进行兰角恒等变换的几个技巧

陆咸娟

解答三角函数问题，通常需先对三角函数式进行恒等变换，因此掌握一些进行三角函数恒等变换的技巧是很有必要的.笔者对进行三角恒等变换的技巧进行了如下总结，希望对大家的学习有所帮助.

一.拆角与补角

三角函数式中的角不相同，往往会给解题带来很多麻烦，此时可以通过拆角、补角的方式，如c =（o+3）-B 、=o+p_a，p，将问题中的角统一.在变换角的过程中，通常要用到辅助角公式、诱导公式、二倍角公式，两角的和差公式等.

例1.已知 sinβ=m sin （2α+β），且α+β≠ +kπ（k ∈ Z），m ≠1，求证：tan （α+β）= tanα.

解析：题目中的已知角有β、2α+β，未知角有α+β、α，需通过拆角、补角来建立它们之间的联系.仔细分析不难发现，β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，便可利用两角的和差公式证明结论.

证明：sin[（α+β）-α]=m sin[（α+β）+α]，

则sin（α+β）cos α- cos（α+β）sin α=m sin（α+β）· cos α+m cos（α+β） sin α，

整理得（1+m）sin α cos（α+β）=（1-m）cos α sin（α+β）.由于α+β≠ +kπ（k ∈Z） ， α≠（k ∈Z） ， m ≠1 ，

所以（1-m）cosα= cos（α+β）=tan（α+β），因此 tan（α+β）= tanα.

在進行恒等变换的过程中，将角进行合理拆分、组合，利用角之间的互余关系、互补关系、和差关系、倍半关系等，将不同的角进行统一，便能使问题迎刃而解.

二、升幂与降幂

升幂与降幂是进行三角恒等变换的重要方法.若三角函数式中幂的次数不一，则可通过升幂与降幂的方式，将三角函数式中的幂统一.在升幂或降幂的过程中，常用的公式有二倍角公式、sin2α+cos2α=1.

例2.求值：.

解：

=  2 cos2α sin2α     =2

3 cos2α sin2α（cos2α+ sin2α）  3，

所以 = .

本题中出现了4次、5次、6次的三角函数式，需要对其作降幂处理.运用关系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式2cos2α-1=1-2 sin2α= cos2α将其化简，即可使其幂的次数变为2，通过约分，使函数式简化.

三、换元法

换元法是指通过引进新的变量，使复杂的三角函数式能够转化为简单的形式.而对于一些较为复杂的三角函数式，可通过换元，将代数式中结构相同的部分用新元代替，从而简化关系式，顺利解题.

例3.已知函数 f（x）=sinx + cosx + sinxcosx，求 f（x）的最大值.

解：令 t = sinx + cosx = sin（x +），

则 t ∈[- ，]，

所以sinxcosx = ，

故原函数可以转化为 f（t）=t+ =（t +1）2-1，

t ∈[- ，].

当 t = ，即 x = +2kπ，k ∈ Z 时，f（x）max =f（t）max

=+

利用已知条件中的特定关系，把式子sinx+cosx用 t 表示，即可实现变量替换，再利用二次函数的单调性就能求出最大值.

总之，在进行变换的过程中，要合理运用拆角与补角、升幂与降幂、换元的方法来将三角函数式中的角、幂、函数名称进行变换，以使三角函数式中的角、幂、函数名称统一，并化为最简的形式.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）