高中数学“边沿”知识数学归纳法的应用

⦿安徽省亳州市蒙城县第二中学 王 浩

1 引言

高中数学课本中有许多重要的数学公式及定理，课本中往往只给出基本形式及其证明，但在很多情况下，我们还会运用它们的推广形式，即需要将它们由特殊形式推广到一般形式.例如指数运算法则，对数运算法则，复数中的棣莫佛定理，二项式定理,等等.但这些定理一般形式的证明往往较抽象、复杂，通常我们只给出其一般形式，很少给出证明.笔者将运用数学归纳法来探究这些常用定理的推广.

2 数学归纳法的应用

2.1 对数运算法则推广的证明

对于对数运算法则，课本中是这样写的：

两个正数的积的对数等于这两个正数对数的和.

若a>0,且a≠1,N1>0,N2>0,

那么 loga(N1N2)=logaN1+logaN2.

此性质可推广为：

loga(N1N2·…·Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn.

即n个正数的积的对数等于这n个正数对数的和.

怎样证明这个推广，当时没有说，现在我们可以用数学归纳法进行严格证明.

证明：(1)当n=2时，等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2，k∈N)时，等式成立，即

loga(N1N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,

当n=k+1 时，

loga(N1N2·…·NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+loga(NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1,

所以，当n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对∀n≥2(n∈N*)等式都成立.

2.2 复数棣莫佛定理的证明

关于复数三角形式的乘法与乘方，两个复数相乘，积还是一个复数，模等于各复数的模的积，它的辐角等于各复数辐角的和.

若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),那么

z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

上面定理也可推广到n个复数相乘的情况，

z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)

+isin(θ1+θ2+…+θn)].

这一推广也可以用数学归纳法证明如下：

证明：(1)当n=2时，等式成立.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时，等式成立，

当n=k+1时，

z1z2…zkzk+1

=z1z2…zk-1(zkzk+1)

=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rk-1(cosθk-1+isinθk-1)·rkrk+1[cos(θk+θk+1)+isin(θk+θk+1)]

=r1r2…rkrk+1[cos(θ1+θ2+…+θk+θk+1)+isin(θ1+θ2+…+θk+θk+1)],

所以,当n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对∀n≥2(n∈N*)等式都成立.

特别地，如果r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时，就有

zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).

这就是复数乘方公式，通常称作棣莫佛定理.

2.3 均值不等式推广的证明

在不等式中，已经学习了均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数又不小于它们的调和平均数.

将上式推广，对于n个正数也有相应的平均数的概念及关系.

如果a1,a2,…,an是n个正数，那么

证明：下面先用数学归纳法证明

①

不妨设0

当a1=an即a1=a2=…=an时，上式成立；

当a1

(1)当n=1时，不等式成立；

(2)假设n=k时不等式成立，即

又因为

所以

当n=k+1时,

两边都乘k+1次方，应用二项式定理，可得

这就是说

所以

由(1)(2)可知，对∀n∈N*式①都成立.

上述证明还说明了当且仅当a1=a2=…=an时，①式中等号才成立.

下面再证：

②

证明：因为a1,a2,…,an都是正数，由①式得：

所以

综合①②式就证得原不等式.

3 结束语

通过知识的拓展，提升学生逻辑思维及推理能力，数学归纳法作为演绎推理的一种，培养学生逻辑地思考问题，在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，让学生感受数学推理的严谨和理性精神，也让学生体会数学推理与证明的独特魅力.Z