基于改进灰色Verhulst模型的巷道变形破坏预警方法研究及应用
2022-05-20王文杰
李 甲，王文杰，尹 东
(武汉科技大学 资源与环境工程学院，湖北 武汉 430081)
随着地表浅层矿产资源开采殆尽，国内诸多矿山已经转入中深部开采，在井下高地应力场重新平衡的过程中，会挤压巷道围岩发生变形，当变形量超过巷道围岩自身的变形极限时，巷道围岩最终会以变形破坏的形式失稳[1-2]。在高地应力条件下，巷道围岩的变形破坏程度较浅部开采显著增大，尤其是大变形破坏极大地威胁着矿山安全生产[3-4]。因此，通过对巷道围岩变形进行监测预警，降低其变形失稳的危险性对矿山安全生产具有重要意义。
众多学者针对巷道围岩变形破坏预警进行了诸多研究。崔秀敬[5]、秦兵文[6]等采用BP神经网络对监测数据进行拟合，得到了矿岩体破坏的特征方程并构建了巷道顶板变形破坏的预警模型；马熊忠[7]、李苗[8]等利用累计差量法对多个矿山矿岩失稳时声发射差量的一般规律进行研究，利用研究结果对采空区巷道围岩变形失稳进行了有效预警；张耀祖[9]根据现场经验，确定了位移、声发射的临界值，构建了围岩变形破坏的综合预警模型。然而，诸多学者在建立巷道围岩变形失稳预警模型时，通常依据大量监测数据设定预警阈值，当数据样本较少时，预警精度较低。
灰色Verhulst模型被广泛应用于人口增长、生物生长、繁殖、经济寿命等的饱和状态成“S”型的领域，其具有对小样本数据拟合度高的特点[10]。矿山巷道围岩变形时累计位移量的变化情况近似于“S”型，与灰色Verhulst模型的发生、发展、成熟，以及最后到达极限的变化特征具有较高的契合度[11-12]，因此可利用灰色Verhulst模型反映巷道围岩变形破坏的过程。灰色Verhulst模型应用于巷道围岩时主要是预测巷道围岩的变形破坏情况[13-14]，但是鲜有学者用灰色Verhulst模型直接作为预警方法对巷道围岩变形失稳进行预警。故笔者通过灰色Verhulst模型拟合巷道围岩变形失稳过程中累计位移量的曲线图，划分巷道围岩变形破坏的危险等级，构建基于灰色Verhulst的巷道围岩变形失稳预警模型，以期为前期缺乏监测数据的矿山提供有效的巷道围岩变形失稳灾害预警方法。
1 基于灰色Verhulst模型的巷道围岩变形失稳过程分析
由灰色Verhulst模型的特征可知，在“S”型曲线拐点之前，曲线斜率逐渐增大；拐点之后，曲线斜率逐渐减小；在曲线峰值处斜率减为0，此时巷道围岩失稳破坏，故可将斜率最大处设置为巷道围岩变形破坏的1个预警阈值。通过logistic函数拟合式可求出巷道围岩完全破坏时的极限位移量，可将其设置为另1个预警阈值。
根据求得的预警阈值，参照巷道围岩变形失稳的3个阶段[15-16]，即剧烈变形阶段、缓慢变形阶段和稳定变形阶段，将变形失稳灾害危险级别设置为 4级。在剧烈变形阶段，巷道围岩变形速率不断增大，但是围岩累计位移量不大，此阶段基本不会发生围岩失稳现象，与灰色Verhulst模型拐点之前的变化趋势一致，故将拐点处作为剧烈变形阶段与缓慢变形阶段的临界点，拐点之前设置为Ⅰ级(安全)；缓慢变形阶段持续时间较长，是变形失稳灾害发生的过渡阶段及采取安全措施的黄金时期，因此需要对此阶段进行重点研究，依据缓慢变形阶段变形量与巷道围岩变形破坏的接近程度，将缓慢变形阶段的前50%阶段划分为缓慢变形阶段初期，变形失稳灾害危险等级设置为Ⅱ级(危险)，后50%阶段划分为缓慢变形阶段后期，变形失稳灾害危险等级设置为Ⅲ级(非常危险)；在稳定变形阶段，巷道围岩几乎达到能承载的变形极限，随时可能发生变形破坏失稳事故，此时的围岩累计位移量达到最大值，即为灰色Verhulst模型中的极限位移量，因此将极大值点作为缓慢变形阶段与稳定变形阶段的临界点，将此阶段的变形失稳灾害危险级别设置为Ⅳ级(灾害)。
2 预警指标的确定及灰色Verhulst模型的优化
由于巷道围岩变形失稳过程可通过位移监测直接反映其变化情况，故采用位移监测的累计位移量及位移速率作为预警指标，对巷道围岩变形失稳进行灾害预警。
采用灰色Verhulst模型求取巷道围岩变形失稳灾害预警阈值的关键是对原始监测数据进行拟合、预测，得到完整的矿岩变形破坏位移曲线图，确定巷道围岩变形失稳灾害预警阈值，划分巷道围岩变形失稳灾害危险等级。由于预警阈值的精度取决于灰色Verhulst模型的拟合精度，拟合精度受构造式中的背景值与初值影响，故通过优化灰色Verhulst模型的背景值与初值来提高预测结果的可靠性。
2.1 灰色Verhulst基本模型
德国生物学家Verhulst在1837年基于生物繁殖规律提出了灰色Verhulst模型，该模型是单序列一阶非线性动态模型，基本模型如下：
定义1：设X(0)为非负原始序列，X(0)={X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)}，X(0)的一次累加序列1-AGO为：
X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}
(1)
则构成的灰色Verhulst模型为:
X(0)(k)+aZ(1)(k)=b[Z(1)(k)]2
(2)
式中a、b为背景值。
灰色Verhulst模型响应方程为：
(3)
利用一次累减还原原始序列拟合值为：
(4)
式中k=1，2，…，n-1。
2.2 灰色Verhulst模型背景值优化
由式(3)变形可得：
(5)
(6)
通过式(6)可以看出，只需找出a、b与X(1)(k)之间的关系即可完成优化。为求出a、b与X(1)(k)之间的关系，建立以下方程：
(7)
(8)
(9)
用X(1)(k)代替a、b，得到改进的背景值公式：
(10)
2.3 灰色Verhulst模型初值优化
通常将X(1)(1)作为灰色Verhulst模型的初值，但实际数据并不一定包含灰色Verhulst模型的第1个值，会对模型的拟合精度产生一定的误差。为降低初值选取对灰色Verhulst模型带来的影响，通过构建拟合值与实测值的平方和误差函数，以误差和最小为原则，采用最速下降法得到优化的初值c。
由式(3)变形可得灰色Verhulst模型时间响应方程为：
(11)
式中c为常数。
(12)
式中k=1，2,…，n。
为求出初值c，构建位移量的一次累加值和拟合值的平方和误差函数：
(13)
式中t为时间序列。
最后采用最速下降法寻优获得c值。
2.4 改进的灰色Verhulst模型检验
由于灰色Verhulst模型是已被广泛认可的模型，无需对模型本身进行检验，仅需验证拟合结果对本改进方法的合理性及拟合精度是否满足误差要求。采用文献[17]中12号监测点的位移数据进行验证。
由此构建累计位移量原始序列为：X(0)={11.7,4.9,6.9,9.6,13.3,18.4,24.9}。
优化后灰色Verhulst模型时间响应方程为：
(14)
式中k为时间序列，k=1,2,…,n。
通过累减后，得到传统灰色模型与优化灰色模型的拟合结果，如表1所示。
表1 传统与优化灰色Verhulst模型精度对比
由表1可以求得，传统灰色Verhulst模型的相对误差平均值为29.73%，而优化灰色Verhulst模型的相对误差平均值为1.46%，结果表明拟合精度有了大幅提高,改进模型合理有效。
3 巷道围岩变形失稳灾害预警方法的构建及验证
改进传统灰色Verhulst模型的目的是为了更准确地得到巷道变形破坏的预警阈值。以文献[18]中恒大煤矿2233运输平巷的巷道变形情况为例，通过此预警方法进行巷道围岩变形失稳灾害预警，并验证预警方法的合理性。
3.1 巷道围岩变形失稳灾害预警阈值的确定
(e-ak-e-a(k-1))
(15)
式中k=2，3，…，n。
位移速率灰色Verhulst模型的动态模型为：
(16)
将v(1)(k)=a/2b代入上式，得出曲线拐点的时间表达式：
(17)
式中k0为对应v(0)(1)的初始时刻。
根据式(4)与式(11)，对文献[18]中2号监测点2018年6月8日至7月20日的位移量进行拟合，并与文献[18]的时间序列保持一致，取6 d为一个时间序列，在此基础上对7月20日以后的累计位移量进行预测，然后对拟合预测的累计位移量进行logistic函数与多项式拟合，拟合预测曲线如图1所示。
图1 累计位移量拟合预测曲线
由图1可知，logistic函数拟合精度为0.999 04，多项式拟合精度为0.997 31，logistic函数拟合精度更高，因此采用logistic函数求解预警阈值。由式(17)可求得k=2.96时为累计位移曲线的拐点，通过logistic函数求得时间序列k为2.96时，累计位移量为48.0 mm，即为累计位移量的预警阈值。巷道变形破坏的极限位移量为100.7 mm。
同理，k为2.96时，可求得单位时间位移速率为2.4 mm/(6 d)，即为位移速率的预警阈值；极限位移速率为0 mm/(6 d)。
3.2 巷道围岩变形失稳灾害的危险等级评判
3.2.1 巷道围岩变形失稳灾害危险等级的划分
由图1可知，累计位移曲线拐点之后的缓慢变形阶段变化趋势较为平滑，因此按照位移速率均匀变化的原则，将累计位移量拐点与极大值点的50%处设置为缓慢变形阶段初期与缓慢变形阶段后期的临界点，此点即为巷道围岩变形失稳灾害危险级别Ⅱ级、Ⅲ级的临界点。根据求得的结果，累计位移量拐点值为 48.0 mm，极大值点为100.7 mm，因此当累计位移量y≤48.0 mm时，巷道围岩变形失稳灾害的危险等级为Ⅰ级(安全)；累计位移量48.0
由图1可知，位移速率为单位时间内累计位移量的变化量，由此可求得相应的位移速率。根据位移速率的计算结果可知，累计位移量拐点处的位移速率为2.4 mm/(6 d)，极大值点的位移速率为0。在缓慢变形阶段，将累计位移量的拐点与极大值点的50%处所对应的位移速率设置为缓慢变形阶段初期与缓慢变形阶段后期的临界点。因此，在累计位移量拐点以下，位移速率处于0 预警指标分级情况如表2所示。 表2 预警指标分级情况 3.2.2 综合预警结果判断 根据累计位移量及位移速率随时间变化的连续分布特征，采用梯形分布函数式作为预警指标的隶属度函数。 对于构建的巷道围岩变形失稳灾害模糊综合评判模型，要对各预警指标依次进行评判，评判式为： ψi=∑Ai∘Ri (18) 式中:ψi为累计位移量及位移速率的综合评判结果，反映巷道围岩变形失稳灾害的危险性程度;“∘”为模糊算子;Ai为预警指标的权重;Ri为预警指标的隶属度。 累计位移量反映了整个岩体变形破坏的过程，位移速率反映了岩体破坏的快慢程度，两者均能反映岩体的破坏情况，且累计位移量与位移速率均属于位移监测的重要参数。根据层次分析法9标度赋权原则，将累计位移量与位移速率视为同等重要，因此将累计位移量与位移速率赋同等权重。 按照最大隶属度原则进行最终稳定性综合评判，进行巷道围岩变形失稳灾害等级预警。 依据文献[18]中2号监测点的位移监测情况可知，对2018年7月26日、8月1日2个时间点进行预警，累计位移量实测值为101.6、107.2 mm，求得累计位移量拐点以上的位移速率为0.97、0.93 mm/(6 d)。依据式(18)求得7月26日、8月1日综合评价隶属度分别为(0，0，0.405，0.595)、(0，0，0.388，0.612)，再按照最大隶属度原则进行最终巷道围岩变形失稳灾害等级确定。根据计算结果可知，7月26日、8月1日巷道变形失稳灾害危险状态均处于Ⅳ级(灾害)，且Ⅳ级的隶属度有上升趋势，即巷道变形失稳灾害危险性有增加的趋势，短期内会发生巷道变形失稳灾害。现实中在8月6日发生了巷道顶板垮落灾害事故，根据文献[21]可知在8月5日进行了安全预警，但未能避免事故,预警时间与灾害时间非常接近，可能预警后无法及时采取相应措施。从安全的角度考虑，本文构建的巷道围岩变形失稳灾害预警方法更为合理有效。 金川二矿区位于甘肃省河西走廊中部金昌市区，目前已进入深部开采，1 018 m水平Ⅲ盘区1分层位于16行与18行之间，盘区矿岩完整性较差，处于较高地应力水平。为有效控制开采过程中地压显现问题，降低采场巷道充填体顶板变形失稳的危险性，采用GYW300型顶板离层监测仪对1 018 m水平Ⅲ盘区1分层巷道变形及采场顶板离层破坏进行监测，在矿岩交界处及巷道交界处布置了14个位移监测点，其中3号监测点位于1号穿脉巷道与 20号进路口交界位置。由于3号监测点充填体顶板短期累计位移量变化不大，结合现场实际情况取14 d为一个时间序列(周期)进行监测。2020年8月1日至10月10日监测点累计位移量变化情况如表3所示。 表3 3号监测点累计位移量变化情况 根据优化灰色Verhulst模型时间相应方程拟合预测得到充填体顶板变形破坏特征曲线，如图2所示。 图2 3号监测点充填体顶板变形破坏特征曲线 根据预警阈值的确定方法，结合图2中的logistic函数可求得累计位移量拐点与极值点分别为99.8、237.4 mm，位移速率的拐点与极值点分别为1.43、0 mm/(14 d)。根据巷道围岩危险性等级划分方法，划分金川二矿区研究区域累计位移量及位移速率危险性分级情况，如表4所示。 表4 累计位移量及位移速率危险性分级 2020年10月24日实测累计位移量为31 mm，位移速率为0.07 mm/(14 d)，根据预警结果的判断方法，由式(18)求得最终的隶属度分别为(1，0，0，0)，以最大模糊隶属度函数为原则，确定充填体顶板变形失稳灾害危险等级为Ⅰ级(安全)，预警结果与现场实际一致，短期内不会发生巷道顶板变形失稳灾害事故。 1)改进的灰色Verhulst模型对巷道围岩变形的预测精度明显得到了提高，对金川二矿区1 018 m水平Ⅲ盘区的顶板变形监测预警提供了指导。 2)现场监测鲜有连续的大量监测数据，通过优化灰色Verhulst模型对小样本监测数据进行拟合预测，可为巷道顶板变形监测预警提供数据支撑，有效地提高了小样本监测数据情况下巷道围岩变形失稳的预警精度。
3.3 预警方法可靠性验证
4 工程应用
5 结语
