复空间中若干域之间的双全纯等价

程晓亮，马会波

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

0 引言

记C为复数集，Cn={(z1，…，zn)|zi∈C，j=1，2，…，n}为n维复欧氏空间.Cn中的连通开集Ω称为域，当Ω有界时，称Ω为有界域.Cn中常见的域[1]有单位球

单位多圆柱

Un={z∈Cn||zj|<1，j=1，2，…，n}，

以及Siegel上半空间

Hn={(z，ω)∈Cn-1×C|Im(ω)>|z|2}.

当n=1时，B1=U1为单位圆盘，H1为上半平面.

20世纪初，多复变作为一个独立的数学分支得到了研究与发展.其中，区分Cn中的两个域是否双全纯等价的问题成为数学家们研究的一个热点课题.单复变中Riemann映射定理指出，除去整个复平面，任何单连通域和单位圆盘双全纯等价.多复变中域的分类就复杂得多，J.H.Poincaré发现尽管单位球与多圆柱同是单连通域，却彼此不双全纯等价.更一般地，D.Burns和R.E.Greene等[2-3]证明了一般情况下两个具有光滑边界的强拟凸域也不是双全纯等价的.因此，需要一些几何不变量来区分一些域是否双全纯等价.C.Fefferman等[4-6]证明了一些具有光滑边界的域的全纯自同构可以光滑地延拓到边界外，因此这使得利用J.H.Poincaré的原始方法在域的边界上找一些几何不变量来区分域有了可能.S.S.Chern[7]在这个方向做了大量的工作.

受J.H.Poincaré思想所启发，另一种研究域之间双全纯等价的方法是研究域的自同构群.1977年，B.Wong[8]证明了Cn中具有非紧自同构群的有界强伪凸域与单位球双全纯等价.1989年，E.Bedford和S.I.Pinchuk[9]证明了C2中具有非紧自同构群且有实解析边界的有界伪凸域与

双全纯等价.1999年，A.V.Isaev和S.G.Krantz[10]证明了具有C2光滑边界的有界齐性域与单位球双全纯等价.

受到文献[1]的启发，本文证明了单位球Bn与一类乘积域Bn×Un不双全纯等价.

1 域之间双全纯等价的相关概念

定义1[1]设Ω是Cn中的域，H(Ω)是Ω上的全体全纯函数集，若f1，f2，…，fm∈H(Ω)，则称F=(f1，f2，…，fm)：Ω→Cm是全纯映射.

定义2[1]设Ω是Cn中的域，f：Ω→Cn是全纯映射.若f存在全纯的逆映射g=f-1，则称f是双全纯映射.

定义3[11]设Ω1和Ω2是Cn中的两个域，若存在一个双全纯映射把Ω1映为Ω2，则称Ω1和Ω2是双全纯等价的.

定义4[11]设Ω是Cn中的域，如果F是把Ω映为自身的双全纯映射，则称F是Ω的自同构，Ω的自同构的全体记为Aut(Ω)，在映射的复合运算下构成一个群，称为Ω的自同构群.

下面研究单复变中域之间的双全纯等价问题.

2 单复变中域之间的双全纯等价

单复变中，单位圆盘U1是最简单、最容易刻画的单连通域.Riemann映射定理指出，除去整个复平面，任何单连通域与单位圆盘双全纯等价.

定理1(Montel定理)[12]设Ω是复平面上的开子集，则Ω上的全纯函数族Υ是正规的，即若Υ中的每个序列都存在子序列在Ω的任意紧子集中一致收敛.

引理1(Schwarz引理)[12]令f：U→U是全纯的，且f(0)=0.那么：

(ⅰ)对所有z∈U，|f(z)|≤|z|.

(ⅱ)如果对某个z0≠0，有|f(z0)|=|z0|，那么f是一个旋转.

(ⅲ)|f′(0)|≤1，且如果等式成立，则f是一个旋转.

定理2[12]设Ω是复平面上(不包含复平面)的单连通域，若z0∈Ω，那么存在唯一的双全纯映射F：Ω→U1使得

F(z0)=0，f′(z0)>0.

证明第一步，先证明Ω与包含原点的单位圆盘的开子集是双全纯等价的.设α∉Ω，则z-α在单连通域Ω上不等于零.因此，定义全纯函数f(z)=log(z-α)，两边取指数得ef(z)=z-α，则f是单射.选择点ω∈Ω，对∀z∈Ω，有f(z)≠f(ω)+2πi.考虑映射

因为f是单射，所以F也是单射，因此F：Ω→F(Ω)是一个双全纯映射，且F(Ω)有界，为了获得从Ω到包含原点的单位圆盘U1的开子集上的双全纯映射，需要重新调整函数F.

第二步，根据第一步，假设Ω是U1的开子集.考虑Ω上的所有单同态函数构成的集族Υ，Υ中的映射都是映射到单位圆盘上，并固定了原点，即

Υ={f：Ω→U1全纯，单射，且f(0)=0}.

Υ包含单位元，所以Υ是非空的.因为所有的函数映射到单位圆盘上，所以Υ一致有界.

最后将函数f乘上一个绝对值等于1的复数，使得f′(0)>0，定理证毕.

从形式上看，多复变是单复变的自然推广，但二者有显著的区别，单复变中的研究方法和结论，无法平行且有效地适用于多复变中.

3 多复变中域之间的双全纯等价

单复变中，通过一个分式线性映射可得单位圆盘与上半平面双全纯等价，推广到高维空间中，单位球与上半空间通过凯莱变换双全纯等价.

定理3[13]多复变中单位球Bn与上半空间Hn双全纯等价.

证明由凯莱变换

其中(z，ω)∈Hn，z∈Cn-1，ω∈C.

ψ在其定义域内全纯.因为|z|2

4|z|2<|i+ω|2-|i-ω|2，

即

所以ψ把Hn映为Bn.

下证ψ-1将Bn映为Hn.通过计算得

其中(z′，ω′)∈Bn⊂Cn-1×C，ψ-1在其定义域内全纯.因为|z′|2+|ω′|2<1，通过计算可得

故ψ-1把Bn映为Hn，并且有ψ-1(ψ)=In，因此结论得证.

单复变中，Riemann定理断言，除去整个复平面，单连通域必与单位圆盘双全纯等价.多复变中的情况要复杂得多，即使两个最简单的域——多圆柱Un与单位球Bn也不是双全纯等价的.

定理4[1]多复变中多圆柱Un与单位球Bn不双全纯等价.

证明(法1)如果Un和Bn双全纯等价，那么存在双全纯映射F，有F(Bn)=Un，由于Bn是有界圆型可递域，Un也是圆型域，那么必存在线性映射把Bn映为Un，但线性映射把球映为椭球，不可能是多圆柱.这个矛盾证明了Un和Bn不是双全纯等价的.

任意一个双全纯映射f：D→G=f(D)建立群的同构f*：AutD→AutG，定义为f*：φf∘φ∘f-1，φ∈AutD.因此群AutD和AutG之间的同构是域D和G之间双全纯等价的必要条件[11].若域之间的自同构群彼此不同构，则这两个域不双全纯等价.下面利用多圆柱Un与单位球Bn的自同构群来证明彼此不双全纯等价.

是多圆柱的一个自同构映射[1]，其中：b∈Un，θ1，…，θn∈R，置换τ：(1，2，…，n)→(1，2，…，n).由单位球与多圆柱自同构映射的显式形式，可知Aut(Bn)与Aut(Un)不同构.因此，单位球与多圆柱不双全纯等价.

单位球Bn与多圆柱Un是复空间中最常见的域，它们均是单位圆盘在高维的推广，下面利用文献[1]中的方法来证明单位球Bn与乘积域Bn×Un也不双全纯等价.

定理5多复变中单位球Bn与乘积域Bn×Un不双全纯等价.

证明假设Bn和Bn×Un双全纯等价，那么存在Bn×Un上的双全纯映射γ，使得γ(Bn×Un)=Bn.由于Bn×Un是有界圆型可递域，不妨设γ(0)=0.因为Bn是欧氏凸域，所以γ是Bn×Un上的凸映射，故

γ(z)=(ι1(z1)，…，ιn(zn))T.

其中：T是n阶非奇异方阵；ιj(zj)(j=1，…，n)是单位圆盘|zj|<1上的凸映射.考虑

ζ(1)是Bn上的凸映射，因而ζ(1)∘γ是Bn×Un上的凸映射，所以

即

t11，…，tn1中至少有一个不为0，不妨设t11≠0，上式两端对z1求导得

因为左端是z1的函数，故可得t21=t31=…=tn1=0.

同理可得t12=t32=…=tn2=0.考虑

……

它们都是Bn上的凸映射，因此可得

所以

γ(z)=(t11ι1(z1)，…，tnnιn(zn))，

它不可能把Bn×Un映为Bn.

4 结语

本文综述了复空间中若干域之间的双全纯等价，介绍了单位球与多圆柱不双全纯等价的两种证明方法.同时本文将史济怀利用多圆柱上凸映射的性质来证明单位球与多圆柱不双全纯等价的方法推广到了单位球与乘积域Bn×Un，证明了单位球与乘积域Bn×Un不双全纯等价.