基于超几何级数的中心二项式系数恒等式

刘红梅，金 萱，李若慧

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116650)

推广的调和数定义如下：

显然，当x=1时，经典调和数Hn=Hn(1)。

超几何级数，表现形式为

这里升阶乘(a)0=1,(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n>1，在理论物理、数论、统计学中有重要的应用。

1 两个引理

为了给出本文的结果，引入下列两个经典的超几何级数求和公式。

引理1 Gauss定理[5-6]：

(1)

引理2 Dixon定理[5-6]：

(R(a-2b-2c)>-3)。

(2)

(3)

因此希望通过将上面两个公式微分的方法，结合Gamma函数的相关性质来获取含有中心二项式系数和调和数的无穷级数求和公式。

2 两个含有中心二项式系数和调和数的级数恒等式

因此

(4)

由Gauss定理(1)，上式中

(5)

其中最后一个等号是由Gamma函数的下列性质得到的：

由Gauss定理(1)，又可计算无穷级数

对此式左右两边求导，

根据Digamma函数的特殊取值以及相关性质：

(6)

(7)

可得

(8)

最后由(4),(5)和(8)式，定理结论成立。

定理2

证明由Dixon定理(2)，利用微分的方法,文献[7]给出下列两个恒等式：

[Hn+1(a)-Hn+1(1+a-b)-Hn+1(1+a-c)]

[Hn+1(b)+Hn+1(1+a-b)]

利用Digamma函数的特殊取值(6)和性质(7)以及Gamma函数和Digamma函数的关系式：

ψ(1-x)-ψ(x)=πcot(πx),

证此定理结论。

获得无穷级数求和公式本身就比较困难，本文能够建立两个含有中心二项式系数与调和数的无穷级数求和公式，是一项非常有意义的工作。

3 结 论