度量G-空间中G-强链回归点集的动力学性质

2022-05-10冀占江

华南师范大学学报（自然科学版） 2022年2期

冀占江

(梧州学院大数据与软件工程学院/广西高校图像处理与智能信息系统重点实验室/广西高校行业软件技术重点实验室，梧州 543002)

跟踪性是拓扑动力系统中非常重要的定义，不仅在计算数学和生物数学方面有着广泛的应用前景，而且已经成为计算机学科某个领域中的一种重要技术工具。

另外，强链回归点集是拓扑动力系统研究的重要内容[11-14]。如：文献[11]证明了强链回归点集是闭集，文献[12]证明了强链回归点集对同胚映射f是强不变的。但是，文献[11-12]只是在度量空间中研究了强链回归点集的动力学性质和拓扑结构，并未涉及拓扑群作用下的度量空间中强链回点集的性质和结构。基于此，本文在拓扑群作用下的度量空间中研究G-强链回点集的动力学性质，得到了G-强链回点集的若干结论。

1 预备知识

定义1[15]设(X,d)是度量空间，G是拓扑群，称(X,d)是度量G-空间，如果映射φ:G×X→X满足

(1)∀xX，有φ(e,x)=x，其中e为G的单位元；

(2)∀g1,g2G和∀xX，有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x)。

为了书写方便，通常将φ(g,x)简写为gx。若(X,d)是紧致度量空间，则称(X,d)是紧致度量G-空间。

定义2[15]设(X,d)是度量G-空间，f:X→X连续，称f是伪等价映射，如果∀gG，∀xX，∃hG，使得f(gx)=hf(x)成立。

定义3[16]设(X,d)是度量G-空间，若∀x,yX，∀gG，有d(gx,gy)=d(x,y)，则称度量d对拓扑群G不变。

定义5[6]设(X,d)是度量G-空间，f:X→X连续，称x是f的G-强链回归点，如果对任意的ε>0，存在f作用下从x到x的强(G,ε)-链。f的G-强链回归点集记为SCRG(f)。

引理1[16]设(X,d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，则∀η>0，∃0<η0<η，当d(u,v)<η0时，∀sG，有d(su,sv)<η。

2 主要结果

定理1设(X,d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f:X→X连续，则SCRG(f)是闭集。

证明设zSCRG(f)，则存在ε0>0满足以下条件：不存在z到z的强(G,ε0)-链。由引理1，可得：∃0<δ1<ε0/6，当d(u,v)<δ1时，∀gG，有

(1)

结合f:X→X一致连续可以得到，对δ1>0，∃0<δ2<δ1，当d(u,v)<δ2时，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(2)

特别地，

由xB(z,δ2)和式(1)、(2)，可得：

则

从而有

所以，{z,x1,x2,…,xm-1,z}是强(G,ε0)-链，这与前面的不存在z到z的强(G,ε0)-链矛盾，故不存在x到x的强(G,ε0/6)-链，则有

xSCRG(f)，B(z,δ2)∩SCRG(f)=∅，z

定理2设(X,d)是紧致度量G-空间，G是紧致的拓扑群，f:X→X同胚伪等价，则

f(SCRG(f))=SCRG(f)。

证明设zSCRG(f)，由引理1可得：∀ε>0，∃0<δ1<ε/9，当d(u,v)<δ1时，∀gG，有

(3)

结合f:X→X一致连续，可得：∃0<δ2<δ1，当d(u,v)<δ2时，有

d(f(u),f(v))<δ1。

(4)

故

d(g0f(z),z1)<δ2，d(g1f(z1),z2)<δ2。

由f伪等价和式(4)知，∃t0G，使得

d(t0f2(z),f(z1))<δ1,

再结合式(3)，可得

则

d(g1t0f2(z),z2)

故

因此，{f(z),z2,z3,…,zn-1,z,f(z)}是f作用下的强(G,ε)-链，从而有f(z)SCRG(f)，f(SCRG(f))⊂SCRG(f)。

设xSCRG(f)，由引理1有：∃0<δ3<ε/4，当d(u,v)<δ3时，∀gG，有

(5)

因为f-1一致连续，所以对δ3>0，∃0<δ4<δ3，当d(u,v)<δ4时，有

d(f-1(u),f-1(v))<δ3。

(6)

特别地，

d(lp-1f(xp-1),x)<δ4，d(lp-2f(xp-2),xp-1)<δ4。

由f伪等价和式(6),可得:∃l′p-1G，使得

由式(5)有

则

故

因此，{f-1(x),x,x1,…,xp-2,f-1(x)}是f作用下的强(G,ε)-链，从而有f-1(x)SCRG(f)，SCRG(f)⊂f(SCRG(f))。证毕。

定理3设(X,d)是紧致度量G-空间，f:X→X同胚伪等价且度量d对G不变，则

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SCRG(f)=SCRG(f-1)。

证明设zSCRG(f)。由f-1的一致连续性,可得：∀ε>0，∃0<δ1<ε/3，当d(u,v)<δ1时，有

(7)