巧用补形法，妙解立体几何题

刘飞

有些立体几何问题较为复杂，或几何图形不规则，我们采用常规方法很难求得问题的答案，此时，可巧用补形法，根据已知条件和图形，添加合适的辅助线，将不规则的、陌生的、不易计算边角的几何图形割补为规则的、熟悉的、易计算边角的图形，取得化难为易的效果，而运用补形法求解立体几何问题，关键在于如何巧妙地割补图形，主要有以下几种思路．

一、将棱锥补成棱柱

棱锥是常见的几何体，如三棱锥、四棱锥、五棱锥等．有些棱锥的高很难找到或求得，此时我们可以将棱锥补成棱柱，如将正三棱锥补为正方体，将对棱的长相等的三棱锥补为长方体，再根据正方体、长方体的性质，便能快速求得三棱锥的边、角的大小，从而使问题顺利获解，

例1．如图1所示，三棱锥S-ABCD的所有棱长都为√2，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）．

我们仅根据三棱锥的特征，很难确定其外接球的球心，为了便于计算，需采用补形法，将正三棱锥补形为正方体，那么正方体的中心即为三棱锥外接球的球心，即正方体的对角线就是球的直径，据此建立关系式，即可快速求得球的半径和表面积．

二、将斜三棱柱补成四棱柱

对于正三棱锥，一般很容易确定其高，但对于斜三棱柱，我们却很难确定其高．此时可采用补形法，将斜三棱柱补形为四棱柱，这样根据四棱柱的特点，可快速确定其高，求得顶点与底面之间、点与点之间的距离．

为了便于计算，将斜三棱柱补为四棱柱，从而将线面距离转化为面面距離，再利用等体积变换法使问题得解，

三、将棱台补为棱锥

棱台较为特殊，它的上下底面平行，且成比例，但侧棱相交于一点．为了便于计算，我们可采用补形法，将棱台补形为棱锥，这样便可构造出几组相似的三角形、多边形，借助相似图形的性质建立关系式，便可顺利求得棱台的边、高的长度，

将棱台补成棱锥，利用棱锥A2-AEF的性质以及相似三角形的性质求得各条棱的长和各个三棱锥的体积，再借助棱台ABC -AiBiCi与棱柱ABC -A282C2之间的位置关系进行转换，即可顺利解题．

由上述分析可以看出，对于一些较为复杂的立体图形、立体几何问题，采用补形法求解，能使问题快速获解，因此，在解答立体几何问题时，同学们要学会联想，根据几何体的结构特征合理添加辅助线，将棱锥补成棱柱，将斜三棱柱补成四棱柱，将棱台补为棱锥，以便根据棱柱、四棱柱、棱锥的性质来解题．

（作者单位：江苏省如皋市第二中学）