等腰三角形存在性问题“两定一动”模型的解题策略

曾靓

【摘要】等腰三角形存在性问题综合性强，在近几年数学中考中经常出现。本文通过对等腰三角形存在性问题的其中一类“两定一动”问题，进行模型提取、模型分析和模型应用，展示解决此类问题的一般过程，概括了解决此类问题的一般方法。对于学生来说如何分类与计算是难点，本文总结了两圆一线的方法帮助学生分类，归纳了代几综合的方法帮助学生求解;代数法通俗易懂，几何法简洁灵活。本文还提炼出两圆一线定个数、两腰相等列方程、两角相等寻代换、巧作垂线找相似四个小技巧帮助学生突破求解的难点。法无定法，但有通法;有规可循，但要应变。能够跳脱于题海之外，于无形的千变万化的试题中，提炼出最核心的思想方法，是本文努力的方向。

【关键词】等腰三角形;两定一动;两圆一线;模型;代数法;几何法

等腰三角形是初中阶段常见的一种基本几何图形。其中，等腰三角形存在性问题综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，在近几年的全国中考试卷中常常以压轴题形式出现。下面通过对等腰三角形存在性问题中的其中一类，进行模型提取、分析和应用，尝试提炼出解决此类问题的一般方法，以供大家參考。

一、模型提取

已知两定点A、B，在某条已知的直线上求另一动点C与这两个定点A、B构成等腰△ABC，本文称这类问题为“两定一动”模型。

以A、B、C为顶点的等腰三角形分为三类：①以A为顶角顶点，此时AB=AC;②以B为顶角顶点，此时BA=BC;③以C为顶角顶点，此时CA=CB。

二、模型分析

“两定一动”模型，主要的解决方法有两种：

1.代数法

这个方法一般需要以平面直角坐标系为背景，利用两腰相等通过分类讨论分别建立方程进行求解。已知A（x1， y1），B（x2， y2），设动点C（x， y），若点C在某条已知直线y=kx+b（k≠0）上运动，则由两点之间的距离公式可知：

2.几何法

首先借助尺规作图直观地判断动点C存在的个数与大致的位置。

三、模型应用

1.动点在坐标轴或与坐标轴平行的已知直线上

四、模型总结

综合以上案例，等腰三角形存在性问题离不开数学思想方法，一一分类讨论思想的渗透。在分类思想方法指导下，具体到计算方法时，往往是几何法与代数法的综合使用。几何法简洁灵活，方法多样;代数法通俗易懂，操作起来非常方便，但它需要我们有比较稳定的运算和检验能力。不过无论从“代数”的角度还是从“几何”的角度分析，最终都需转化为列方程求解的问题。具体来说，我们可以从以下几点进行突破：

1.两圆一线定个数

借助尺规作图，通过两圆一线来帮助我们进行分类讨论，让我们更快速地确定满足条件的动点的个数和大致位置。

2.两腰相等列方程

借助两腰相等的性质，用代数式表示出它们的长度，从而建立方程。勾股定理是我们表示线段长度的常用方法。

3.两角相等寻代换

借助两角相等的性质，一方面可以转化为两腰相等，从而直接建立方程模型，另一方面，我们可以寻找其它的等角来进行等量代换，从而寻找出新的关于边角的等量关系，将目标三角形进行转移。

4.巧作垂线找相似

我们可以作等腰三角形底边上的高线、腰上的高线，或者坐标轴上的垂线，然后利用三线合一、等面积法、相似、勾股定理、三角函数等建立方程求解。等腰三角形存在性问题，涉及知识点多，综合性强，难度较大。不过法无定法，但有通法;有规可循，但要应变。能够跳脱于题海之外，于无形的千变万化的试题中，提炼出最核心的思想方法，是我们初中数学学习所要追求的境界。

参考文献：

[1]钱荣妹.从等腰三角形压轴问题管窥分类讨论思想[J].教学参谋，2014（10）：95-97.

[2]葛殷殷.浅谈“等腰三角形”问题的策略与方法[J].教学教学通讯，2013（31）：60-61.

[3]赵志芳.例谈等腰三角形存在性问题的解题策略[J].中国数学教育，2018：98-103.

责任编辑  杨  杰