逻辑类分法在高中数学解题中的应用

⦿西华师范大学数学与信息学院 张 惠 冯长焕

1 引言

在高中数学解题教学中，题目类型多种多样，涉及的知识点众多，解题难度较大.在教与学的过程中，学生常常被难题难住，有时甚至找不到解决问题的突破口.从解题的角度来看，成功解决一道数学问题不仅需要扎实的学科知识，更重要的是要有灵活的方法策略.逻辑类分法是指将原问题划分为有限多个子问题，然后逐一去解决每一个子问题，最后把各个子问题的结论归纳起来，从而得到整个问题的结论[1].一般地，要进行分类讨论的数学问题的逻辑性、探索性较强，运用逻辑类分法解题，能让问题中不确定的因素转化为子问题中确定的因素，从而增加问题的条件，使问题变得简单易于求解.

2 逻辑类分法的内涵

2.1 逻辑类分法的目的与对象

在遇到复杂问题难以解决的时候，可以尝试将原来复杂的大问题转化为某些较容易的小问题，化繁为简、化大为小来帮助求解.在解题中，很多同学认为分类讨论的题目很难，从而产生畏惧心理.教师在数学解题教学中，要指导学生明确分类讨论的对象，分析问题、明确题目所考查的知识点，然后运用所学知识进行解题.

2.2 逻辑类分法的分类标准

在确定分类讨论的对象后，教师要引导学生明确分类讨论的标准，从而进行正确合理的分类.引分类讨论的原因有很多，于同一个数学问题的研究对象有不同的分类标准：(1)数学中的概念、定理、定义或者函数的性质引起的分类，例如含有绝对值问题的求解、分段函数、函数单调性的探究等[2]；(2)数学中的公式、运算法则、图形的形状或位置变化引起的分类，例如直线与直线、圆与圆的位置关系；(3)题目中含有参数以及问题的实际情况，例如含有参数的函数问题、方程解的个数问题以及排列、组合中的计数问题.在解题时要根据题目具体要求、题目实际情况的不同而对问题进行具体分析.

2.3 逻辑类分法的特征

运用逻辑类分法解题时所要遵循的规则有：(1)整体简约性，分类的过程要完整而缜密，周详而简约；(2)标准统一性，标准是确定的，每一次分类都要用同一个标准，不允许改变；(3)完备性，子问题不重复不遗漏；(4)逐级递次性，连续分类要严格按照层次逐级进行，不可以越级.在运用逻辑类分法解题时，教师要引导学生把握好各个原则，做到心中有数.

3 逻辑类分法在高中数学教材中的体现

逻辑类分法作为一种常用且普遍的解题方法贯穿于教材中每一个知识点讲解之中，人教版高中数学教材无论是必修还是选修内容都对这一思想方法与解题策略的教学尤为重视.通过仔细研究发现，涉及数学运算、图形位置关系的知识本身就是一种分类讨论.例如对于集合之间的运算，要涉及是否为空集的讨论；指数与指数幂的运算，对数与对数运算；平面向量的线性运算；不等式的运算；点、直线、平面之间的位置关系；直线与圆的位置关系.涉及概率、函数的性质问题时常常会采用分类讨论进行求解，例如抛硬币、掷骰子；具有典型代表的分段函数、数列、解三角形、三角函数、排列组合、参数方程中都有涉及.

例1(人教版高中数学教材必修一)某市空调公交车的票价按照以下方案制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按照5 km计算).已知相邻的公交站距离约为1 km，如果沿途(包括起点站与终点站)有21个公交站，根据题目要求写出票价与路程之间的函数关系式.

说明：此题主要是分段函数的知识点，属于典型的分类讨论问题，主要由公交车的分段票价引起分类讨论.求解这类问题时往往根据题目要求，分类讨论，做到不重不漏.

例2(人教版高中数学教材必修二)已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0的方程，判断直线l与⊙C的位置关系；如果相交，则求出两者交点的坐标.

说明：此题是判断直线l与⊙C的位置关系，通过图形的形状或位置关系引起的分类，这类问题必定会涉及到分类讨论.

例3(人教版高中数学教材必修五)在△ABC中，已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm).

说明：此题考查的知识点是解三角形，主要考查学生对于正弦定理相关知识的掌握和应用.在解答这类问题时往往要对三角形的解的个数进行分类讨论.

高中数学教材是学生学习的主要材料，教师不能只限于对数学教材的讲解，要结合课程标准要求，创新教学方式，传授学生知识并教会学生解题.逻辑类分法是一种重要的解题策略，教会学生灵活运用这一策略，培养学生良好的学习习惯与严谨的科学态度，帮助学生更加轻松地解题.研究发现在高中数学教材中涉及分类讨论的知识繁多，运用逻辑类分法解题的例题和习题也各种各样，以上例题只是简单列举.

4 逻辑类分法在高考题中的应用

数学高考试题注重突出数学学科特色，聚焦核心素养，重视数学思维，倡导理论联系实际、学以致用，重视让学生亲身体验数学问题的探索过程，灵活运用数学知识分析数学问题的能力，全面体现了数学学习的基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求[3].

例4(2021年全国统一高考数学新高考Ⅱ卷第22题)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b，讨论函数f(x)的单调性.

试题特点：此题主要考查函数单调性的问题.导数法是求解函数单调性的常用方法，其首先对函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b进行求导得到f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).由导函数f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a)=0解出x时引起分类讨论.

解题思路：已知函数的定义域为R,那么f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).

①当a≤0时，令f′(x)>0，所以x<0时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

试题特点：数列是高中数学学习的重点以及难点，等差数列与等比数列是其重点学习以及考查内容之一，此题主要考查等差数列及其通项公式的基本应用[4]，要求学生灵活运用其定义以及通项公式的知识来解决问题.需要注意的是在求出当n≥2时的通项公式后，不要忘记检验n=1是否满足.

例6(2021年全国统一高考数学全国乙卷理科第23题)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；

(2)若f(x)>-a，求a的取值范围.

试题特点：对于当a=1时，绝对值不等式|x-1|+|x+3|≥6的解法的一般思路是先去掉绝对值：分x≥1，x≤-3,-3

解题思路：(1)a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x+3|≥6的解集.当x≥1时，2x+2≥6，得x≥2；当-3

(2)由题意可得f(x)min>-a.

由绝对值的几何意义可知，f(x)min即为数轴上x到a和-3的距离之和的最小值.当x在a与-3之间时，距离之和最小，此时f(x)min=|a+3|.

所以,|a+3|>-a.

当a<-3时，-a-3>-a，无解.

解题是数学学习的常态活动，在高考题中涉及分类讨论的题目往往较难，在日常教学中教师要结合教材内容注重培养学生分类解决问题的意识，掌握这一解题方法，做到灵活应用，正确合理判断其分类标准以及分类，将问题简单化.

5 结论

数学不仅是中学学习的重点内容，也是高考必考科目之一，在学习与考试中都占有极其重要的地位.在素质教育发展的背景下，教师在教学中要帮助学生学习数学知识，掌握解题方法，树立正确的学习理念，养成良好的学习习惯，全面提升自身综合能力与数学素养，做到轻松应对高考，实现自己的目标[5].无论是教材中的数学题，还是高考题，用什么方法去解题往往是学生解题的难点与关键点.在解题教学中教师要教会学生“怎样想”，引导学生对知识本质的理解，让学生自己去探究与领悟，亲身经历知识的发生与发展过程.

学会解题需要长期的模仿与练习，解决一道数学问题不仅需要具备扎实的专业知识，还需要掌握灵活的解题策略.逻辑类分法在数学解题中有着举足轻重的作用和地位，教师在教学中要有意识地渗透这种解题策略，帮助学生更好地掌握和运用.