次梁对板受力性能影响的研究

李文兴，程时宇

(桂林理工大学 土木与建筑工程学院，广西 桂林 541004)

在板的受力性能分析理论研究中，多结合弹性力学级数解与有限元数值解综合对比来分析问题.曹彩芹等[1]给出了构造级数的方法，获得矩形薄板弯曲振动稳定解析解；谢中敏等[2]通过有限元分析软件ANSYS获得了方板的挠度，并与解析法进行了比较；杨成永等[3]以Navier解为基础，研究了局部均布荷载作用下四边固支矩形薄板的弯曲问题；李壮飞等[4]通过Kirchhoff薄板理论，得到了矩形板受分布荷载作用的解析解；吴洪洋[5]提出一种用加权残数法解均布荷载作用下四边固支板内力的方法.在框架结构中，柱跨不变，板跨可由次梁的布置而发生改变，板的受力性能与次梁的布置有密切关系.次梁与主梁在实际受力情形下均有挠度，与四周固支的板的受力有差异.作为力学研究，分析力的传力路径，并且分析板的受力特征对基础研究而言有其必要性，同时可为工程应用提供参考.

1 柱跨8 m×8 m下板的受力性能有限元分析

1.1 模型建立

采用有限元通用分析软件ANSYS[6]，以Beam188单元模拟梁柱，以Shell63单元模拟板，建立空间分析模型.模型以4层、4跨框架结构为基本骨架，取框架结构中固定空间位置研究板的受力特征；调整次梁布置以形成不同形式的梁格(图1～图4)，通过板的变形、应力特征分析力的传递、梁板刚度等相关问题.

图1 “口字形”梁格

图2 “田字形”梁格

图3 “目字形”梁格

图4 “日字形”梁格

该模型采用了ANSYS的APDL命令流分式，具有良好的可调整性.在双向柱跨为8 m的固定柱跨下，设计了不同次梁方式，即无次梁布置(口字形梁格)、双向单次梁布置(田字梁格)、单向双次梁布置(目字梁格)、单向单次梁布置(日字梁格).柱截面采用500 mm×500 mm矩形截面，主梁截面采用200 mm×600 mm矩形截面，次梁截面采用200 mm×450 mm矩形截面.梁板柱材料均采用C30混凝土，弹性模量为25 GPa，泊松比为0.25.这里研究板面受到竖向荷载8 kN/m2作用下发生的竖向位移与x向应力.

1.2 板的受力特征分析

在柱跨8 m×8 m的情形下，通过ANSYS程序找到了最大应力、最大位移、最大位移点处应力、以及最大应力点位置和最大位移点位置.各种布梁方式得到的结果见表1.

表1 最大位移值与最大应力值

由表1可知“口字形”布梁方式产生的位移和应力均最大，显然在水平方向无刚度增加的前提下，竖向荷载全部由板传递给主梁.板的跨度最大，无论是中跨还是边跨，得到的竖向位移是最大的.而“田字形”布梁方式显然使得板的跨度两个方向均小了一半，因而竖向位移与应力值均减小,产生这种特征的原因是由于次梁增加了水平的刚度，次梁的抗弯刚度明显大于板单位宽度抗弯刚度.按刚度分配的原理，在次梁上承担更多的内力，因而板的内力减小，产生的变形与应力随之减小.“目字形”布梁方式是工程实践中广泛采用的形式，这种布置方式使得柱跨内形成3个单向板肋，单向板肋内力按短向传递，短向主要由次梁承受板传来的内力，次梁在该方向相比较板而言形成较大刚度，变形得到控制，但另一个方向无次梁，板跨依然较大，经过计算，竖向位移值与应力值略大于“田字形”布梁方式.“日字形”布梁方式下次梁布置形成的刚度不足，产生的竖向位移较大，当建筑有特定要求时，可增加次梁刚度与板的刚度，以减少竖向位移.

图5～图8分别是几种布梁方式相同范围处的x向应力云图.从图中可观察到次梁使得x向应力有明显的变化，虽然都在主梁侧面取得最大的x向应力，但x向应力的值有较大的区别，应力的分布变化有较大的不同.图5为“口字形”x向应力云图，可以看到，在无次梁情形下，板内的应力很显然传递到四周主梁，在梁边缘处获得最大应力，在中间区域有较大应力.图6为“田字形”x向应力云图，明显看到在2次梁位置处有较深色的应力分布，说明次梁刚度的增加明显，主次的刚度更大，变形更小，承受的内力更多.图7为“目字形”x向应力云图，显示无次梁的区域产生了最大应力.图8为“日字形”x向应力云图，与图7类似.

图5 “口字形”x向应力云图

图6 “田字形”x向应力云图

图7 “目字形”x向应力云图

图8 “日字形”x向应力云图

图9～图12为几种布梁方式相同范围处的最大位移图,从中可观察到挠度因次梁的作用发生了明显的变化.

图9 “口字形”挠度云图

图10 “田字形”挠度云图

图11 “目字形”挠度云图

图12 “日字形”挠度云图

由图9可知，在无次梁布置情形下，产生的挠度最大，挠度对称分布，以类似环状向周围扩散，在柱位置附近，挠度减至最小.由图10可知，2条次梁对称分布下可较好减小跨度区域的挠度，跨中由于距离支承柱远，且次梁本身也具有一定变形，此时全板范围内，此区域中心仍是最大挠度处.图11反映了沿横向2条次梁的情形，从图中可明显看到沿次梁的分布有2条“带”状的挠度线，说明了在次梁附近刚度发生了较大的变化，改变了板的受力性能；可明显观察到挠度变化的情况，在区域中心最大挠度处呈现非对称形状，此形状的“长轴”与次梁方向相同，其原因是此时形成的单向板肋内力更多向短跨传递，而短跨的跨度小，产生的变形小.由图12可知，由于单次梁作用较小，未能较好地控制变形，因此中间区域的挠度均较大，区域内板挠度的传递类似图9以环形方式向四周扩散开去.

2 弹性力学级数解分析

通过ANSYS可精确计算板的受力情形，然而也可从弹性力学的角度进行分析.均布荷载作用下的挠度函数[7]为

(1)

式中：a、b为矩形薄板沿x轴和y轴方向长度；m、n为任意正整数；

(2)

式中：q0为板受到垂直于板面向下的均布荷载，D为矩形薄板的抗弯刚度，即

(3)

式中：E为矩形薄板的弹性模量，h为薄板的厚度，μ为矩形薄板的泊松比[8-9].

将均布荷载作用下的4边固支矩形薄板的挠度函数ωA代入弹性矩形板应力关系式中，取m=n=1，可得均布荷载作用下4边固支矩形薄板应力的表达式为

(4)

(5)

(6)

为了与ANSYS得到的结果形成对比，取q0=8 kN/m2，E=30 GPa，μ=0.25，h=0.1 m.利用上述公式可计算不同布梁方式在板跨中间的的挠度值、应力值，具体见表2.

表2 级数解

表2给出了板跨中点处的挠度值与应力值，而弹性力学解是在4边固支的前提下得到的结论，即4边无任何挠度.由于在框架结构中，即使主梁刚度很大，也会产生一定的挠度，因此计算结果与ANSYS得到的有一定差别.表3是通过ANSYS得到的结果.

表3 ANSYS计算结果

由于两种分析方式所采用的坐标系不同，因此只观察其绝对值情况.由表2、表3可知，有限元的数值解与级数解有一定的区别，但反应的规律基本一致，若采用更加精确的级数解(m与n采用更大的值)，得到的结果将更为贴近.当然，两者的计算模型上有区别，它们之间的误差亦不可能完全避免.由此得到的基本结论是，在板跨中点附近，取得了较大的挠度，且应力向短跨方向分布较大，这就是力的传递方式.而引起这种方式的原因是中间布有次梁所产生的作用，次梁极大地改变了平整板面的刚度，改变了内力的分布形态.

3 结语

从ANSYS分析得到的结果和级数解得到的结果来看，板的传力路径随跨度及板内的刚度分布有密切关系.改变次梁的布置情形，使得刚度发生变化，应力分布亦发生变化，而这从本质上来说是内力在板内的传递发生了根本的改变.在工程实践中，若能根据内力的传递方式合理布置次梁，会使得板产生更小的变形，更大程度地提高板的承载力.