探析复合函数零点问题的三种类型及求解策略

摘要：复合函数零点问题分三种类型，本文探析如何通过换元以及数形结合方法解决此类复合函数零点问题，实现多题归一，提高数学思维能力和数学思辨智慧.

关键词：复合函数；零点问题；换元

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0016-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：苏艺伟（1986-），男，福建省龙海人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.

基金项目：教育部福建师范大学基础教育课程研究中心2021年度开放课题“基于学科核心素养的高中数学建模活动教学设计研究”（项目编号：KCZ2021024）.

对于复合函数的零点问题，常常采用换元的方法求解.通常将表达式中的某部分换成t，看成是函数y=gt与函数t=fx复合而成，最终转化为研究直线y=t与曲线y=fx图象的交点个数问题.此类题型体现了函数与方程思想，能够较好地考查学生的数形结合能力，逻辑推理、分析问题与解决问题的能力，经常出现在选填压轴试题当中，深受命题者亲赖.

类型1函数fx中将某个整体替换成t.

例1已知函数fx=x2ex+2axe-x2+2，若函数fx有两个零点，则实数a的取值范围是.

解析因为fx=x2ex+2axe-x2+2，

所以fx=xex22+2axex2+2.

令t=xex2，则t2+2at+2=0.

则问题转化为直线y=t与曲线hx=xex2有两个交点，求实数a的取值范围.

对于曲线hx=xex2，有

h′x=1-12xe12x.

令h′x=0，得x=2.

所以hx在0，2上单调递增，在2，+上单调递减，所以hx的最大值为2e.

又h0=0，故hx的图象如图1所示.

对于方程t2+2at+2=0，有Δ=4a2-8.

①Δ<0，即-2

此时方程t2+2at+2=0无解，不符合题意;

②Δ=0，即a=±2.

当a=2时，t=-2，此时直线y=-2与曲线hx=xex2只有一个交点，不符合题意;

当a=-2时，t=2，此时直线y=2与曲线hx=xex2无交点，不符合题意;

③Δ>0，即a>2或a<-2.

设方程t2+2at+2=0的两个实根为t1，t2（t1

当a>2时，t1<0，t2<0，此时直线y=t1与曲线hx=xex2只有一个交点，直线y=t2与曲线hx=xex2只有一个交点，总共两个交点，符合题意;

当a<-2时，t1>0，t2>0，要使得直线y=t与曲线hx=xex2有两个交点，则必须有t2>2e且t1∈0，2e.

故2e2+2a·2e+2<0，即a<-2+e22e.

综上，a∈-，-2+e22e∪2，+.

分析将函数fx=x2ex+2axe-x2+2看成函数t=xex2与函数y=t2+2at+2复合而成的.先研究方程t2+2at+2=0的实根情况，再考查直线y=t与曲线hx=xex2图象交点个数.

类型2含f 2x的表达式中将fx替换成t.

例2函数fx=5x-1-1，x≥0，x2+4x+4，x<0，若关于x的方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0有7个不同的实根，则m=.

解析令t=fx，則关于t的方程t2-（2m+1）t+m2=0存在两个实根t1，t2.

不妨设t1

故关于x的方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0有7个不同的实根就是函数y=fx图象与直线y=t1，y=t2交点个数之和为7.

如图2所示，要使得交点个数和为7，则

0

将t2=4代入方程t2-（2m+1）t+m2=0，

得m=2或m=6.

又t1t2=m2<16，故m=2.

分析由于方程f 2x-（2m+1）fx+m2=0含有f 2x，故将fx替换成t，转化为研究方程

t2-（2m+1）t+m2=0实根的分布情况以及直线y=t与曲线y=fx图象交点个数.

类型3含f［fx］的表达式中将fx替换成t.

例3已知函数fx=ex，x≥0，-2x，x<0， 判断关于x的方程f［fx］+k=0的零点个数.

解析令t=fx，将问题转化为t=fx，①ft=-k，②中函数y=fx图象与直线y=t交点个数问题.

对于方程②，函数y=ft图象与直线y=-k交点横坐标t的取值范围如图3所示.

当-k≤0，即k≥0时，y=ft图象与直线y=-k无交点;

当0<-k<1，即-1

当-k=1，即k=-1时，交点横坐标t1=-12，t2=0，对应图4中的0个交点.

当1<-k

当-k≥e，即k≤-e时，交点横坐标t1<0，t2≥1，对应图4中的2个交点.

综合上述分析，当k≥-1时，关于x的方程ffx+k=0的零点个数有0个;

当-e

当k≤-e时，关于x的方程ffx+k=0的零点个数有2个.

分析由于方程ffx+k=0含有f［fx

］，故将fx替换成t，转化为研究方程ft=-k以及直线y=t与曲线y=fx图象交点个数.

例4已知函数fx=ax+1，x≤0，log2x，x>0，则下列关于函数y=f［fx

］+1零点个数的判断正确的是.图5图6

A.無论a为何值，均有2个零点

B.无论a为何值，均有4个零点

C.当a>0时，有3个零点， 当a<0时，有2个零点

D.当a>0时，有4个零点， 当a<0时，有1个零点

解析令t=fx，则函数y=f［fx］+1的零点转化为t=fx，③ft=-1，④的解.零点个数即为函数y=fx图象与直线y=t交点个数.

当a>0时，先考虑方程④，函数y=ft图象与直线y=-1相交于A，B两点，对应的横坐标分别为t1，t2.如图5所示.显然t1<0，0

再考虑方程③，如图6所示，函数y=fx图象与直线y=t1的交点个数有2个，函数y=fx图象与直线y=t2的交点个数有2个.

故当a>0时，函数y=f［fx］+1有4个零点.

同理可知，当a<0时，有1个零点.

分析由于方程ffx+1=0含有ffx，故将fx替换成t，转化为研究方程ft=-1以及直线y=t与曲线y=fx图象交点个数.

通过对上述几道试题的分析，不难发现此类复合函数零点问题，既注重基础，又兼顾能力，较好地体现了中国高考评价体系提出的基础性、综合性、应用性、创新性要求.此类试题的解决思路较为固定，往往采用换元的方法，结合图形，观察一条直线与一条曲线图象交点的个数.然而法无定法，试题千变万化，在实际解题中，我们必须根据题目所给出的条件灵活地选择合适的方法，方能以不变应万变，实现解题的最优化.

参考文献：

［1］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准解读（2017版2020年修订）[M].北京：高等教育出版社，2020.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.