函数极值点偏移和拐点偏移问题的探究

邓启龙

(广东省中山纪念中学 528454)

函数极值点偏移问题是近几年高考的热点,类似的,函数也存在拐点偏移,处理极值点偏移和拐点偏移问题,有一些成熟有效的方法,比如构造对称函数、利用对数平均不等式等.

1 极值点偏移

已知函数y=f(x)在(a,b)上连续,且在(a,b)内只有一个极值点x0.

若f(x)在(a,b)上先单调递减后单调递增,笔者经过深入探究,发现f(x)在(a,b)上极值点是左偏还是右偏,取决于f‴(x)在(a,b)上的符号．

定理1 已知函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0,当x∈(a,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,b)时,f′(x)>0.若任意x∈(a,b),f‴(x)>0(<0)恒成立,则f(x)在(a,b)上极值点x0右偏(左偏).

所以只需证f(x2)

即f(x1)

构造函数g(x)=f(x)-f(2x0-x),x∈(a,x0),

则g′(x)=f′(x)+f′(2x0-x),

g″(x)=f″(x)-f″(2x0-x).

若任意x∈(a,b),f‴(x)>0恒成立,

则f″(x)在(a,b)上单调递增.

当x∈(a,x0)时,x<2x0-x,

f″(x)

得g″(x)<0,x∈(a,x0).

于是g′(x)在(a,x0)上单调递减.

所以x∈(a,x0),g′(x)>g′(x0)=2f′(x0)=0.

于是g(x)在(a,x0)上单调递增.

得x∈(a,x0),g(x)

由x1∈(a,x0),得g(x1)<0.

即f(x1)

得f(x2)

由f(x)在(x0,b)上单调递增,

得x2<2x0-x1.

所以f(x)在(a,b)上极值点x0右偏．

若任意x∈(a,b),f‴(x)<0恒成立,

同理可得f(x)在(a,b)上极值点x0左偏．

定理1给出了在(a,b)上先单调递减后单调递增的函数f(x)的极值点偏移情况的判定方法,若f(x)在(a,b)上先单调递增后单调递减,类似地,有以下定理(证明略):

定理2 已知函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0,当x∈(a,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,b)时,f′(x)<0.若任意x∈(a,b),f‴(x)>0(<0)恒成立,则f(x)在(a,b)上极值点x0左偏(右偏).

2 拐点偏移

已知函数y=f(x)在(a,b)上连续,且在(a,b)内只有一个拐点x0.

若函数f(x)在(a,b)上单调递增且只有一个拐点x0,笔者经过深入探究,发现f(x)在(a,b)上拐点是左偏还是右偏,取决于f(4)(x)在(a,b)上的符号.

定理3 已知函数f(x)在(a,b)上单调递增且只有一个拐点x0,在(a,x0)和(x0,b)上f″(x)异号.若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0(<0)恒成立,则f(x)在(a,b)上拐点x0右偏(左偏).

因为f(x)在(a,b)上单调递增,

所以只需证f(x2)

由f(x1)+f(x2)=2f(x0),得

f(x2)=2f(x0)-f(x1).

只需证2f(x0)-f(x1)

即2f(x0)

构造函数g(x)=f(x)+f(2x0-x),x∈(a,x0),

则g′(x)=f′(x)-f′(2x0-x),

g″(x)=f″(x)+f″(2x0-x)，

g‴(x)=f‴(x)-f‴(2x0-x).

若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0恒成立,则f‴(x)在(a,b)上单调递增.

当x∈(a,x0)时,x<2x0-x,f‴(x)

得g‴(x)<0,x∈(a,x0).

于是g″(x)在(a,x0)上单调递减.

所以x∈(a,x0),g″(x)>g″(x0)=2f″(x0)=0,

于是g′(x)在(a,x0)上单调递增,

得x∈(a,x0),g′(x)

于是g(x)在(a,x0)上单调递减,

得x∈(a,x0),g(x)>g(x0)=2f(x0).

由x1∈(a,x0),得g(x1)>2f(x0).

即f(x1)+f(2x0-x1)>2f(x0),

得2f(x0)-f(x1)

于是f(x2)

由f(x)在(a,b)上单调递增,得

x2<2x0-x1.

所以f(x)在(a,b)上拐点x0右偏．

若任意x∈(a,b),f(4)(x)<0恒成立,

同理可得f(x)在(a,b)上拐点x0左偏．

定理3给出了在(a,b)内先上凸(下凸)后下凸(上凸)的单调递增函数f(x)的拐点偏移情况的判定方法,若单调递减函数f(x)在(a,b)内先下凸(上凸)后上凸(下凸),类似地,有以下定理(证明略):

定理4 已知函数f(x)在(a,b)上单调递减且只有一个拐点x0,在(a,x0)和(x0,b)上f″(x)异号.若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0(<0)恒成立,则f(x)在(a,b)上拐点x0左偏(右偏).

3 典型例题

下面给出几个典型的函数极值点偏移和拐点偏移问题,并结合本文的定理加以分析.

例1 已知函数f(x)=x-lnx-a有两个零点x1,x2(x1

证明易得a>1.

(1)先证x1+x2>2.

f(x)在(0,+∞)上只有一个极值点1.

当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.

所以任意x∈(0,+∞),f‴(x)<0恒成立.

由定理1得f(x)在(0,+∞)上极值点左偏,

(2)再证x1+x2<2a.

由f(x)=x-lnx-a=0,得

x-a=lnx,ex-a-x=0.

构造函数g(x)=ex-a-x,则

g(x1)=g(x2)=0.

由g′(x)=ex-a-1得g(x)在R上只有一个极值点a.

当x∈(-∞,a)时,g′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0.

因为g″(x)=ex-a,g‴(x)=ex-a,

所以任意x∈R,g‴(x)>0恒成立.

由定理1得g(x)在R上极值点右偏.

因为g(x1)=g(x2)=0,

证明易得f′(x)=ex-x-1≥0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增.

由f″(x)=ex-1,得f(x)在R上只有一个拐点0.

当x∈(-∞,0)时,f″(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f″(x)>0.

因为f‴(x)=ex,f(4)(x)=ex,

所以任意x∈R,f(4)(x)>0恒成立.

由定理3得f(x)在R上拐点右偏.

又f(x1)+f(x2)=2f(0),

函数极值点偏移和拐点偏移问题是考查导数的常见题型,本文通过对函数极值点偏移和拐点偏移问题进行探究,得到了判定函数极值点偏移和拐点偏移问题的非常有效的方法.