在“求联”中加深对数学本质的理解——以“用假设的策略解决问题”的教学为例

江苏省南京致远外国语小学 范韦莉

一、案例描述与分析

“解决问题的策略”是苏教版数学教材富有特色的教学内容，六年级上册“解决问题的策略”重点关注的是假设策略。

假设是一种常用的分析和解决问题的策略，其本质是当某一变量因素的存在形式限定在有限种可能时，假设该因素处于某种情况，并以此为条件进行推理，从而得到问题的答案。

对于假设这一策略学生已有的知识基础是什么？对于这一策略的理解已经达到什么程度？为此我们进行了学情调查，出示了以下两个问题，让学生独立解决。

（1）小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

（2）小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

在对收上的36份学情问卷进行分析后，我们发现第一个问题有30个学生都能顺利完成，这说明学生在处理两种未知量是几分之一的关系时没有太大问题。第二个问题，有18个学生解答完全正确，其中13人是通过列方程解决的，3人将小杯假设成大杯，2人将大杯假设成小杯；在剩下的18人中，有2人思路正确但计算错误，还有16人不知道如何解答。访谈中，学生表示，如果教师不教他们也可以独立解决像例题那样的问题，也能说出采用的就是假设的策略，但把两种未知量的关系改编成几分之几后就不知道如何进行假设了。问题究竟出在哪儿呢？

仔细研读教材，可以看到例题及练习中的数据都具有特殊性，即一种未知量是另一种未知量的几分之一，若将几分之一换成几分之几时学生将无法调动相关经验，而教师往往只会关注两种未知量关系为几分之一这种特例。教学中如何从学生的认知学情出发，帮助学生从不同的角度探寻有效解决问题的策略，并且在类似的情境、不同的方法中寻求本质的关联，从中发现和创造出更具一般意义的策略，这些是教师要关注与思考的。

二、教学改进与思考

数学学习有着很强的系统性、关联性。从这个意义上说，假设策略的本质就是寻求某两个量或几个量之间的关系。具体来说，可以对教材进行适当改编和补充，借助问题中的特殊条件（可全部假设成大杯，也可全部假设成小杯）走向一般条件（灵活选择假设的方法），引导学生通过发现不同方法在思路上的相通之处，初步形成思考的模型，并将其与原有的认知进行联系。下面为改进后的教学环节：

（一）联系旧知，激活经验

教学伊始，教师直接告知学生将要学习的内容，并询问学生对策略的理解。

教师首先出示了一个简单问题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯，正好都倒满。小杯的容量是少毫升？学生很快列出算式并口算出结果。

接着，教师呈现了这样的问题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

学生在解决这个问题时感到疑惑，认为现在有两种大小不同的杯子，给出的信息并不能解决这个问题，要想顺利求得小杯和大杯的容量，需要补充大杯和小杯之间的关系才行。

【设计意图】学生的认知发展水平是其展开数学学习活动的重要起点，也是学习真正发生的基础。学生在此前的学习中，已经有过一些借助假设策略解决问题的经历，此处意在引导学生唤起相应的数量关系式，借助条件不完备的实际问题，逐步引导学生发现：有两个未知量的问题，必须知道两个量之间的关系才可以解决。在对比交流中，学生自然产生“如果是同一种杯子就能解决”的设想，学生在辨析能否解决及如何解决的过程中与已有的知识储备产生关联，主动借助已有经验，自觉运用“求联”的思维方式去分析、处理新问题，思维方式由无序变得有序，这也就为后续补充条件并初步应用策略打下了良好的基础。

（二）加强沟通，把握联系

1.出示问题，自主探索

教师出示：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教师鼓励学生尝试用不同方法解决，并给出几点学习建议：

（1）如果有困难，可以再次寻找数量之间的关系。

（2）独立解决，你还能想到了哪些不同的解法。

（3）如果你有不同的解法，这些方法之间有什么联系。

2.展示解法，交流思路

反馈时，学生展示了教材中的几种方法：全部假设成小杯；全部假设成大杯；列方程解答。

3.分析比较，体会策略

教师引导学生回顾刚才分析和解决问题的过程，比较黑板上几种方法之间的相同之处。在交流与反思中，学生有了如下的感受：

（1）这些方法都用到了假设，有的假设成小杯，有的假设成大杯。

（2）列方程解决问题的方法中也蕴含着假设策略，方程是假设策略中一种解决问题的形式。

（3）问题中有两个未知量，这些方法都是通过把两个未知量转化成一个未知量，从而解决问题。

学生小结：在解决问题的时候，虽然思考的角度和表达的方式不同，但都运用了假设的策略。我们通过假设把两种大小不同的杯子转化成一种杯子，也就是将两种未知量转化成一种未知量。

【设计意图】本节课的教学重点不在于教会学生某一道题的解法，而在于帮助学生在了解策略知识、体验策略价值的基础上积累活动经验。教师将视角放在通过例题教学引领学生发现方法间的相同之处，沟通方法间的联系。首先，反馈中重点围绕“为什么假设”和“怎么样假设”两个问题展开，逐步明确假设思考的主要过程和关键环节；其次，特别注意让学生将算式和方程进行关联，促使学生对不同方法背后所蕴含的关系进行聚焦性的、反思性的探究，发现其在思考时的相通模型。比如，学生发现无论是在算术方法（见图1）中还是在方程（见图2）中，都可以清楚地看到这两种方法本质都是假设成9个小杯。这样对不同方法进行“求联”的过程，实则就是破除形式，探索本质意义的过程。

图1

图2

（三）丰富历程，紧扣本质

1.横向联系

出示四年级下册画图策略中的问题（见图3）。询问学生当时是如何解决的，这个例子与当下学习的假设有无关联。学生领悟到这些问题的本质相同，都是把两种未知量假设成一种未知量。

图3

2.纵向深入

教师告知学生，判断自己是否掌握了一个新方法，得通过很多问题进行检验。可以把问题中的条件在结构不变的情况下进行变化。

（1）教师出示：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教师提醒学生：刚才条件中都是分子为1的分数，现在有了新变化。在独立尝试的过程中，教师发现部分学生面露难色，无从下笔。

交流时，教师询问学生遇到什么困难，以及可以采取怎样的方法进行假设。学生指出，刚才接触的两种未知量的关系都是几分之一的情况，这里却变成几分之几，因而无法调动刚才的经验灵活地进行假设。同时，有学生提出这个问题如果用方程（见图4）解决就好办多了。

图4

当然，反馈过程中也有个别学生用算术方法。但通过讨论，学生一致认为就此题而言，方程能更好地帮助他们理清数量关系，进而解决问题。

教师指出：算术方法和方程都可以帮助我们解决问题，但在假设的时候，还应根据题目中数据的特点灵活选择解决问题的方法，有时候算式方法方便，有时方程能更好地帮助我们解决问题。

（3）把例题中的条件“正好都倒满”依次改为：“全部倒满后还剩下20毫升果汁”和“还差20毫升果汁就可以将所有杯子倒满”，其他不变。

学生想到只要把原来的720毫升果汁减去20毫升或加上20毫升就与例题一样。

（4）教师告知学生，还可以更换问题的情境来检验自己是否真的掌握。

教师出示：1张桌子和4把椅子的总价是2700元，椅子的单价是桌子的桌子和椅子的单价分别是多少？

学生在交流中指出，这题与倒果汁问题的结构一样，且这个问题假设全部都是椅子较方便。

【设计意图】认知心理学家布鲁纳提出：学习就是认识结构的组织与重新组织，学习结构就是学习事物间是如何联系的。诚然，学习的目的不是增加新知识、淘汰旧知识，而是通过意义建构，使新知和旧知融合为一种新的形态结构，进而纳入自己原有的认知结构中。策略教学的练习安排很容易走向“做题—交流—做题—再交流”这样的流程，要改变这一现状，就需要让练习具有节奏感和层次感，以结构化的视角进行整体设计。在上述教学中，教师首先呈现之前运用假设策略解决过的问题，帮助学生从策略的角度重新反思以前学过的内容，使得学生对知识间的纵向关联具有清晰的认知与把握。接着，教师通过更改数据大小、总量状态、事物场景来对例题进行适当改编。在这样一系列的情境中促使学生从整体上把握解决问题的思路方向仍是假设，只是所用的具体方法有所不同，从而获得数学知识具有一致性和连通性的感悟。构建“求联”，不仅让学生在问题解决时获得了有效的知识和方法，更重要的是促使学生经历了多元体验与构建数学模型的过程。

总而言之，策略教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与学生思维品质的提升。当学生能用联系与发展的眼光看待问题时，其数学学习就能经历一个结构化的过程，在掌握知识的同时，也能做到触类旁通、举一反三。