例谈证明不等式的三种常用方法

陈刚

不等式证明问题比较常见，且具有较强的综合性，常与向量、集合、数列、函数等知识相结合，求解此类问题的方法很多，掌握一些常用的证明方法，有助于拓展解题的思路，提升解题的效率．本文主要谈一谈证明不等式的三种常用方法：比较法、换元法、放缩法．

一、比较法

比较法是证明不等式的常用方法，包括作差比较法和作商比较法．运用比较法证明不等式的步骤为：①根据不等式的结构特点，将不等式左右两边的式子作差或作商；②将差式或商式进行因式分解或配方；③将所得差值与0比较，所得的商式与1比较，比较法的适用范围广，适用于解答大多数不等式证明问题．

不等式两边的式子均为平方式，很难比较出它们的大小，于是将其两边平方并作差，再将其结果与0比较，即可证明不等式．为了便于比较出差式与0的大小，往往要将差式化简为几个因式的积或完全平方式的形式，

要證明的不等式中含有根式，需运用作商比较法证明不等式．在化简商式时，需将商式化为最简形式，以便判断该式与1的大小关系，从而证明不等式成立．

二、换元法

换元法适用于证明变量的个数较多或结构复杂的不等式，运用换元法证明不等式，需先仔细观察已知条件和所要证明不等式的结构，找到条件与所证目标之间的联系；然后根据二者之间的联系，选择合适的式子或某一部分用新变量替换；再化简换元后的不等式，并根据基本不等式、函数单调性、导函数的性质证明不等式成立．

根据已知条件和对数函数的运算性质将所证目标不等式进行化简、消元，便可将函数式转化为关于lgx的函数式，再令lgx=t，通过换元，将函数式转化为关于t的简单二次函数，根据二次函数的性质和对数函数的值域即可解题，

三、放缩法

放缩法是证明不等式的常用方法．运用放缩法证明不等式，需仔细观察所要证明的不等式的结构特点，根据切线的几何意义，通过添项或减项，借助基本不等式，利用函数的单调性等对不等式进行适当的放大或缩小．

将已知关系式进行变形，可发现a2 +ab+b2 =a+b与基本不等式a2+ b2≥2a6之间有联系，于是两次利用基本不等式将代数进行放缩，从而证明结论．在运用基本不等式放缩不等式时，要注意三个前提条件：一正、二定、三相等，尤其要注意等号成立的条件，

总之，证明不等式，需仔细观察不等式的结构特征，建立已知条件和所要求证不等式之间的联系，再通过作差、作商、换元、放缩等方式来进行合理的变形、化简．

（作者单位：江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学）