静中求动，极限“显灵”

廖支斌

对于立体几何选择题，由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大，学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时，如果解题思想方法不当，很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式，则可走出“山重水尽”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发，对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系，无论是定义，还是面积、体积公式，无不体现着极限思想.因此，在解答上述图形问题时，为了避免复杂计算，可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部放一高为x的内接正n棱柱，当棱柱的侧面积取得最大值时，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：将正n棱柱视为圆柱，这时S圆柱侧=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，当且仅当h-x=x，即x=h2时，圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4，则以棱台中截面为底面，以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：将棱台视为圆台时，棱锥则可视为圆锥，由条件可得，上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x，圆台的高为y，则易求得xx+y=12，

∴x=y，进而求得两体积之比为27∶56，选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面，则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解：此题可考虑棱台形状的变化，当棱台趋于棱柱时，两体积之比为1∶3，当棱台趋于棱锥时，两体积之比为7∶27，因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12，BD=10，截面MNRS与两对角线AC、BD平行，则截面四边形MNRS的周长的取值范围是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值与AB、CD的长有关

分析：若用常规方法，则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决，运算麻烦.若运用极限思想，则简捷明了.

解：如图1，易知截面为平行四边形，当MN→AC，即MN→12时，MS→0，∴截面MNRS的周长→24，同样，当MS→BD，即MS→10时，截面MNSR的周长→20，故选C.

【例5】 如图2，设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O，过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S，则1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题：1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内，则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：当顶点S→无穷远处，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，顶点S→底面时，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，则PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：当PC→球面相切时，PC→0，而面PAB→过球心，AB→2R，则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；当PB、PC→球面相切时，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故选D.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

对于立体几何选择题，由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大，学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时，如果解题思想方法不当，很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式，则可走出“山重水尽”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发，对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系，无论是定义，还是面积、体积公式，无不体现着极限思想.因此，在解答上述图形问题时，为了避免复杂计算，可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部放一高为x的内接正n棱柱，当棱柱的侧面积取得最大值时，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：将正n棱柱视为圆柱，这时S圆柱侧=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，当且仅当h-x=x，即x=h2时，圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4，则以棱台中截面为底面，以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：将棱台视为圆台时，棱锥则可视为圆锥，由条件可得，上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x，圆台的高为y，则易求得xx+y=12，

∴x=y，进而求得两体积之比为27∶56，选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面，则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解：此题可考虑棱台形状的变化，当棱台趋于棱柱时，两体积之比为1∶3，当棱台趋于棱锥时，两体积之比为7∶27，因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12，BD=10，截面MNRS与两对角线AC、BD平行，则截面四边形MNRS的周长的取值范围是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值与AB、CD的长有关

分析：若用常规方法，则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决，运算麻烦.若运用极限思想，则简捷明了.

解：如图1，易知截面为平行四边形，当MN→AC，即MN→12时，MS→0，∴截面MNRS的周长→24，同样，当MS→BD，即MS→10时，截面MNSR的周长→20，故选C.

【例5】 如图2，设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O，过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S，则1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题：1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内，则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：当顶点S→无穷远处，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，顶点S→底面时，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，则PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：当PC→球面相切时，PC→0，而面PAB→过球心，AB→2R，则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；当PB、PC→球面相切时，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故选D.

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对于立体几何选择题，由于其涉及的知识点多、推理复杂、运算量大，学生感到较难掌握.学生在解立体几何选择题时，如果解题思想方法不当，很容易影响解题速度及正常发挥.若学生能冲破思维定式，则可走出“山重水尽”的困境，走上“柳暗花明”的大道.下面笔者从动态的角度出发，对极限的思想就两个方面进行例谈.

一、在图形形状的变化中运用极限思想

立体几何中的柱、锥、台之间有千丝万缕的联系，无论是定义，还是面积、体积公式，无不体现着极限思想.因此，在解答上述图形问题时，为了避免复杂计算，可运用极限思想去解决.

【例1】 已知圆锥的底面半径为R，高为h，在其内部放一高为x的内接正n棱柱，当棱柱的侧面积取得最大值时，x的值是（ ）.

A.h2

B.h3

C.h4

D.3h4

解：将正n棱柱视为圆柱，这时S圆柱侧=2·π≤（h-xhR）x=

2πRh（h-x）x≤2πRh·[（h-x）+x2]2=

πRh2

，当且仅当h-x=x，即x=h2时，圆柱侧面积最大.

【例2】 一棱台的上下底面积之比为1∶4，则以棱台中截面为底面，以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为（ ）.

A.27∶56 B.27∶64 C.9∶28 D.8∶27

解：将棱台视为圆台时，棱锥则可视为圆锥，由条件可得，上下底半径为1∶2.设顶点O到上底面的距离为x，圆台的高为y，则易求得xx+y=12，

∴x=y，进而求得两体积之比为27∶56，选A.

【例3】 过棱台高的三等分点作两个平行于底面的截面，则夹在两截面间的几何体的体积与原棱台体积的比值是（ ）.

A.1∶3 B.8∶27 C.7∶27 D.不能确定

解：此题可考虑棱台形状的变化，当棱台趋于棱柱时，两体积之比为1∶3，当棱台趋于棱锥时，两体积之比为7∶27，因此只能选D.

二、在图形的点、位置的变化中运用极限思想

【例4】 空间四边形ABCD的对角线AC=12，BD=10，截面MNRS与两对角线AC、BD平行，则截面四边形MNRS的周长的取值范围是（ ）.

A.（10，12） B.（4，11） C.（20，24） D.取值与AB、CD的长有关

分析：若用常规方法，则要用到线面平行、线段成比例等性质才能解决，运算麻烦.若运用极限思想，则简捷明了.

解：如图1，易知截面为平行四边形，当MN→AC，即MN→12时，MS→0，∴截面MNRS的周长→24，同样，当MS→BD，即MS→10时，截面MNSR的周长→20，故选C.

【例5】 如图2，设正三棱锥P—ABC的底面△ABC的中心为O，过O点的动平面与三条侧棱或其延长线分别交于Q、R、S，则1PQ+1PR+1PS

（ ）.

A.有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C.有最大值也有最小值

D.等于一个常数

练习题：1.已知三棱锥S—ABC的顶点在底面的射影在△ABC内，则∠ASC+∠BSC+∠CSA的大小范围是（ ）.

A.（0，π）

B.（0，π2）

C.（π2.π）

D.（0，2π）

分析：当顶点S→无穷远处，∠ASC+∠BSC+∠CSA→0，顶点S→底面时，∠ASC+∠BSC+∠CSA→2π，故选D.

2.由半径为R的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，则PA2+PB2+PC2的值等于（ ）.

A.R2

B.2R2

C.3R2

D.4R2

解：当PC→球面相切时，PC→0，而面PAB→过球心，AB→2R，则PA2+PB2+PC2→PB2+PC2→（2R）2=4R2；当PB、PC→球面相切时，PB，PC→0，PA→2R，∴PA2+PB2+PC2→PA2→（2R）2=4R2，故选D.

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