的。例如，有的数学家认为0应作为自然数，有的数学家则持相反意见。中华人民共和国成立后，相当长的一段时间内，我国的中小学数学教材都规定自然数不包括0。鉴于规定0为自然数利大于弊，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准（GB3102—1993）》（有关“量和单位”）规定自然数包括0。从自然数、周期函数等看似非常简单的数学概念的争论中，我们可以看到：数学是人的知识，是可误的、可以争论的；数学是崇尚精益求精、追求至善至美的；数学概念是长期进化、优胜劣汰的结果，也是权衡各种利弊、艰难选择的结果。通过这种辩证的看法，可以帮助学生树立正确的数学观和数学学习观，不断追求更美好的数学——由此，教师也可追求更美好的数学教育。