基于Markov切换的HIV传染病模型的动态分析

董朝丽

（江西农业大学 南昌商学院，江西 共青城 332020）

0 引言

HIV病毒通过攻击CD4T淋巴细胞，导致人类身体免疫功能丧失，感染各种疾病致死。从HIV病毒发现以来，每年约有上百万人被感染HIV病毒，具有非常迅速的传播能力［1-2］。因此，国内外十分重视HIV病毒，研发HIV病毒治疗手段，降低艾滋病死亡率，时至今日，艾滋病治疗已经取得些许疗效，但是并未完全攻克艾滋病毒，依然是世界上未解传染病［3］。基于此，国内外众多学者纷纷采用多种手段，建立艾滋病病毒HIV模型，分析病毒模型特征，以期攻克艾滋病。

国内外众多学者运用数学知识，从宏观和微观两种角度着手，建立HIV传染病的四维模型、常微分方程模型、离散数学模型、动力学模型、多种类型的传染病模型等，分析HIV病毒的传染过程、增殖现象、传播时间、周期性等特征［4-5］。在国内外基础上，相关学者针对HIV传染病模型，作出如下研究。文献［6］针对传染病发病率和潜伏期等信息，建立SEIR传染病模型，根据模型的平衡点，分析模型的动力学特征。文献［7］根据传染病的双线性发生率和饱和治愈率等信息，建立SIR传染病动力学模型，分析模型的稳定性。文献［8］将Beverton-Holt函数与传染病的双时滞特点相结合，建立阶段结构传染病模型，分析模型的稳定性。文献［9］根据传染病周期，建立传染病动力模型，分析传染病生存周期。文献［10］通过建立SEIR传染病模型，分析传染病的局部稳定性，并采用数值模拟的方式，验证分析结果。文献［11］通过Liapunov函数，建立SIQS传染病模型，证明模型的灭绝性和持久性，并采用数值模拟的方式，验证分析结论。文献［12］根据传染病的信息变量和治愈率信息，建立传染病的一类SI传染病模型，根据模型的平衡点，分析模型的稳定性。文献［13］根据传染病的非线性传染率，建立传染病模型，通过模型的时滞，分析模型Hopf分支和稳定性。在上述研究基础上，此次研究采用Markov切换，进一步分析HIV传染病模型的动态性，提出基于Markov切换的HIV传染病模型的动态分析，以期为艾滋病攻克提供更多参考依据。

1 基于Markov切换的HIV传染病模型的动态分析方法

1.1 建立HIV传染病模型

HIV传染病在人群中传播，存在8～9年的潜伏期［14］。因此，将HIV传染病，分为易感、潜伏、已经感染、免疫4种状态，作为HIV传染病模型节点，分别采用字母Y、Q、G、M表示。其中，易感Y表示非常容易感染HIV病毒的个体；潜伏Q表示已经感染HIV病毒，但个体并不知情，因此并未采取任何治疗措施；已经感染G表示个体已经发现自己感染HIV病毒，并采取积极的治疗隔离措施；免疫M表示不容易感染或已经治疗好的HIV病毒个体，具有一定的抗病毒能力，且不再具有传染性［15］。

基于此，存在具有n个节点的网络O，则每个节点i∈{1 ,2,…,n}，在时间t时，具有Xi(t)∈{Y,Q,G,M}状态。从上述描述中可以看出，若有一个节点Y被HIV病毒感染，至少会产生XQ(t)状态和XG(t)状态。为此，在节点的有向网络中，将节点i邻居分为感染邻居和可能被感染的邻居2类。此时，可以将HIV传染病，按照动力学状态转移，分为2种传播模式（图1）。

图1 HIV传染病2种传播模式Fig.1 Two transmission modes of HIV infectious diseases

图1中，pi表示能被网络A中的节点j感染的节点i的恢复概率；p(Y,i)表示节点i恢复后，重新转变为XY(t)的概率；p(Q,Y)表示Y被网络中Q感染的概率；p(G,Y)表示Y被G感染的概率；p(M,Y)表示Y转变为M的概率；p(Q,G)表示Q转变为G的概率；p(Q,M)表示Q转化为M的概率。其中，p(Q,Y)和p(G,Y)之间存在p(Q,Y)＜p(G,Y)、p(Q,Y)=p(G,Y)、p(Q,Y)＞p(G,Y)3种关系［16］。

此外，假设网络O的邻接网络为A，当网络O中的节点i能被网络A中的节点j感染时，存在aij=1，即反之，aij=0。从上述分析中可以看出，网络中的感染参数是非负的。为此建立的2类不同传播方式的HIV传染病模型如下：

综合上述内容，即可完成HIV传染病模型建立，此时，只需要寻找模型的参数，将模型参数与传播方式相结合，以此来分析HIV传染病模型的动态性质。

1.2 基于Markov切换计算HIV传染病模型参数

从图1中可以看出，此次建立HIV传染病模型，设计pi、p(Y,i)、p(Q,Y)、p(G,Y)、p(M,Y)、p(Q,G)、p(Q,M)几个概率值，结合式（1）和式（2），当几个概率值达到最大化时，可以得到模型中HIV传染病4种状态传播过程的最优传播参数。基于此，采用Markov切换训练的方式求取，其求取步骤如下：

⑥最终得到HIV传染病模型，概率分布向量γ、状态转移矩阵P、观测值矩阵B的最优值，其表达式如下：

综合上述6步得到的HIV传染病模型参数最优值，结合HIV传染病模型，确定HIV传染病模型的动态性质。

1.3 确定HIV传染病模型的动态性质

如式（2）和式（3）所示的HIV传染病模型，根据式（4）所示的模型3个参数最优值，计算HIV传染病模型的平衡点，判断模型的稳定性，得到稳定阈值，从而通过稳定阈值，确定HIV传染病模型的动态性质。

依据图1中HIV传染病第一类传播模式，以及式（1）所示的第一类HIV传染病模型，设HIV传染病模型的无病平衡点为Qi(t)=Gi(t)=0，将其记为ςi(t)，则有：

综合上述内容，只有满足式（9）和式（10）所示的条件时，HIV传染病模型的无病平衡点Qi(t)=Gi(t)=0才能实现，具有动态稳定性。

2 数值模拟

为验证此次研究对HIV传染病模型的动态稳定性分析结果，根据此次研究计算，设定pi、p(Y,i)、p(Q,Y)、p(G,Y)、p(M,Y)、p(Q,G)、p(Q,M)几个概率值参数，进行数值模拟，并将模拟的数值代入上述10个公式的计算过程中，得到模型参数的最大特征值λmax，以此验证此次研究计算结果。

2.1 数值设定

第一类传播模式传播模型几个概率参数值，设定2种情况下的数值模拟，其具体数值设定如下：

（1）第一种情况：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.006，p(G,Y)=0.005，p(Q,G)=0.040，p(M,Y)=0.003，此时最大特征值λmax=0.244 9＜1。

（2）第二种情况：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.034，p(Q,G)=0.065，p(M,Y)=0.045，此时最大特征值λmax=2.004 5＞1。

第二类传播模式传播模型几个概率参数值，设定2种情况下的数值模拟，其具体数值设定如下：

（1）第一种情况：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.010，p(Q,G)=0.020，p(M,Y)=0.030，p(Q,M)=0.003，此时最大特征值λmax=0.707 1＜1。

（2）第二种情况：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.100，p(Q,G)=0.200，p(M,Y)=0.003，p(Q,M)=0.003，此时最大特征值λmax=7.071 1＞1。

2.2 模拟结果

2.2.1 第一类传播模式传播模型

根据此次实验，设定的2种情况下，第一类传播模式传播模型几个概率参数值，得到的HIV传染病模型Y、Q、G、M4种状态关于时间的图像见图2。

图2 4种状态关于时间的图像Fig.2 Images of four states about time

从图2中可以看出，第一类HIV传染病模型的稳定性属于全局渐进稳定。验证了此次研究计算的模型动态稳定性。

2.2.2 第二类传播模式传播模型

根据此次实验，设定的2种情况下，第二类传播模式传播模型几个概率值参数值，得到的HIV传染病模型Y、Q、G、M4种状态关于时间的图像见图3。

图3 4种状态关于时间的图像Fig.3 Images of four states about time

从图3中可以看出，第二类HIV传染病模型的稳定性，同样属于全局渐进稳定。验证了此次研究计算的模型动态稳定性。

3 结束语

此次研究，利用Markov切换，计算模型最优特征值，以此获取模型最大特征值，确定模型动态稳定性。并采用模拟数值的方式，验证此次分析结果的正确性。但是，此次研究分析HIV传染病模型的动态稳定性，研究方向较为单一，在今后的研究中，还需深入研究HIV传染病模型的复杂性、灭绝性和动态性，从而为HIV传染病治疗提供依据。