概率知识核心考点综合演练

张夏 刘中亮

一、选择题

1.下列命题中正确的是（）。

A.事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率fn（A）

B.一个质地均匀的骰子掷一次得到3点9的概率是，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点

C.掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则P（A）=2P（B）

D.对于两个事件A，B，若P（AUB）=P（A）+P（B），则事件A与B互斥

2.下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件;②若A，B为两个随机事件，则P（AUB）=P（A）+P（B）;③若事件A，B， C彼此互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1;④若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A 与B是对立事件。其中正确命题的个数是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.（多选题）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。”已知某选择题的正确答案是C，D.且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，则下列表述正确的是（）。

A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是

B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是

C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是

D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

4.（多选题）从集合A={—1，—3，2，4}中随机选取一个数记为a，从集合B={—5，1，4}中随机选取一个数记为b，则（）。

A.ab>0的概率是

B.a+b≥0的概率是

C.直线y=ax+b不经过第三象限的概率是

D.lna+lnb>1的概率是

5.（多选题）利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（）。

A.P（B）=7/10

B.P（AUB）=8/10

C.P（ANB）=0

D.P（AUB）=P（C）

二、填空题

6.。

7.。

8.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1个黄球”，C=“取出的2球至少有1个白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1个白球”。下列判断中正确的序号为。

①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P（CUE）=1;⑤P（B）=P（C）。

三、解答题

9.某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35。

（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？

（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

10.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题。

（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

11.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A组：10，11，12，13，14，15，16。

B组：12，13，15，16，17，14，a。

假设所有病人的康復时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙。

（1）求甲的康复时间不少于14天的概率。

（2）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率。

（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

12.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。

（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱。

参考答案与提示

一、选择题

1.提示：频率与试验次数有关，且在概率附近摆动，A错误。概率是指一个事件发生的可能性的大小，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是表示一次试验发生的可能性是，则骰子掷6次出现3点的次数也不确定，B错误。利用列举法可知基本事件总数为4，根据概率计算公式得P（A）=2/4=1/2，P（B）=1/4，则P（A）=2P（B），C正确。设xE[—3，3]，A表示从[—3，3]中任取一个数x，使得xE[1，3]的事件，则P（A）=1/3.B表示从[—3，3]中任取一个数x，使得xE[—2，1]的事件，则P（B）=1/2，显然P（AUB）=5/6=1/3+1/2=P（A）+P（B），此时A与B不互斥，D错误。应选C。

2.提示：对立事件一定是互斥事件，①正确。当A与B是互斥事件时，才有P（AUB）=P（A）+P（B），对于任意两个事件A，B满足P（AUB）=P（A）+P（B）- P（AB），②不正确。不一定等于1，还可能小于1，即P（A）+P（B）+P（C）≤1，③不正确。④中，如袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P（A）+P（B）=1/2+1/2=1，①错误。应选A。

3.提示：甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为{A}，{B}，{C}，{D}，随机事件“能得3分”中有基本事件{C}，{D}，则“能得3分”的概率为

1/2，A正确。乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B， D}，{C，D}，随机事件“能得5分”中有基本事件{C，D}，则“能得5分”的概率为，B正确。丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），由A、B中的分析可知共有基本事件15个，分别为：选择一项为{A}，{B}，{C}，{D}，选择两项为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B， C}，{B，D}，{C，D}，选择三项或全选为{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}， {A，B，C，D}，随机事件“能得分”中有基本事件{C}，{D}，{C，D}，则“能得分”的概率为3/5=1/5，C正确。丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知，共有基本事件11个，随机事件“能得分”中有基本事件{C，D}，则“能得分”的概率为D错误。应选A， B，C。

4.提示：由题意得（a，b）所有可能的取法为（—1，—5），（—1，1），（—1，4），（—3，—5），（-3，1），（-3，4），（2，-5），（2，1），（2，4）， （4，—5），（4，1），（4，4），共12种。对于A，满足ab>0的取法为（—1，—5），（—3，—5），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共6种，所以ab>0的概率P=1/2，A正确。对于B，满足a+b≥0的取法为（—1，1），（—1，4），（—3，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共7种，所以a+b≥0的概率P=7/2，B不正确。对于C.因为直线y=ax+b不经过第三象限，所以a<0，b≥0，满足直线y=ax+b不经过第三象限的取法为（—1，1），（—1，4），（—3，1），（—3，4），共4种，所以直线y=ax+b不经过第三象限的概率P=1/3，C正确。对于D.因为lna+Inb=lnab>1，所以a>0，b>0， ab>e，满足lna+lnb>1的取法为（2，4），（4，1），（4，4），共3种，所以lna+1nb>1的概率P=1/4，D不正确。应选A，C。

5.提示：由题意知A，B，C为互斥事件，C正确。因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P（B）=7/10，P（A）=2/20=1/5，P（C）=1/10，则P（AUB）=8/10，A，B正确，D错误。应选A，B，C。

二、填空题

6.提示：由事件A，B互为对立事件，其概率分别为P（A）=1/2，P（B）=4/42，且x>0，y>0，可得P（A）+P（B）=1/2+4/2=1，所以x+y=（x+x）（1/2+4/2）=5+4/2+/≥ 5+2/2·/=9，当且仅当x=6，y=3时取等号，所以x+y的最小值为9。

7.提示：由题意可得P1=1/2x2%+1/3x1.2%+1/6x1%=39000·P2=P（A） 37答案为3/39700，3/47。

8.提示：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1个黄球”，C=“取出的2球至少有1个白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1个白球”。①由对立事件定义得A与D为对立事件，①正确。②B与C有可能同时发生，B与C不是互斥事件，②错误。③C与E有可能同时发生，不是对立事件，③错误。④基本事件的总数为15，由P（C）=1-5/15=3/5，P（E）=145，P（CE）= ，可得P（CUE）=P（C）+P（E）- P（CE）=1，即CUE=Ω，④正确。⑤由 P（B）=4/5，可得P（B）≠P（C），⑤错误。答案为①④。

三、解答题

9.提示：（1）设事件“电话响第k声时被接”为A（kEN），那么事件A，彼此互斥。设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式得P（A）=P（A1UA2UA3UA1）=P（A1）+P（A2）+ P（A3）+P（A4）=0.1+0.2+0.3+0.5= 0.95。

（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A。根据对立事件的概率公式得P（A）=1-P（A）=1-0.95=0.05。

10.提示：把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为P1，P2。“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况为（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，P2），（x3，P1），（x3，P2），共6种; “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况为（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2， x2），（p2，x3），共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2， x3），（xз，x1），（xз，x2），共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况为（p1，p2），（p2，p1），共2种。因此基本事件的总数为6+6+6+2=20。

（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P（A）=3/20=3/10。记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P（B）=/20=3/10。故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P（AUB）=P（A）+P（B）=3/5。

（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则C为“甲、乙两人都抽到判断题”。由题意得P（C）=2/20=1/10·故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P（C）=1-P（c）=1-1/10=1/10。

11.提示：（1）甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率P=3/7。

（2）如果a=25，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙，共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的为（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），（15，14），（16，12）（16， 13），（16，15），（16，14），即10种取法，所以概率P=1/49。

（3）把B组数据调整为a，12，13，14，15，16，17或12，13，14，15，16，17，a，可见当a=11或a=18时，与A组数据方差相等。（可利用方差公式加以证明，但本题不需要）

12.提示：把3只黄色乒乓球标记为A，B，C，3只白色的乒乓球标记为1，2，3。从6个球中随机摸出3个的基本事件为ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12， A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23， C12，C13，C23，123，共20个。

（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出标记为123的3个球，所以P（E）=1/20=0.05。

（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，所以P（F）=3/20=0.45。

（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，则P（G）=2/20=0.1。假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次，则一天可赚90x1—10x5=40（元），可知一个月可赚1200元。

作者单位：1.河南省焦作市第一中學

2.河南省开封市第十中学

（责任编辑郭正华）