基于准静态挠度曲面的桥梁无模型损伤定位*

2022-05-21方圣恩黄继源

振动、测试与诊断 2022年2期

方圣恩，黄继源

（1.福州大学土木工程学院福州，350108）

（2.福州大学土木工程防震减灾信息化国家地方联合工程研究中心福州，350108）

引言

桥梁结构经过长期运营后必然发生性能退化和损伤，存在安全隐患，有必要通过健康监测系统实时评估桥梁的安全状态［1］。损伤识别是桥梁监测系统的核心功能之一［2］，可以及时发现并定位桥梁由于外部因素或自身缺陷所造成的损伤，以便及时维修和加固，延长桥梁的使用寿命［3-4］。常见的桥梁损伤识别方法一般基于振动测试数据［5］，通过时域信号或频域信息构建目标函数，再基于模型修正和优化算法实现对结构参数的识别［6］。时域方面，可以采用小波变换［7］或将小波包分解和重构信号的样本熵相结合的方式［8］，构建损伤指标；频域方面，可以基于模态分析获取桥梁结构的频率［9］、振型［10］及二者衍生的模态柔度［11-12］，或直接根据频率响应函数建立损伤判别方法［13］。实际工程中振动信号容易受到测试噪声和环境因素的影响，使得基于振动的损伤识别方法难以有效应用。同时对复杂结构而言，模型修正过程容易碰到病态矩阵导致难以收敛，或反向优化求解工作量大等问题。相对于动力响应来说，静力测试数据受环境和噪声的影响相对小，测试结果比较稳定，因此基于静力数据如挠度和转角的损伤识别方法也获得了关注［14-17］。

土木工程实践中，挠度曲线和位移影响线常用于分析静态或准静态荷载作用下结构的位移响应。可以结合挠度曲线样条插值和应变能损伤定位指标来判断可能损伤的单元［15］，或利用挠度影响线的一、二阶导数（曲率）来识别损伤，常通过中心差分法来计算导数［17］。采用桥梁损伤前后挠度影响线变化作为指标，基于多影响线信息融合来增强损伤定位的准确性［18］。此外，根据截面转角测量结果，通过桥梁损伤前后的转角影响线差来识别损伤［16］，可以仅在桥梁前后端布设测点［19］。实际应用时挠度影响线的导数对测试和环境噪声极为敏感，数据的微小扰动都会对识别结果造成显著影响，同时转角测试难度大，精度难以保证，因此亟需提出更可靠的静力损伤识别方法。

考虑到成本因素，结构健康监测系统往往布设于大跨径桥梁。笔者针对中小跨径桥梁的损伤识别，首先，把桥梁上移动的车辆荷载简化为准静态荷载，不考虑惯性力效应；其次，将挠度曲线和挠度影响线相结合，提出一种准静态挠度曲面（后文简述为挠度曲面）的概念，本质是桥梁上所有测点在移动荷载作用下的影响线集合，也包括荷载分别作用在每个测点上所得到的挠度曲线集合；然后，通过虚功原理推导了挠度曲面的分段解析表达式；最后，对桥梁损伤前后的实测挠度曲面做差，得到挠度曲面差，以此判断损伤位置。所提出的方法力学概念清晰，使用方便，无需结构的有限元模型，是一种无模型的损伤定位方法。

1 准静态挠度曲面

1.1 挠度曲面解析表达式

桥梁上车辆荷载的轴重可以认为是施加于桥面板的集中荷载，沿着桥梁纵向移动。笔者以单跨等截面简支梁为例（见图1），利用虚功原理中的单位荷载法［20］，将简支梁在移动集中荷载P作用下的挠度求解过程进行简化，并结合图乘法进行计算。

图1 单跨简支梁计算简图Fig.1 Calculation diagram of a single-span simply supported beam

图1 中：x，y分别表示P与梁上某截面到左支座中心的距离，L为简支梁计算长度。桥梁上部结构一般处于弹性工作状态，类似欧拉-伯努利梁，此时弯矩对挠度的贡献占主要地位，可以忽略剪力和轴力的影响。因此，应用虚功原理计算挠度时只考虑弯矩引起的挠度。

根据图1 绘制P和虚拟单位力=1 作用下的弯矩图MP和，如图2 所示。得到弯矩图的分段函数表达式为

图2 集中荷载和虚拟单位力作用下的简支梁弯矩图Fig.2 Bending moment diagram of the simply supported beam under a concentrated load or a virtual unit force

挠度曲面ΔP(x，y)的表达式为

其中：E为弹性模量；I为截面惯性矩。

按照x，y的坐标位置关系，可将ΔP(x，y)分为两个部分，并将式（1）、式（2）代入式（3），结合图乘法得到无损梁的ΔP(x，y)表达式为

由式（4）可知，挠度曲面上任意一点(x0，y0)表示P作用于x0位置时，y0位置产生的挠度。同时x，y具有交换对称性，即二元函数ΔP(x，y)的三维曲面图是关于x=y坐标平面对称的。例如，假设梁的参数与外荷载为E=200 GPa，I=2.04×10-8m4，L=2 m，P=1 kN，对应的挠度曲面如图3 所示。由图可见，无损简支梁的三维挠度曲面关于x=y坐标平面呈对称。

图3 单跨简支梁挠度曲面Fig.3 Deflection surface of the single-span simply supported beam

1.2 挠度曲面差

仍以图1 简支梁为例，若梁上距离左支座48 cm处存在损伤，损伤梁段长度为2 cm，抗弯刚度EI降低25%（采用E降低模拟，比如E'=150 GPa），此时MP和如图4 所示。

图4 简支梁损伤后弯矩图（单位：mm）Fig.4 Bending moment diagrams of the damaged simply supported beam (unit:mm)

为求解梁上任意一点（截面）的挠度值，根据实际荷载P、虚拟单位力=1 和损伤的位置关系，将式（3）积分曲面分为图5 所示的12 个部分。

由于简支梁为静定结构，局部刚度的改变不会引起内力重分布，因此计算损伤梁的挠度仍可沿用无损梁的弯矩图，只是积分计算过程中需要考虑损伤和完好梁段的弹性模量不同，进行分段积分。因此，分别对图5 每个区域进行积分，损伤后的ΔP(x，y)表达式包含有12 个部分。将梁参数与荷载信息代入表达式，将其与无损梁的挠度曲面做差，即得到挠度曲面差如图6 所示。

图5 简支梁损伤后挠度曲面函数积分区域（单位：m）Fig.5 Domain of integration of deflection surface formula of the damaged simply supported beam (unit:m)

相同荷载作用下，损伤梁各截面的挠度值都会变大，但幅度不同。挠度测试截面的位置、加载位置与损伤越近，挠度增幅就越大。图6 中挠度曲面差三维图上形成了一个尖峰，处于坐标（0.5，0.5）位置，与假设损伤的位置相同，验证了挠度曲面差可以用于损伤定位。进一步来说，荷载P沿梁纵向移动，当P位于损伤处时，发生的挠度差最大，差值依次向梁端支座递减，说明梁上各点的位移影响线和挠度曲线对损伤的敏感度不同，且敏感度与损伤的位置有关，这有利于损伤定位。

图6 简支梁挠度曲面差（解析形式）Fig.6 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (analytical form)

1.3 挠度曲面的矩阵表示

实际工程上的桥型往往更复杂，难以通过理论推导获取式（4）所示的解析解，构建连续曲面。此外，考虑测试难度和成本因素，通常只能布设一定数目的挠度测点，因此可以采用矩阵形式来表示挠度曲面。不失一般性，此时无需建立桥梁的有限元模型或力学模型，只须对无损和损伤桥梁进行移动荷载加载，并记录测试点截面的挠度，比起解析解来说更为实用和方便。若需要更光滑的挠度曲面，只须增加测点数目即可。

比如将图1 简支梁划分为20 梁段，布设21 个测点（1 和21 号点为支座处，竖向挠度恒为0），如图7所示。分别求得无损和损伤梁在移动荷载P作用下的挠度值，组成21×21 阶的挠度矩阵。对损伤前后的挠度矩阵做差，得到挠度矩阵差，也为一个同维度矩阵。由于挠度矩阵中每个元素都包含有挠度测试位置与荷载位置信息，因此可以采用挠度矩阵差来绘制挠度曲面差，如图8 所示。

图7 单跨简支梁梁段划分和测点布设Fig.7 Beam segment layout and measurement points of the single-span simply supported beam

对比图7、图8 可见，两个挠度曲面差一致，图8曲面尖峰的位置仍位于坐标（0.5，0.5）处，与解析法的结果相同，说明了采用挠度矩阵表示挠度曲面的可行性。

图8 简支梁挠度曲面差（矩阵形式）Fig.8 Difference of deflection surfaces of the simply supported beam (matrix form)

2 连续箱梁桥挠度曲面差

对于更复杂的桥梁形式，可以采用1.3 节所述的挠度矩阵来绘制挠度曲面，本节采用有限元模拟建立桥梁中常见的连续变截面箱梁桥的上部结构模型（见图9），研究挠度曲面差损伤定位的可行性。

图9 两跨变截面连续箱梁桥上部结构有限元模型Fig.9 Finite element model of the superstructure of a twospan variable cross-section continuous box girder bridge

该箱梁桥的上部结构模型计算长度为2 m，沿纵向共划分22 个梁段（单元），共设有21 个测点，荷载P=200 N 沿着测点依次移动。梁材料弹性模量为2.75 GPa，密度为1 200 kg/m3，截面几何尺寸见第3 节试验部分。假设单损伤和双损伤两个工况，位于［0.3，0.4］m 和［1.6，1.7］m 区域，损伤梁段（单元）的弹性模量降低25%。通过有限元计算得到无损梁和损伤梁的各截面挠度，构建挠度矩阵并做差，进而绘制挠度曲面差，如图10 所示。由图可见，不论是单损伤还是双损伤工况，挠度曲面差的峰值位置均处于设定的梁段，说明挠度曲面差同样可以对变截面箱梁桥进行损伤定位。

由图10 还可发现，连续梁结构与简支梁不同，当移动荷载作用在前者的某一跨时，会在该跨的挠度曲面上形成一个峰，同时相邻跨的挠度曲面上生成一个谷。这是由于荷载作用跨的挠度是向下的，相邻跨会产生一个向上的反拱变形，即负挠度现象（挠度以向下为正）。与简支梁相同的是，当荷载作用在损伤处时，会使此处梁截面的挠度变大，挠度差以此截面为中心向两侧支座发生递减，同时损伤越严重，则峰越高，谷越深。

图10 变截面连续箱梁桥挠度曲面差Fig.10 Difference of deflection surfaces of the variable cross-section continuous box girder bridge

3 试验验证

3.1 变截面连续箱梁桥模型

笔者采用有机玻璃制作了一个变截面连续箱梁桥上部结构的模型，并进行了静载试验。两跨箱梁计算长度为2 m，每跨包含0.85 m 的变截面段（改变腹板高度），立面线形为二次抛物线（见图11）。有机玻璃材料的弹性模量为2.75 GPa，密度为1 200 kg/m3。沿梁长方向每0.2 m 布置1 个测点，共8 个挠度测点，测点下布设位移计，此时3 个支座测点的挠度默认为0，无需布设位移计。采用钢棒加重物（约108 N）方式模拟集中荷载，按测点顺序依次移动加载，每个荷载步下记录所有位移计的示数，作为各梁截面的挠度，然后将获得的挠度数据按照加载次序和测点位置次序排列成矩阵形式，挠度矩阵包含了支座的0 挠度值数据，进而绘制挠度曲面，完成一次完整的试验流程。根据完好梁和损伤梁的挠度曲面矩阵，计算得到挠度曲面差。

图11 变截面连续箱梁桥上部结构模型（单位：mm）Fig.11 Superstructure model of a variable cross-section continuous box girder bridge (unit:mm)

该梁采用切割梁底板的方式模拟损伤，如图12所示。共设置3 个损伤工况：①单损伤，将2 号测点处梁底板厚度削弱1.5 mm，宽度为底板全宽，长度为沿箱梁桥模型纵向20 mm；②将2 号测点处梁底板厚度进一步削弱到4.0 mm，宽度和长度保持不变；③模拟双损伤，进一步将7 号测点处梁底板厚度削弱4.0 mm，宽度仍为底板全宽，长度为沿箱梁桥模型纵向20 mm。

图12 变截面连续箱梁桥模型试验和损伤切口Fig.12 Experiment of the variable cross-section continuous box girder bridge model with the damage notch

变截面连续梁的挠度曲面差如图13 所示，前2个工况挠度曲面差的峰值都出现在0.4 m 坐标处，且峰值随着底板削弱厚度的增加而升高，直观体现了损伤程度的增加，即挠度曲面差可以根据峰值的高低来判断损伤的程度。工况3 时发现1.6 m 坐标处出现了新的峰值，说明双损伤情况得到了很好的识别。综上可见，本研究方法很好地定位了3 种损伤工况的梁底切口位置，特别是损伤定位过程无需建立结构的有限元模型，是一种无模型识别方法，非常便于工程实际应用。