一道联赛椭圆试题的破解及拓展

⦿江苏省西亭高级中学 金 鑫

1 引言

圆锥曲线是高中数学中的基本知识之一，是高中数学联赛中常见考点之一．此类问题很好交汇代数与几何，“数”“形”融合，“动”“静”兼备，是数学多方面知识融合与交汇的一大重要场所，有效考查数学基础知识与数学关键能力，体现选拔与区分功能的主阵地之一．

2问题呈现

图1

此题为高中联赛一试解答题中的最后一题，难度比较大．以椭圆为问题背景，利用平面几何中对应三角形的内切圆来创设情境，结合基本不等式、三角函数等的应用来达到应用与破解的目的．

3 问题破解

方法1：官方参考答案——坐标法.

解析：易知F1(-1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由条件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

点评：根据条件设出对应点的坐标，利用椭圆的定义确定两对应三角形的周长，利用三角形的面积公式确定对应内切圆的半径，进而得到两半径差的关系式；结合直线与椭圆的方程联立，利用函数与方程思维，借助韦达定理加以转化，确定相关点的坐标之间的关系式，进而转化对应的关系式，结合基本不等式的应用，从而得以确定对应的最值问题．坐标法处理圆锥曲线问题，是破解此类问题是最常用的技巧方法之一．

方法2：单变量参数方程法.

方法3：多变量参数方程法.

解析：易知F1(-1，0)，F2(1，0).

即

由万能公式得

点评：根据题目条件，椭圆上的三个点引入对应的参数坐标，进而确定两对应三角形的内切圆半径之差r1-r2的三角函数关系式，结合三点共线构建三角函数关系式，并利用三角恒等变形加以转化与处理，最后再利用基本不等式来确定相应的最值问题．多参数引入，元素较多，要求具备非常好的数学运算与逻辑推理能力．

4 探究拓展

探究：保留题目创新背景，化特殊情况为一般情况，可以得到更具有一般性的普通性结论．

证明：易知F1(-c，0)，F2(c，0).

设P(x0，y0)，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，由条件知x0，y0>0，y1<0，y2<0.

由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=|Q1F1|+|Q1F2|=|Q2F1|+|Q2F2|=2a，故△PF1Q2与△PF2Q1的周长均为l=4a.

5 解后反思

涉及圆锥曲线中相关三角形的内切圆的性质及其应用，是圆锥曲线相关知识的进一步综合与应用，背景生动，创新新颖，内容丰富，综合性强，趣味规律．通过相应性质的理解与掌握，结合圆锥曲线的相关知识与基本性质加以合理转化，综合函数与方程、三角函数、不等式等其他相关的知识，巧妙处理，有效提升学生的逻辑推理能力、数学运算能力等，创新意识与创新应用，全面促进数学思维能力和思维品质的提高，增强数学关键能力，培养数学核心素养．Z