基于加权参数的可靠性优化设计

伍建军，王振飞

（江西理工大学 机电学院，赣州 341000）

0 引言

柔顺机构相对于普通的刚性构件具有低成本高性能的优势，较少的运动副，可以减少甚至消除回差，磨损度也大大降低，精度得到一定提高。但是，杆件在长期的交变载荷的作用下变形能力会随之有所降低，性能下降，需对其可靠性进行提高。针对柔顺机构的研究，国内外学者取得了一系列的成果[1]。文献[2]采用了一次二阶矩阵法，用其可靠性指标来衡量参数随机性的影响，通过柔顺机构热固耦合拓扑优化数学模型找出了性能与成本的最佳结合点。文献[3]通过结合伪刚体法与拉格朗日方程建立出柔顺机构动态模型，对其运动精度进行研究。文献[4，5]利用数值拟合法和有限元法对柔顺机构的动力学模型进行了相关研究。这些研究主要针对柔顺铰链，或是柔顺杆件的拓扑优化、数值拟合以及伪刚体法等，而在柔顺杆件的可靠性方面研究较少。柔顺杆件作为机器中的重要构件，其可靠性直接影响到整体的工作效率，提高可靠性至关重要。

田口方法解决单响应目标的可靠性优化问题较为实用，但是由于结构的复杂化，响应目标也不单一。再者，田口法在确定各因素的水平后所得出最佳方案，但是其很大程度上取决于水平范围的取值，也同时缺少对多目标的针对权重分配分析，因此，分析所得出的方案为所选取的水平值针对某一在优化数值上占较大比例的响应目标的最佳组合，是一个接近于最佳结果的值。传统田口法主要分为选定质量特性值、确定试验因素、确定优化水平、正交试验设计和对比验证这五步，为解决柔顺机构多目标响应可靠性优化问题，在本文中提出田口法结合灵敏度分析的加权优化方法主要对其中的第三和第四步进行改进，采用灵敏度法分析各参数对新型铰链可靠度的影响大小及其规律，进而筛选影响因素，并得到各影响因素的权重系数以及确认它们合理的取值范围，以此来对柔顺四杆机构进行多目标的可靠性优化设计。该方法克服了传统田口法的局限性，可以更精确地确定最佳参数，以此来更好地提高柔顺机构的可靠性。

1 柔顺四杆机构的可靠性分析

1.1 可靠性理论分析

柔顺机构作为刚柔混合背景下的新型机构，通过弹性变形来传递运动和能量，性能方面比起传统的刚性机构更加可以满足工程实际的需求，其中，柔顺机构的可靠性是将其广泛应用于机械工程领域的基础和前提。它主要由柔性梁、刚性梁以及导向梁组成，其原理是导向梁承受横向作用力使得柔性梁发生弯曲变形从而传递运动，由于柔顺四杆机构是对称模型，故选取二分之一来研究分析[6]，具体的结构参数如图1所示。

图1 结构参数图

在本文中主要考虑到传统田口法选择水平因素的局限性，将其结合灵敏度分析以及数学建模对柔顺四杆机构进行优化设计，可以有效提高其优化的精度。在本文中，柔顺四杆机构的可靠度主要由在相同作用力的情况下，导向梁产生的输出位移决定。由文献[7]可知输出位移公式如式(1)所示。

式(1)中：S-输出位移；F0-外部压力；E-材料的弹性模量；I0-性矩；a-柔性梁的长度；b-刚性梁的长度。其中，截面惯性矩如式(2)所示。

式(2)中：c-柔性梁的宽度；t-柔顺四杆机构的厚度。

在本次试验中，需要考虑到的几何尺寸包括：柔性梁的长度a、刚性梁的长度b、柔性梁的宽度c、刚性梁的宽度d和机构的厚度t，将其作为设计参数，柔顺四杆机构的输出位移S作为优化目标进行初步试验分析，根据初步分析结果筛选影响因素，并分析其影响规律确定出显函数形式的可靠度数学模型式(3)，根据计算所得的可靠度挑选出最佳方案。

式(3)中：Δ-可靠度；k-变化系数；x-尺寸参数。

1.2 有限元模型分析

本文选取柔顺四杆机构作为研究对象，材料选择Al，弹性模量E=16GPa，泊松比为0.42，在workbench中进行模态分析。网格划分单元格大小为2mm，如图2所示。在一段的导向梁施加横向力F，F取值为10N，另一端施加固定约束，如图3所示。其一阶固有频率以及输出位移的分析结果如图4和图5所示，从云图中可以看出导向梁和柔性梁为主要影响对象。导向梁受力后，柔性梁通过变形传递作用力，其变形越大，传递的能量越高，同时，固有频率越高，可以很好的防止共振现象造成性能波动影响可靠度。因此可将模型的一阶固有频率和最大输出位移作为优化目标，该数值可以间接体现柔顺四杆机构的可靠性，将其尺寸参数作为设计变量进行试验研究。为了可以更直观地看出传统田口法和本研究方法所得结果的区别，在本次研究中，同时进行两种方案，并将两者所得结果进行对比分析。

图2 网格划分图

图3 约束情况图

图4 原模型一阶固有频率云图

图5 原模型输出位移云图

1.3 可靠性优化流程框架设计

如图6所示。

图6 柔顺四杆机构可靠性优化设计流程图

2 优化实例

2.1 田口法分析及仿真结果

根据柔顺四杆机构的工作性能，柔性变形越大，传递能量越高，同时，固有频率越高，可以有效防止产生共振造成破坏[8]。本文将图1中的全部尺寸参数作为设计变量，选取变量的对应水平如表1所示，输出位移和一阶固有频率为优化目标。若采用传统的田口方法进行优化，在设计正交试验表格后，由于设计变量是5因素3水平，因此共需进27组实验。进有限元分析后，所得到的结果如表2所示。

表1 设计变量水平表（mm）

表2 仿真试验结果

（续）

对表2中的各尺寸参数进行信噪比分析[9]，可以出的其对应的效应图，如图7和图8所示。从输出位移和一阶固有频率的望大特性图中可以看出，尺寸如果按照传统的田口优化方法的话，相对于原始数据a2b2c2d2t2，所得的较优方案应是a3b3c1d2t1或a3b1c1d1t1，相关的参数和优化程度如表3所示。根据式(3)，确定整体优化程度式如式(4)所示。

图7 输出位移望大特性信噪比效应图

图8 一阶固有频率望大特性信噪比效应图

式(4)中，w1和w2分别为输出位移和一阶固有频率的优化程度，由于四杆机构的输出位移和固有频率对结构稳定皆较为重要，故各取值为1/2。

由表3可知田口法所得的最佳方案为a3b3c1d2t1，整体优化了53.06%，可靠度得到较大的提高，由于是选取了10%的尺寸范围后得出的结论，而不同尺寸对四杆机构可靠度的影响显然有所差异，若各因素使用不同的水平范围，最后得出的结果将会有所变化，且在此间选取的最佳方案并没有完全兼顾到固有频率和输出位移两者的综合影响。为提高结果的精确度，将采用灵敏度分析得出各尺寸对整体结构的影响规律及大小，通过建立相应的数学模型来进行综合优化。

表3 田口法较优方案参数表

2.2 灵敏度分析影响因子

概率灵敏度是指对零部件造成影响的灵敏度参数，通过概率灵敏度计算可以确定影响的主要因素以及影响规律，从而可以在设计过程中对其进行控制来获得更高质量的产品[10]。为得出各个尺寸对优化目标的影响规律，通过分析其灵敏度参数来进行研究。在本文中将各个几何尺寸分别作为随机变量研究，同时控制其他条件相同，得出各个几何尺寸对柔顺四杆机构输出位移和一阶固有频率的影响规律。若直接采用灵敏度分析的方法，除了最初的试验以外只需再做10组试验，便可以得出各个尺寸的影响规律及大小，相对于在相同水平范围内采用的田口法进行的27组试验节约了大量的时间，相关的数据如表4所示，具体的影响情况如图9和图10所示。

表4 灵敏度参数表

图9 输出位移变化率灵敏度图

图10 一阶固有频率灵敏度图

由图(10)可知，柔性梁的长度a、刚性梁的长度b、柔性梁的宽度c和机构的厚度t对柔顺四杆机构的输出位移造成的影响都超出了20%，尤其是柔性梁的宽度c影响程度甚至接近60%十分显著。柔性梁的宽度c和厚度t与其他两者不同，呈负相关系，说明柔顺四杆机构的输出位移随柔性梁的宽度c和厚度t的增大而减小，结果符合式(1)中所示关系。相对的，刚性梁的长度b和宽度d，以及机构的厚度t对杆件的一阶固有频率影响较大，且影均为反比例关系；而柔性梁的长度a和宽度c则对一阶固有频率影响不大[11]。根据灵敏度图所显，可以将因素水平进行相应比例大小的更改，使得因素水平选取更为合理。

2.3 构建柔顺四杆机构数学优化模型

结合2.2节中的灵敏度分析结果，去掉影响程度小的变量后，对尺寸参数和两个质量特性进行函数关系构建，并转化为式(3)的显函式关系，构造出数学关系模型。可以确定出输出位移量和一阶固有频率与尺寸参数的显函数关系分别如式(5)、式(6)所示。

为了方便建立优化数学模型，将尺寸参数分别用x1～x5表示。结合式(3)～式(6)，可以得出可靠度μ的数学公式，为了方便与田口法的优化程度进行比较，将选取相同的取值范围进行优化。

2.4 方案选优

通过2.3节中所建立的数学模型，计算得出最佳方案的对应参数值如表5所示。由表中的数据可以看出，在各因素同水平取值范围的条件下，相比于田口法得出的最佳组合，通过灵敏度综合分析各尺寸参数对结构可靠度的影响比例因子，在兼顾一阶固有频率和最大位移两个响应目标的前提下，刚性梁的宽度d取值有所变动。结合式(7)和式(8)，将各尺寸因素的水平范围分别由之前统一的10%依次更改为7%、7%、15%、16%和8%，即以考虑灵敏度分析结果后的权重系数为依据改变式(9)中的x的取值范围进行试验，并得出x的取值。

表5 MATLAB分析数值表

3 对比验证

采用2.4节中所得到的参数重新建模，将原始模型、田口法所得的最佳方案以及采用灵敏度分析建立数学模型后所得的方案这三者进行对比验证，从表6中可以看出，在采用灵敏度分析确定影响因素以及权重系数建立数学模型分析后所得到优化模型的可靠度，相比较于传统的田口方法提高了24.82%，优化效果显著，且其仅需要进行11组试验便可以达到结果，大大节省了试验时间。

表6 对比验证数据表

4 结语

本文基于可靠性理论和优化分析方法，针对于传统田口法水平范围以及单一目标造成的局限性，对其进行针对性的改进，提出了一种在基于田口法的基础上结合灵敏度分析的加权优化方法，对柔顺四杆机构的几何尺寸进行参数优化，在田口法的基础之上进一步减少了试验的时间。分析结果表明，本文章提到的优化方法确实合理有效，相比较于传统田口法所得的优化数值提高了24.82%，试验所需时间更短。通过模型结构尺寸优化，可以有效兼顾柔顺四杆机构的一阶固有频率和最大位移量的优化，使其可靠性得到明显的优化改善，为其他类型机构的多目标参数优化提供了一定的参考。