凸显数学思想方法的小学高年级数学实践探究性问题及教学案例分析

詹继涛

（白银市靖远县三滩镇教育管理中心，甘肃靖远 730615）

数学思想方法是数学知识在更高层次的提炼、抽象、概括，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用的过程中，是对数学规律更一般化认识的体现，是形成良好数学认知结构的纽带，是数学知识转化为数学能力的桥梁[1].在小学数学教学过程中，要有意凸显教师的思维过程和运用的数学思想方法，凸显学生的思维过程，要让学生明晰解决问题时所运用的具体的思想方法.数学教育的真谛在于构建灵动的思想，由“法”而破“题”，从而培养学生良好的数学思维品质[2].小学高年级学生需要掌握的基本数学思想方法有：集合思想、对应思想、函数思想、分类思想、化归思想、数形结合思想、极限的思想、优化思想、枚举法、类比法、归纳法、分析综合法、观察与试验法、逆推法、假设法（赋值法）等.

基础知识和基本技能是搭建起学生数学知识体系的素材，基本的数学思想方法是数学知识体系的框架，基本活动经验是将这些素材合理布局在知识体系框架的具体实践.“四基”目标的提出，将以往教学中基本思想、基本活动经验这两个“软任务”提升到了与基础知识和基本技能同等重要的“硬指标”[3].小学数学内容中设计的“综合与实践”的内容模块，是为学生提供通过综合、实践的过程去做数学、学数学、理解数学的机会.综合与实践包含了“数学探究”和“数学建模”两个层面的内容，“数学探究”就是综合运用数学思想、方法、知识、技能解决一些数学问题；“数学建模”就是综合所学习的数学思想、方法、知识、技能解决一些实际生活生产中的问题.落实培养学生基本活动经验的目标，“综合与实践”的内容为学生的体验性学习提供了空间和机会.实践探究性问题的创设对于教学活动设计是关键，使教师真正做到引导学生经历和体验知识的发生过程，了解知识技能背后所包含的数学思想方法和数学本质[4].

1 数学实践探究性问题的认识

1.1 数学实践探究性问题释义

数学实践探究性问题就是要通过学生的实际调查或动手操作来获得经验，应用数学知识和数学技能去探讨问题并加以解决问题，获得新的知识或技能[3].教学中教师经常发现很多学生对公式定理“背”的很熟悉，在解决一些符合公式结构的题目时得心应手，但遇到稍灵活或稍作变形的题目就无从下手，让数学知识活起来，学得更好，理解得更透彻是实践探究性教学的应有之义.教师在教学中应发挥学生在学习过程中的主体性，适时引导，让学生动手操作、主动探究，在“做”中学数学、用数学，真正体验数学的应用价值[5-6]，亲身经历知识的“再发现、再创造”的过程.

1.2 数学实践探究性问题的功能

开展实践探究性的学习，能够引导学生学会认识数学与自然、数学与人类社会的密切联系，在探究过程中学会参与、管理、协作、独立思考和解决问题，体会到数学的应用价值，提高数学学习的兴趣；有助于引导学生学会发现和探究新的问题，特别是提高动手操作能力；使学生在面对新的问题情境时，学会数学地思考，运用所学知识和数学思想方法寻求解决问题的策略，面对新的数学知识时，能够主动地寻找其实际背景，并体会数学的应用价值[7].

开展数学实践探究性的学习，具有5 个功能：

（1）激趣功能.让学生的学习过程更加生动活泼，激发学生探究知识的兴趣，体会学习成果的实用价值；

（2）训练功能.许多实践探究题目具有一定的技能技巧，因而能训练学生掌握一定的技能，积累“做中学”数学的经验；

（3）发展功能.实践探究的过程中产生的兴趣、情感、意志等有利于学生非智力因素的发展；

（4）陶冶功能.开展丰富多彩的实践探究活动，让学生体会到活动成功的愉快，帮助学生树立数学学习的自信心；

（5）养成功能.实践探究的过程中带有一定的活动规则，要求学生认真遵守，还要求学生之间相互合作，和谐配合，因此有利于学生养成良好的行为习惯[8].

数学实践探究题目的设计，符合建构主义的教学观，也符合学科素养发展的要求，有利于助推基本活动经验目标的实现.

1.3 数学实践探究性问题的类型

（1）探究新知型问题.让学生带着问题用数学手段收集数据（或信息），对数学（或信息）进行观察、归纳、分析、猜想、独立思考及群体讨论，去获取新的数学知识.比如在圆的认识中，设置实践活动，让学生用不同的工具和方法画圆，去发现决定圆的大小和位置的要素，再如让学生自主探究圆的周长与半径的数量关系等问题.

（2）应用操作型问题.让学生将所学知识运用到生活和社会活动中，解决一个或几个实际问题，如学习完“量与测量”后，让学生到操场或者校园中实际感受各度量单位的长度，培养学生的估测意识，还如教材中设计的包装盒的问题，让学生体会到合理使用材料，寻求最优化的问题.

（3）拓展延伸型问题.让学生通过实践探究，对教材上的有些问题适当拓展，学会运用所学的知识去探究问题、解决数学问题.

（4）社会调查型问题.让学生通过调查访问，了解数学知识在现实生活中的应用，如学习完统计知识后，让学生到居民区调查家庭用电收费、垃圾袋的使用情况，调查了解班级同学喜欢的电视节目、喜欢的水果等等.

2 数学实践探究性问题创设的基本要求

实践探究问题的创设要有利于培养学生的问题意识，引导学生从生活实际中发现问题、提出问题[5]，要有利于培养学生的工具意识，帮助学生明白数学知识能解决哪些生活问题，体会数学思想的核心价值.要有利于培养学生的研究意识，让学生的数学学习过程从接受知识变为创造知识的过程，使得数学学习过程更具有可视性，将抽象的数学具象化；要有利于形成学生自我学习的理念，能够在知识的拓展应用中，将所学的新知识应用到新的情境中去，从而促进学生的自我发展.因此，数学实践探究型问题的创设，要把握好四个基本要求.

2.1 适应性

实践探究题目的创设，要根据学生已掌握的知识和具备的活动能力、经验水平进行创设，要让学生能做、会做，要符合学生的“最近发展区”，问题的素材背景应当是学生比较熟悉的，处在他们能力范围内的，这样的问题才具有吸引力，能促使学生主动探究.

例1利用图1 中的两个图形，只剪两次，剪开后拼成正方形，你知道怎么剪的吗？

图1

教学思路分析本题主要考察用图形的剪拼等方法组成新图形的技能，六年级学生对圆和正方形的性质都比较熟悉，所以符合学生的“最近发展区”.能够拼成正方形必须有四条直线段作边，可是给出的两个图中，边都是曲线，所以就要考虑剪刀的直线段剪痕做正方形的边.方法1 的剪法如图2（1）；方法2 的剪法如图2（2）.

图2

思想方法分析题目是考察正方形性质的问题，关键是正方形四边是相等的直线段，要用到变换的思想方法，通过调整图形的位置，分割图形，运用等量代换、化归思想方法将图形转化为已经学习过的图形，进而使得问题求解.学生解答这样的问题有一定的数学经验，而且题目和学生的学习生活有密切的联系，在剪拼的过程中可培养学生的发散思维.

2.2 开放性

数学实践探究问题应当具有开放性，问题的结论不一定是唯一的，解决策略也是多元的，要求学生进行多方面、多角度、多层次的探索，让每个学生在探究中都能够有所发现、有所发展，增强学习数学的信心.还要按照一定的逻辑层次，准确完整地组织答案，教学中要结合学生的实际水平，分层次的逐步推进.

例2教师拿来了长分别是2 分米、4 分米、6 分米、8 分米的四根细铁丝，让学生们用这些铁丝制作长、宽都是整分米数的长方形铁丝框（正方形除外）.制作时，可以几根连在一起，你能制作出哪几种长方形铁丝框？

教学思路分析问题核心是要满足长方形的长加宽是周长的一半，已知长方形的周长，求长方形的长和宽.先放开让学生自主组合铁丝制作长方形，由于学生的解题策略不同，答案会有许多，学生互相交流可以通过连接搭配的办法做出更多长方形铁丝框，教师再引导学生有序归纳总结，不重不漏，见表1.

表1 2 分米、4 分米、6 分米、8 分米的四根细铁丝连接制作长方形

思想方法分析题目是考察长方形性质的问题，需要把长方形的知识综合在一起，主要用观察法、类比法寻找规律，运用分类思想、化归思想、有序组合的思想方法总结，教学设计中要凸显以上具体的数学思想方法，使学生能够感受到解题的目的是掌握数学方法，不是就题解题.

2.3 层次性

实践探究问题应尽可能地设计系列问题，且各问题之间的难度应该逐渐增加，使得每个学生都能够在能力水平上有所提高.如在统计的学习中，学生经过统计后画出统计图，说一说从统计图中可以获得哪些信息.学生可以提出不同层次的问题，从问题的深度可以折射出学生的思维水平.

例3剪一剪，看一看，一个正方形可以分割为几个小正方形（小正方形的大小可以不同）.

教学思路分析分成4 个是最容易的.能否分成5 个？通过学生的动手实践：裁剪、折叠、画图，得出不能分成5 个正方形，在这个过程中学生会剪出6、7、8 个正方形，讨论n=6，7，8，以此类推步长为3时都成立（图3），归纳得n（n≥6）成立可推得n+3也成立.所以命题对于大于5 的整数都成立.不同层次的学生剪出不同的分割，教师都要给予肯定.

图3 将一个大正方形分割成若干个小正方形

思想方法分析此题目用的数学方法是数形结合的方法、归纳法.让学生画图说明一个正方形可以分割为4、6、7、8 个小正方形，再归纳得出结论.画图是一种数学表达方式，教学时要教给学生画图的方法，尽量让学生用数学语言去描述问题.特别是对于如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等基本形体的画图，可以很好地培养学生的空间观念，发展学生的数学交流能力.

2.4 综合性

数学实践探究问题的设计中要有意识地加强数学与其他学科、现实生活的联系，培养学生跨学科学习的能力和综合应用数学知识的能力.比如节省原材料能降低产品的成本，针对这一现象设计题目，让学生计算总结怎样更合理.

例4张亮家在装修.木工师傅需要将一批每根长410 厘米的木龙骨，锯成甲、乙两种木件.甲件每根长70 厘米，乙件每根长110 厘米.为了节约，木工师傅应该怎样下料呢？

教学思路分析本题与实际生活密切关联，为了降低成本，木工师傅在制作木件的时候，要尽量把木龙骨锯成有用的甲、乙两种木件，使余料最少.这是解决此题的关键，锯的各种方案设计，通过计算进行比较得出结论.

方案（1）每根木龙骨上截取甲件5 根、乙件不取，余料60 厘米；

方案（2）每根木龙骨上截取甲件4 根、乙件1根，余料20 厘米；

方案（3）每根木龙骨上截取甲件2 根、乙件2根，余料50 厘米；

方案（4）每根木龙骨上截取甲件1 根、乙件3根，余料10 厘米.

比较以上锯木龙骨的4 种方案，可知方案4 最合理，因为余料最少，木料的利用率高，所以木工师傅应该在每根木料上截取甲件1 根、乙件3 根.

思想方法分析这一问题与租车、租船方案一样，要运用枚举的方法，逐一进行计算比较后，获得结论.

3 数学实践探究性问题的解题策略

实践探究题目所包含的信息比较多，应用数学知识与技能的要求比较高，需要学生具备扎实的数学基础知识和基本技能，还要具有良好的审题习惯和处理各类信息的能力[3].因此，在教学设计中要培养学生的问题意识，学会从生活实际或者数学问题中发现问题、提出问题；要强化学生心目中的数学工具意识，进一步了解数学思想方法在各个领域的应用，能够整合运用所学的知识进行创新性学习，克服以往的数学很抽象的印象，变被动的接受式学习为主动的体验式、建构式的学习.

3.1 明确解决问题的方向

实践探究题目往往会用一个情境甚至实验来说明问题，而题目中的文字、图画、表格都与生活有一定的联系，在阅读时启发学生不妨把它与生活中的原型联系起来，用自己的生活经验去思考，要源于生活又高于生活.比如人教版数学教材数学广角中设计到的实践活动，尽管与现实生活有密切联系，但绝不能将思维停留在解决这些生活化的问题，要上升到数学思想方法和策略的高度.

例5如图4，现有9 个分别是1 千克、2 千克、3千克、……、9 千克的砝码，把它们如图4 那样挂起来，完全平衡.请在图中填入数字（注：图4 中刻度的间隔相等，横杆和吊绳的重量不计）.

图4

教学思路分析培养学生有序地思考问题，有序的语言表达.为了叙述方便，将吊钩简称为g，做如图5 的排序.杠杆的刻度到杠杆中点的距离叫力臂.如g1 的力臂为3 个单位长度，简称3，g2 的力臂为1，g3 的力臂为2，g4 的力臂为3；g2-1 的力臂为3、g2-2 的力臂为2；g4-1 的力臂为1、g4-2 的力臂为1、g4-3 的力臂为2.要使杠杆完全平衡，就要使杠杆两端的千克数乘力臂数的积相等，即

图5

g1 上的千克数× 3=g4 上的千克数× 3；

g2 上的千克数× 1=g3 上的千克数× 2.

试验结果如图6：g4-1 上的千克数是9、g4-2上是3、g4-3 上是1 和2；推得：g1 上的千克数是7和8；再推得g2 上是4 和6，g3 上是5.

图6

思想方法分析题目用的是试验法解决问题.数学不是实验科学，观察和试验不是数学的主导方法，但对数学有着重要的作用，可帮助人们发现问题、说明研究对象的某一数学性质.许多问题，可以通过试验观察来找到答案.

3.2 寻找解决问题的依据

审清题目的基础上，根据题目的条件和问题，联系所学的概念、性质、法则等基础知识和基本技能，针对数学知识的综合应用，找到解题的“关键点”，寻找到解题的依据之后，要学会运用数学的思维方式，多角度思考、分析问题，大胆猜想，探求尽可能多的方法和结论，并加以整理和论证，从而将题目中的实际问题转化成数学问题.

例6五个猴子相约到海滩上去分香蕉，一个猴子早到，它将香蕉分成相等的五份，多出一个扔进了海里，留下一份，拿着其他的四份找同伴去了.第二个猴子到了海滩，又将香蕉分成相等的五份，多出一个扔进了海里，留下一份，拿着其他的四份去找同伴.第三、第四个猴子都如此办理，最后第五个猴子来到海滩，同样将香蕉分成相等的五份，多出一个扔进了海里，留下一份，拿走了四份，海滩上只留下1个香蕉.问最初海滩上有多少个香蕉？

教学思路分析经过分析此题用逆推法比较方便.引导学生反向逆推并用表格表示所剩香蕉数（表2），可得出最初海滩上香蕉数有3906 个.

表2 解题思路分析

思想方法分析如果一个题目给出了未知量经过某些运算而得到的最后结果，解题时，从正向去分析解题过程比较困难，或者出现一些复杂的运算，这时可从反向逆推，从最后结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算.这种思想方法叫逆推法，在处理一些问题时经常要用到逆推法.

例78 个小球分别编号①②③④⑤⑥⑦⑧，其中有6 个球重1 克，1 个球重2 克，1 个球重3克.用天平称3 次，如图7，问：2 克重和3 克重的各是几号球？

图7 天平称小球

教学思路分析：

答：2 克的球是②，3 克的球是⑥.

思想方法分析在学生的探求过程中教师可引导学生运用集合思想方法解决问题，充分运用演绎推理得到结论.用集合代表天平盘中的小球，用元素与集合的关系判断小球的所属，层次分明、直观清晰，学生很容易解决问题.在解决数学问题时，离不开演绎推理.小学数学教材中，在运用运算法则、运算定律、运算性质进行计算时，主要运用演绎推理.

3.3 设计解决问题的合理方案

实践探究问题解决中，要在理解题意、找到解决问题所有的关系基础上，设计出解决问题的合理方案或者数学模型，然后按顺序进行解答，问题解决后还要回到题目中去检验，是否符合题目的要求和实际生活.

例8刘伟要买辆独轮车，价钱是290 元，他现有225 元，每月还有30 元的零花钱.下面有三种购车办法，可以根据具体情况做选择：

A：存款到够290 元再买；

B：首付90 元，然后每月付19 元，付一年；

C：零首付，每月付28 元，付一年.

要求算出每种选择所需付款的总数，然后作出比较.（1）哪种选择付款最少？（2）如果是你，会选择哪一种？为什么？

教学思路分析本题将旨在通过练习让学生体会到解决问题的多种策略，通过各种不同的付款方式，让学生学会理财，学会用数学的思想方法来解决实际问题，培养解决问题的能力.

（1）三种购车方法的付款数量如下：

方案A：290 元；方案B：318 元；方案C：336 元.

所以方案A 付款最少.

（2）选择哪一种付款方式，要根据个人每月能够支付的钱数和对商品的需要程度来判断，为此，需要做利弊分析：

方案A 的付款数量最少，但是需要等到自己存款到290 元时再购买，根据现有225 元和每月的收入30 元计算，至少在3 个月之后才能买到独轮车，而且会在前两个月没有零用钱；方案B 付款总额较多，且要花去一部分储蓄，但是能够立刻买到独轮车，且每个月还能留11 元的零用钱；方案C 付款总额最多，但不用花费储蓄，并且能够立刻得到自行车，但每月只剩2 元零用钱.

思想方法分析 题目的问题中涉及到支付方案的优化问题，要求运用自己学到的数学知识去选择一个最优方案，为自己的生活带来便利.在社会实践中，经常会遇到如何使费用最小或效益最高等最佳策略制定的问题，数学上把这类问题叫做最大最小问题，这正是“优化思想方法”的价值所在.

4 结束语

数学思想方法是科学方法中的理性方法最重要的一种，大凡在比较成熟的科学中，都广泛运用数学方法.如果教师在数学教学过程中善于合理运用发现新知识和新规律的数学思想方法进行教学，注重培养学生的数学思维能力[9]，让学生掌握数学思想方法，不仅使学生对数学知识能够加深理解，而且对培养学生的数学思维品质有重要的作用.