立足三维空间 提升学科素养——一道山东高考卷试题的评析及另解

蒋金团

（云南省施甸县第一完全中学，云南 保山 678200）

在传统的叠加场模型中，试题通常设计成如下的两种情形：第一种情形是带电粒子所受重力和电场力平衡，带电粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动；第二种情形是场力或场力的合力不为0，带电粒子在场力和洛伦兹力的共同作用下做滚轮线运动.与以上两种设计情形不同的是，2021年高考山东卷第14题直接将平面内的曲线运动升级成了三维空间曲线运动，通过受力分析可知，在沿着电场线的方向上粒子做匀变速直线运动，在垂直电场线的平面内粒子做匀速圆周运动.这种拓展式的设计打破了“将曲线运动分解成两个直线运动的惯性思维”，更加深刻地考查了学生的动力学观念和学科素养，使考生更加深刻认识到两分运动的独立性，领悟到合成与分解法的精髓.

1 试题呈现

例题.某离子实验装置的基本原理如图1（甲）所示.Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标面点O，其内充满垂直于x Oy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O1点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场.测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O2点重合.从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C.已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ.忽略离子间的相互作用，不计重力.

（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；

（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；

（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图1（乙）所示.为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到O1的距离s.

图1

2 从动量和冲量的角度进行解答

这道题的3个设问都在考查曲线运动，事实上无论是平面内的曲线运动还是空间上的曲线运动，无论曲线运动的加速度是恒定还是变化，都可以采用运动分解的方法处理.在第（3）问中，通过分解之后，三维空间曲线运动可看成是运动轨迹相互垂直的圆周运动和匀变速直线等效合成，虽然两个分运动的运动性质截然不同，但“等时性”依然将它们紧紧关联在一起，考虑到力对时间积累的效果表现为动量的改变，因此本题也可以采用动量和冲量的知识进行解答.

（1）设离子在Ⅰ区中做匀速圆周运动的速度为v，由洛伦兹力冲量公式qBy=m|Δvx|和qBx=m|Δvy|得［1］

qB0d=m|Δvy|=m（v sinθ-0），qB0y=m|Δvx|=m（v-v cosθ）.

联立两式解得

（2）离子在Ⅱ区中做匀变速曲线运动，沿x轴方向有

沿y轴方向，由动量定理得

-q Et=（-mvy）-（mv sinθ）.

沿y轴方向，由匀变速直线运动规律得

联立各式解得

（3）Ⅱ区内填充磁场后，将离子进入Ⅱ区时的速度分解成沿着x轴的分速度vx=v cosθ和沿着y轴的分速度vy=v sinθ，由受力分析可知，在y轴方向离子做类竖直上抛运动，在xO1z平面内离子做匀速圆周运动，如图2所示.

图2

离子在y轴方向运动的时间为

根据两个分运动的等时性可知t′=t，

离子在xO1z平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力冲量公式得

qBx1=m|Δvz|=m|（-v cosθsin60°-0）|，

qBx2=m|Δvz′|=m［v cosθ-（-v cosθsin60°）］.

联立各式解得

3 试题评析

试题第（1）问考查了离子在磁场中做匀速圆周运动，从核心素养的角度来看，第（1）问主要体现了物理观念中的运动观（圆周运动），从考查要求上来看，第（1）问注重基础，体现了“一核四层四翼”的基础性.

试题第（2）问考查了离子在磁场中做匀变速曲线运动，采用“运动分解”的方法解答即可.先根据受力情况确定两个分运动的性质，接着列出每个分运动的动力学方程，最后再用两分运动的等时性便能将所有的方程联系在一起.从核心素养的角度来看，第（2）问的解答基于合运动与分运动的等效性，体现了学科思维和学科方法；从考查要求上看，解答过程既用到了冲量知识，也用到了动量知识，体现了“一核四层四翼”的综合性.

本题的亮点是第（3）问，Ⅱ区填充磁场后，由于磁场和速度两个矢量在同一个平面内，离子在Ⅱ区受到的洛伦兹力必然沿着z轴，粒子在保持原来运动状态的同时，将沿着z轴运动，所以粒子的运动将从平面内的曲线运动升级成为三维空间曲线运动.从核心素养的角度来看，第（3）问的解答仍然基于合运动与分运动的等效性，体现了学科思维和学科方法；从考查要求上看，第（3）问将平面内的运动拓展成三维空间运动，体现了“一核四层四翼”的创新性，总之，这是一道符合课改精神且令人难忘的好题.