怎样求解排列组合问题

卞伶雅

排列组合问题常以填空题或选择题的形式出现在各类试题中，通常要求一些元素的排列数．这类问题的难度不大，却是出错率较高的一类题目．本文重点谈一谈求解排列组合问题的几种常用方法，

一、插空法

例2.一条长街上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？

分析：要保持原来的6个路灯的相对顺序不变，就需采用插空法求解．原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，先将一个路灯插入，那么此时7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，那么此时8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，最后利用乘法计数原理求解即可，

解：原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，则A; =7种方法；7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有A1=8种方法；8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有A 1=8种方法，由乘法计数原理可得，共有A7．A8．A9=504种不同的安装方法．

二、隔板法

隔板法适用于求解一些相同元素的分组问题，若要将n个相同的元素分成m组．需将m-1个板插入n个元素之间的n-l空隙中，使其分为m组，则共有C- 1种分法．

例3．将7个相同的小球放人4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有____种，

分析：7个小球相同，要将其放入4个不同的盒子中，只需采用隔板法，在7个小球之间的6个空位中随意插入3块隔板，将小球分成4组，再将其放入4个盒子中即可．

解：7个小球之间有6个空位，将3个隔板插入，便把7个小球分成4份，有C6= 20种分法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有20种，

例4．體育老师将10个完全相同的篮球分给7个小组，要使每个小组至少有1个篮球，则一共有多少种分配方案？

分析：10个篮球完全相同，要将其分给7个小组，需采用隔板法，将10个篮球排成一排，在篮球之间的空隙中插入6块隔板，就能将篮球分为7份，且使每一份中至少有一个篮球．

解：将10个篮球排成一排，那么在篮球之间形成9个空隙中，插入6块隔板，就将篮球分为7份，有C6=84种分法，所以一共有84种分配方案．

三、优先法

优先法适用于求解某个或某些元素有特殊要求的排列组合问题，优先法有两种：特殊位置优先法和特殊元素优先法，采用优先法解题，要先明确哪些元素或位置有特殊要求，然后优先对特殊元素、位置进行排列，最后再安排没有特殊要求的元素的排列顺序，

例5．从6人中选取4人对每道生产程序进行检验，若第1道生产程序只能由甲、乙两人完成，第4道生产程序只能由甲、丙两人完成，则共有____种不同安排的方案，

分析：问题对甲、乙、丙都有特殊要求，其中甲的情况较为复杂，需分三种情况：（1）检验第1道生产程序；（2）检验第4道生产程序；（3）既不检验第1道生产程序，也不检验第4道生产程序．分别求得各种情况下的安排方法数，再根据分类计数原理和分布计数原理进行求解。

解：分三种情况：

①甲检验第1道生产程序，那么丙必须检验第4道生产程序，从剩余的4人中任意挑选2人检验第二、三道生产程序，有A4种安排方案；

②甲检验第4道生产程序，那么乙必须检验第1道生产程序，从剩余的4人中任意挑选2人检验第二、三道生产程序，有A4种安排方案；

③甲既不检验第1道生产程序，也不检验第4道生产程序，则乙检验第1道生产程序，丙检验第4道生产程序，从其余的4人中任意挑选2人检验第二、三道生产程序，有A2种安排方案；

综上所述，共有A4+A4+A4=36种安排方案，

例6．将红色、橙色、黄色、绿色、蓝色、紫色6个小球排成一列，要求红色的小球不能放在两端，一共有多少种不同的排法？

分析：本题中红色小球的位置有特殊，需采用优先法求解，有两种思路：（1）可优先考虑特殊元素；（2）可优先考虑特殊位置．

解法1：特殊位置优先法，

因为红色的小球不能放在两端，所以从剩下的5个小球中任意挑选2个放在两端，有A；种排法；再将剩下的4个小球安排在中间的4个位置上，有A4种排法，所以一共有A5．A4= 480种排法，

解法2：特殊元素优先法．

因为红色的小球不能放在两端，所以先将红色的小球安排在中间的4个位置上，有A：种排法；剩下的5个小球就可以随意安排，有Ai种排法，所以一共有A IA5_480种排法．

例7．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为（ ）．

A.18

B.24

C.48

D.96

解：甲连续两天值班，共有（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五）四种情况，剩下三个人进行全排列，有A；=6种排法，因此共有4x6=24种排法，故选B．

本题中，甲为特殊元素，需采用优先法，先安排甲的值班时间，然后再考虑其他没有要求的人的值班时间．用优先法解答排列组合问题，往往要灵活运用分步计数原理．

四、倍缩法

对于要求某些元素必须保持一定顺序的问题，即元素定序问题，可以利用倍缩法求解，运用倍缩法解题，需先求出所有元素的全排列数，然后求出必须保持一定顺序的元素的排列数，再将二者相除即可．做除法的目的是为了消序．

例8．将7颗棋子排成一列，要求甲、乙、丙3颗棋子的顺序保持不变，则一共有多少种不同的排法？

分析：本题中甲、乙、丙3颗棋子的顺序固定不变，属于元素定序问题，需采用倍缩法求解．分别求得所有元素的排列数和甲、乙、丙3颗棋子的排列数，然后做除法即可．

解：7颗棋子的全排列，有A7种排法；

甲、乙、丙3颗棋子全排列，有A3种排法，

因此，一共有 = 840种排法，

例9.10个小朋友一起拍照，要求小红、小蓝和小刚3人的排列顺序不变，则一共有多少种站法？

分析：小红、小蓝和小刚的排列顺序固定，需采用倍缩法，分别求出10个小朋友全排列数以及小红、小蓝、小刚3人的全排列数，再做除法．

解：10个小朋友排列，有A10种站法；

小红、小蓝和小刚3人一起排列，有A3种站法；

则共有A10= 604800种站法，

通过上述分析，同学们应对排列组合问题及其四种解题方法有了更深入的了解．插空法、隔板法、优先法、倍缩法都是解答排列组合问题的有效方法，但每种方法的适用情形不同．同学们在解题时，要注意审题，尤其要关注一些关键字眼，如相邻、不相邻、相同元素、不同元素、顺序固定，以及对某些的元素、位置的特殊要求，再选择与之相应的方法进行求解．

（作者单位：江苏省溧阳市溧阳中学）