直观算理与抽象算法的深度数学课堂

李慧

【摘  要】郑毓信教授曾说过深度学习应该深在哪里？他指出首先深在人的心灵与精神境界，其次深在系统结构与教学规律。因此，深度的数学课堂要找准知识生长点，促进学生思维的深度发展。笔者从案例描述、我的思考、改进策略三个方面进行阐述。

【关键词】直观算理;抽象算法;深度数学

一、案例描述

“两位数除以一位数（首位不能整除）”是两位数除以一位数单元中相对较复杂的一种计算类型，学生在前一课已经学习了“两位数除以一位数（首位能整除）”，课堂上绝大部分学生已经基本掌握了竖式计算的算法，而本节课教学难点是被除数十位上的数有剩余应该怎么处理。教材是继续利用学生能够平均分实物（羽毛球）的已有情境图，通过前一课学生学习知识的经验，学生已经知道用小棒代替羽毛球，借助其进行平均分小棒操作，将平均分小棒的过程与除法竖式计算过程之间形成一种联结。但学生在小棒操作52÷4的过程中遇到了困难，5捆里拿出4捆平均分，还剩下1捆怎么办？那1捆其实就是不够平均分的1个10，办法总比困难多，学生想到了把1捆打开，这样1个10就变成了10个1，和还没有分的2个1合起来，接着12个1继续分，让学生在分小棒过程中体会并感悟这样操作的道理，学生的思维也顺利由形象思维过渡到抽象思维，算理与算法也无缝隙地融合在一起，从而有效突破本节课的教学重难点。

儿童的天性好动，喜欢有吸引力的课堂。以上儿童感兴趣的小棒操作在教师用心指导下达到了想要的教学效果，这正和郑毓信教授对深度学习应该深在哪里的阐述不谋而合。

在教学过程中，笔者对课堂活动的情况及时进行了分类与统计，发现28%的学生拿着那剩余的1捆小棒不知所措;34%的学生干脆对剩余的那1捆小棒置之不理;25%的学生把1捆整的拆下来变成10根散的，并且把这10根小棒平均分成两份，每份分得5根，困难解决了接着继续分;13%的学生把剩下的1捆和2根合起来变成12根小棒一起分。笔者思索着既然这么多学生的认知达不到自己的预期，那就及时干预吧！于是笔者通过多媒体动态演示每一步分小棒的过程，让学生仔细观察，并结合动态演示过程先让全班派代表说，再让同桌互相说，最后自己小声说，多次说分小棒的全过程，让学生大脑充分运转起来，真正做到动手、动嘴和动脑的集合，使学生觉得数学有意思，从而真正爱上学习数学。

接着结合刚刚分小棒的过程教学52÷2的竖式计算，我以为动手操作的环节有了细致的指导，学生竖式计算的过程应该问题不大，可几分钟后还是大致出现了以下两种情况，其中第一种情况统计下来大约有20%左右的学生出现。

本以为这节课孩子先通过动手操作分小棒，再结合多媒体动态演示分小棒的过程，接着呈现正确的和错误的52÷2竖式计算对比，然后安排多元化的习题巩固，最后再将上节课的知识点和本节课的知识点进行对比，儿童经历了一系列操作之后应该能有效突破该节课的教学难点，然而结果并不乐观。

二、我的思考

带着脑子里满满的困惑继续前行，笔者想，如果要让学生真正做到深度学习，教师一定要用有深度思维的好问题驱动学生的深度学习。笔者反复在脑海里回顾课堂中的场景，顿悟到教学时“直观算理”与“抽象算法”没有有效衔接。于是笔者从“算理与算法的关联是什么？”“算理为什么要直观？”“算法为什么要抽象？”这三个方面进行深度思考，引导学生对竖式“讲道理”，通过“明理”实现“得法”，帮助学生实现算法的有效建构。

（一）算理与算法的关联是什么？

《小学数学课程标准（2011年版）》中指出，数学教育要注重学生的十大核心素养的发展，里面提及要注重培养儿童的运算能力。算理主要有助于学生思维能力的发展，而算法主要有助于学生运算能力的提升，算理与算法是一家人，要互相融入，做到理中有法，法中有理。《小学数学课程标准（2011年版）》也同时指出：在基本技能的教学中不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。

如何将两者“润物细无声”式地嫁接，笔者又查阅了一些资料。资料中指出：算理使学生理解程序和步驟的道理;算法使学生掌握技能操作的程序和步骤。算法是算理的人为规定，算理是算法的内化，所以说算理和算法如同一枚硬币的正反两面，紧密相连且无法分开。

（二）算理为什么要直观呢？

数学课堂上为什么要算理直观呢？我想算理直观性是由计算原理的抽象性与儿童思维的具体性所决定的。算理直观是根据儿童年龄认知发展特征，因为儿童的思维发展是由直观到抽象的发展过程，是为了促进儿童理解，且儿童的理解应处于三级水平：第一阶段是低级水平，即主要是知觉辨认，对概念的初步理解;第二阶段是中级水平，即主要是理解概念意义本质，思维如何进一步发展;第三阶段是高级水平，即主要形成一个系统结构，让儿童对问题有深度理解。

“两位数除以一位数（首位不能整除）”这部分内容是针对儿童理解的三级水平层层递进的，这三个层次即通过动手操作小棒算出得数（动作思维），观看动态演示算出得数（形象思维），分步口算算出得数（逻辑思维），让儿童充分直观地去理解算理。

（三）算法为什么要抽象呢？

《小学数学课程标准（2011年版）》中明确指出：运算能力的培养与发展不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维素质的提升。算法抽象会促进学生对算理的掌握，促进学生运算能力素养的形成，所以说运算技能是运算能力形成的基础。

张景中院士曾说过：“计算是具体的推理，推理是抽象的计算。”为了使儿童在“数与代数”领域的思维能够深度发展，需要先让学生在一系列的直观操作中理解算理，再让学生从直观操作中抽象出计算法则，让学生充分体验由直观算理到抽象算法的思维跨越过程，把培养学生推理能力作为持久目标。

三、改进策略

（一）去情境，加强对比，以理驭法

课堂开始舍去教材原有问题情境（52个羽毛球，平均分给2个班，每班分得多少个？），通过和学生交流谈话导入该课：猜一猜教师这节课会和大家一起研究什么内容？由于前一课时学习的计算，学生很快就会猜出来，这时课件出示两位数除以一位数的标题，继续说道：“今天我们再次学习两位数除以一位数，关于这个课题，大家有什么问题想问老师吗？”学生一时被问蒙了，我顺势抛出：“谁能大胆地提出你心中的疑惑？”

在鸦雀无声中，我出示PPT并介绍这是我们以前学的两位数除以一位数（46÷2），这是我们今天要研究的两位数除以一位数（52÷2），你们发现不同点了吗？

筆者小结：我们把被除数十位上有余数的除法叫作首位不能整除的除法，今天教师和大家一起研究首位不能整除的两位数除以一位数，再次改进教学设计的时候笔者选择了情境教学，因为学生前面已有了这样的计算经验，本节课应该注重计算教学中的道理，所以笔者认为情境教学也无妨。

（二）亲探究，丰富过程，以探促悟

根据之前的教学经验，教师发现学生对“两三位数除以一位数（首位不能整除）”的学习在脑海中不是以“一张白纸”进课堂的，儿童是有儿童的思想的，有时成人思维需要和儿童思维进行换位思考，这样才会收到意想不到的效果。于是笔者采取了“任务单”（见下图）方式进行教学，用于活跃课堂气氛。

其实对任务单进行这样的设计是因为数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”作为教师，如果用敏锐的捕捉力长期深度挖掘课堂生成的资源，久而久之，学生的思维就能得到深度发展。

“任务单”上面的方法一和方法二其实是对比分小棒的直观操作过程与口算和竖式计算的两步过程，从而进行有效且抽象的“数”与直观的“形”关联。在思考“任务单”的设计时，笔者有意识地把抽象的“数”与直观的“形”放在一起，其内涵一样是为了让学生通过多样化的方式去洞察，这样可以帮助学生充分理解算法的本质，即做到真正理解算理，通过抽象的“数”与直观的“形”有效结合从而达到“法”与“理”的相融，成功建造“理”与“法”之桥，促使学生思维的通透与深度发展。

（三）重求联，对比练习，组建结构

学生的认知结构会随年龄的增长不断成熟和完善，所以教师应该在新知教学的开端就加以重视，将这种思维的“种子课”在还没有生根发芽时就种到学生脑海中去，而不是等到单元教学统整时再去矫正学生已有的认知结构，这样就会提高学生的运算思维能力，运算技能就能得到提升，运算方法也会实现自主迁移，并在以后的学习中得以灵活运用。

因此，根据迁移的条件，教师在习题设计时设置了三道题目让儿童进行对比练习，分别是69÷3、92÷2、80÷5，其实前两题的对比绝大多数学生都已经知道了，在课堂上反馈的时候正确率也很高，可是最后一题80÷5的正确率就有点不尽如人意，被除数80个位上是0，十位上的8分掉5个10之后还多3个10，有的学生做到这里时就束手无策了，这对三年级的学生来说还是比较抽象的。接着在这里我放了由3个10变为30个1的直观小棒图，在对比中，学生仔细分辨各种情况，从而真正理解算理上的异曲同工之妙，促使学生深度发展，让学生有所感悟。

（四）重反思，回顾思考，知识发展

不管是什么类型的数学课都少不了反思环节。让学生回顾思考该课是怎样开始的，过程是怎样研究的，结果学到了什么知识，在整节课有什么样的收获与体会。让学生说一说并在脑海中回放本节课的学习内容，这样的反思对学生而言是深刻且久远的。我想学生在这样的数学课堂上才会提升最基本的数学学习能力，比如遇到困难不急不慌静下心思考，找到问题突破口的能力;又如审题时更加细心，会和以前相似的题目进行对比并找出不同，这样学生的思维会更加缜密。长期通过这样的数学课堂对学生思维进行训练，学生的知识发展才会更深刻。

综上所述，笔者认为教师不仅要看得见学生认知结构内在的微妙变化，还需要努力让学生认知结构的形成从能看懂、能记住、会解题、熟练解题、会梳理、融会贯通、把握数学思维、体验学习乐趣到最终的乐此不疲，这就需要教师能有“看山是山，看山不是山，看山还是山”的本领，将孤立的数学知识点由点成线，再由线成面，逐渐增加到相应的结构体系中，使结构体系越来越趋于完整，使学生的认知结构走向越来越成熟，使学生在课堂中学得更快乐并将自己的魅力展现出来。

【参考文献】

[1]加涅，等.教学设计原理[M].5版.王小明，等译.上海：华东师范大学出版社，2007.

[2]顾泠沅，周超，等.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.