构造对偶式，让解题更高效

何鹏 张志刚

将函数式F中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“o"变成“1”，“1”变成“o”，并保持原函数中的运算顺序不变，则得到的新表达式为函数式F的对偶式.在解题时，依据已知关系式的结构特征，构造结构一致，具有某种对称关系的一对对偶式，就能通过加法﹑减法、乘法等运算，巧妙地求得问题的答案.本文重点探讨一下如何巧妙地构造对偶式.

一.通过取倒数构造对偶式

有些已知关系式中含有成倒数关系的式子，此时可根据已知关系式的结构特征，取倒数，便可构造出方程组，通过解方程求得问题的答案.

例1.已知2f（x）+f（一）=3x ，求函数f（）的解析式.解：用↓替换已知关系式中的x ，

得2（与）+f（x）=3，

W）-x ’

2r（x）+f（A）=3x，

因此

2r（）+八（s）=宁解得f（x）=2x-！.

显然与x成倒数关系，已知关系式是关于f（t）与f（）的关系式，于是用替换已知关系式中的x ，构造出已知关系式的对偶式，通过解方程组求得f（x）的表达式.

例2：

解：

通过取倒数，构造 A 的对偶式 B ，然后借助基本不等式进行放缩处理，就能轻松证明不等式.

例3：

证明：

根据目标不等式的结构特点构造对偶式，便可结合已知条件进行放缩得A+B≥1+兰+李+…+是，从而使问题获解.

二，通过和、差运算构造对偶式

当遇到求值题目时，通常可通过和、差运算来构造对偶式.将两个已知关系式相加、或相减，或将已知关系式中的“+”替换成“一”，构造出另外一个结构一致，“+”“_”符号不一致的式子，再通过加减运算便能求得问题的答案.

例4.已知f（一x）+2f（x）=2* ，求函数f（x）的解析式.解：用–x替换已知关系式中的x ，

得f （x）+2f（一x）=2'，

因此 （一X）+ 2f （x）=2"，

＼f（x）+2f（一x）=2*，解得f（x）= 2+'_2-*.

已知关系式是关于fx）与f（一x）的关系式，而题目中α的取值具有任意性，因此可用-x替换已知关系式中的x ，构造另一个结构类似的关系式，进而把f（x）、f（-x）看作未知数，通过解方程组求得f（）的表达式.

例5.已知 a = ，求 a5-2a4-2020a3的

解：

2021-1

设 b = -1，

则 a -b =2，ab =2020，

從而可得 a5-2a4-2020a3=a5-a -ba4-aba3=a5-a5+a4b -a4b =0.

通过对已知条件和所求目标式的观察，可以捕捉到以下信息：表达式“a5-2a4-2020a3”中的“2”可视为2=（+1）-（-1），“2020”可视为2=（+1）×（-1），于是联想到通过和、差运算构造对偶式，然后通过恒等变换求值.

例6.已知α∈ R ， sin α+2 cosα= ，则 tan2α=（）.

A.3B.   C.-    D.-4   4     3

解：设sin α+2 cosα=的对偶式为sin α-2 cosα=t，

则sin α+2 cosα=①，

由①2+②2得 t =-或 t = ，     当 t =-时，sin α=- ，cosα= ，从而可得 tanα=- ， tan2α=- ;

同理，当 t = 时，tan 2α=- .

综上可得tan2α=- ，故选C

解答本题的关键在于构造已知关系式的对偶式 sin α-2cos α=t ，建立关于 sinα、 cosα的方程组，通过解方程组求得 sinα、 cosα的值，进而求得问题的答案.

例7.若0<θ<，且3 sin θ+4 cos θ=5，求 tan θ的值.

解：设3 sin θ-4cos θ=t（其中 t 为常数），

则解得 ，，

将其代入 sin2θ+ cos2θ=1，得 t =-，

进而得 tan θ= .与研究

将已知关系式中的“+”变成“-”，构造对偶式，然后通过和、差运算，求得方程的解，即可求得问题的答案.

三、通过配凑系数构造对偶式

对于已知条件为实数a，b满足的关系式 f（a，b）=0，求表达式 pa +qb（其中p，q为常数）的最值问题，可联想到平面向量数量积的坐标表示形式，于是尝试

对已知关系式和目标式进行整体考虑，构造出对偶式，再借助数量积的性质∙≤进行放缩即可解题.

例8.（1）已知实数a，b满足 a2+4b2=1，求 a +b 的最大值;

（2）已知实数 a， b， c 满足 a2+2b2+3c2=1，求 a +2b 的最大值.

解：（1）因为 a +b =a ∙1+2b ∙，

而 a2+4b2=1可变形为 a2+2b2=1，

其对偶式为：12+ è（æ） ø（ö）2= .

设向量 =a，2b，= è（æ）1，  ø（ö），

则 a +b =a ∙1+2b ∙= ∙ ≤=∙ 2= ，当且仅当 a = ， b =1时取等号.所

以 a +b 的最大值是5.

（2）因为 a +2b =a ∙1+ b ∙，

而 a2+2b2+3c2=1可变形为 a2+ b2=1-3c2，其对偶式为：12+2=3.

设向量 =a，  b，=1， ，

则 a +2b =a ∙1+ b ∙= ∙ ≤

= ∙= ≤3，

当且仅当a =b = ，c =0时取等号.

所以a +2b 的最大值是 .

本题中的两个小问题在本质上都是有限制条件的二元函数最值问题.由于目标关系式均为线性关系式，于是联想到平面向量数量积的坐标表示，通过配凑系数构造出 a2+2b2=1的对偶式，再对已知关系式和目标式进行拆分重组，借助数量积的性质∙≤进行放缩，就能顺利解题.

四、通过奇数、偶数变换构造对偶式

整数可分为奇数、偶数.当遇到只含有奇数或偶数的式子，我们便可根据代数式的结构形式构造出对偶式，然后将两式相加、减，以构造出所有的整数项，或者关于自然数 n 的数列，通过寻找数列中的规律，运用整体思想来求得问题的答案.

例9.求证：2×4×6×…×2n < .证明：设 A = × × ×…× ，

24 6  2n

35 7  2n +1，

1234 56 2n -1 2n

23， 45， 67，  2n   2n +1，

所以 A <B ，可得 A2<AB = ，

故A < ，即× × ×…× < .

根據所要求证的不等式中分子、分母的特点，构造

b  b +m

五、通过变量轮换构造对偶式

有些题目中的几个变量可轮换，即每个变量的意义、位置相同，可通过轮换变量来构造对偶式，构造出可使用基本不等式的条件，运用基本不等式来解题.

例10.若 a >1， b >1，求证：+ ≥8. 证明：设 A = + ，B = + ，则 A -B == += ≥0，

从而可得 A≥B .

由基本不等式得 B =b+1+ +a+1+

=b -1++a -1+ +4≥2+2+4=8，

当且仅当a =b =2时取等号.

所以 A≥B≥8，即 + ≥8.

仔细观察目标式，可发现 a、b 可轮换，于是构造其对偶式，利用基本不等式证明结论.

例11.若a，b，c都是正数，求证： + +

c +a ≥ 2 .

证明：设 A = + + ，

B = a +b + b +c + c +a ，

则 A +B = + +

≥ + + =a +b +c ，

而 A -B =0，所以 A =B≥ ，

即 + + ≥ ，原不等式成立.

题目中 a、b、c 可轮换，于是构造出对偶式B，将A、 B相加、减，便可构造出可运用基本不等式的条件.

从以上各例可以看出，运用构造对偶式法解题的关键是构造对偶式.在构造对偶式时，要注意将题目的条件和结论关联起来，通过观察、类比、归纳、猜想等手段从中捕捉到有用信息，合理构造出对偶式，通过加工、重组、再生，探求出解题的思路.

（作者单位：山东省宁阳县复圣中学）