基于条件风险价值理论的水库群防洪库容协同作用

张晓琦，刘 攀，陈 进，许继军，王永强，姚立强，洪晓峰

(1. 长江水利委员会长江科学院水资源与生态环境湖北省重点实验室，湖北 武汉 430010；2. 武汉大学水利水电学院水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072)

随着流域复杂水库群系统的建立，开展水库群防洪库容联合设计研究是实现库群系统整体效益大于各单库简单叠加的关键技术手段[1- 2]。针对传统单库系统，已有学者分析论证单库防洪库容值与防洪(或兴利)效益之间呈现单调关联性[3- 4]，即水库防洪库容值越大，防洪效益则越大(汛期兴利效益则越小)；但在水库群系统中，由于水库之间存在着复杂的水文水力联系，仅变动库群系统中单一水库的防洪库容值，并不能直接判别系统整体的防洪(或兴利)效益会如何随之响应。因此，在不增加流域水库群系统防洪风险的基础上，探究各水库间防洪库容协同作用及其水库群防洪库容组合方案对系统防洪效益的影响具有现实的研究意义[5- 6]。

目前，水库群防洪库容联合设计方面主要的研究方法大体可分为风险分析方法、库容补偿方法和大系统聚合分解方法[7- 10]。风险分析方法可考虑流域水库群系统复杂的洪水遭遇情况所引起的多重不确定性，从衡量库群系统的风险指标角度来优化水库群防洪库容组合方案。冯平等[11]基于风险效益分析的研究思路，考虑了岗南和黄壁庄两水库的联合调度，探讨分析了岗南水库提高自身汛限水位的可能性和合理性。库容补偿方法的基本思想是通过考虑库群系统中上、下游水库之间的水力联系，从而构建梯级水库群间的汛限水位协调关系并将其纳入水库群防洪库容联合设计研究中。钟平安等[12]以梯级水库中公共防洪任务所需的总防洪库容为切入点，结合库容补偿原理建立上、下库有富余防洪库容情形下的防洪库容置换模型，剖析上、下库汛限水位抬升幅度之间的关系。大系统聚合分解方法是将复杂的流域水库群系统整体概化为一个“聚合水库”，从而确定水库群系统总防洪库容值，然后通过一定的库容分配原则将所推求的库群总防洪库容值“分解”到各个水库。郭生练等[13]借鉴大系统分解协调理论思想，推求得到水布垭、隔河岩水库的汛限水位联合运用寻优区间。条件风险价值是经济学范畴中的经典风险工具[14]，已有不少学者将其应用于水资源管理领域并提供损失值的评价方法[15]；已有条件风险价值在单库中的应用[16]，且与传统洪水风险率方法进行对比分析，验证了该指标的合理性，但还未见将条件风险价值概念引入水库群联合防洪调度范畴的应用研究。

本文的研究目的在于开展基于条件风险价值理论的水库群防洪库容组合方案的可行区间研究。以单库系统为基础，构建各水库防洪损失条件风险价值指标；将所提出的防洪损失条件风险价值指标拓展到复杂的库群系统，并给出水库群系统防洪库容组合方案可行区间的推求思路；最后，以汉江流域水库群系统开展实例研究，剖析各水库防洪库容之间的协同作用。

1 研究方法

1.1 单库系统防洪损失条件风险价值评价指标

风险价值(Value- at- Risk，VaR)和条件风险价值(Conditional Value- at- Risk，CVaR)均是财务风险测量工具。VaR_α定义为某一段时间内，在给定的置信水平α条件下的最大损失。CVaR_α是VaR_α的一种改进形式，其表征在一定置信水平下，损失超过VaR_α的平均水平[14]：

(1)

式中：x为决策变量；θ为随机变量；E(·)代表期望；Fα为相应于置信水平α的VaR_α值；Fmax为损失函数的最大值；L(x,θ)为损失函数；f(·)为损失分布的概率密度函数；φ(x,θ)为损失的累计分布函数。

损失函数是条件风险价值指标建立的核心，本文通过考虑水库下游防洪控制点需多余承担的洪量来构建水库防洪损失函数L(x,θ)，从而将经济学中的条件风险价值理念引入水库防洪评价领域。选取水库防洪库容值(或汛限水位)为决策变量x，入库洪水量级为随机变量θ，损失函数可表达为

L(x,θ)=wf(x,θ)

(2)

式中：wf(·)代表下游防洪控制点需分担的多余洪量，亿m3。当构建多个水库汛限水位(防洪库容)方案和多种设计频率下的洪水过程方案，即可建立损失函数值L(x,θ)与x和θ之间的联系。

假设防洪损失发生在第i年的洪水风险为R，则置信水平和洪水风险满足关系式α+R=1；当损失函数L(x,θ)的形式确定，并且给定置信水平α时，防洪损失的条件风险价值CVaR_α为确定值(详细证明过程可见文献[16])。

1.2 库群系统防洪损失条件风险价值评价指标

以库群系统中的水库下游防洪控制点为研究对象，分别建立相应的防洪损失条件风险价值指标。若下游防洪控制点k对应的上游水库个数为n，则其防洪损失条件风险价值计算式如下：

(3)

式中：xi为第i个水库的防洪库容值(或汛限水位值)；θk为库群系统对应的流域洪水量级(本文采用设计频率表征)；Lk(·)为防洪控制点的损失函数(概率分布函数)；Fk,α为相应于置信水平α的防洪损失阈值；Fk,max为损失函数的最大值；fk(·)为防洪损失的概率密度函数。

因此，针对库群系统中不同的防洪控制点可分别推求其相应的防洪损失条件风险价值，并将库群系统划分为以不同防洪控制点对应的多个子系统；在每个子系统层面，以各水库现状设计防洪库容值对应的防洪损失条件风险价值为约束上限，可推求子系统中各水库防洪库容安全下限值。从库群系统层面，若以现状的水库防洪库容组合方案计算所得的条件风险价值为约束上限，即可辨识水库群系统中不同水库防洪库容组合方案的可行性，从而开展基于条件风险价值防洪损失评价指标的水库群防洪库容可行区间研究。

2 研究区域

本文以汉江流域中的安康、潘口、丹江口、三里坪以及鸭河口5个水库构成的复杂水库群系统为研究对象，如图1所示。流域暴雨发生的时节多在7—10月，划分为夏、秋季暴雨，故形成的洪水也相应分有夏、秋两季。由于库群系统夏汛期和秋汛期的水库特征参数是独立分开设计的，故本研究仅展示以夏汛期为研究时段的实例分析与讨论；夏汛期为6月中下旬至8月中下旬。

图1 汉江流域示意Fig.1 Schematic diagram of the Hanjiang River basin

汉江流域五库系统共计有5个下游防洪控制点，分别为安康水库下游对应的安康市、潘口水库下游对应的竹山县、三里坪水库下游对应的谷城县城、鸭河口水库下游对应的南阳市，以及整个库群系统下游对应的皇庄站。将汉江流域库群系统以各水库及其下游防洪控制点划分为4个子系统；此外，库群系统是指由5个水库及流域防洪控制点皇庄站构成的大系统。研究思路分为2个方面：

(1) 仅变动单个水库的防洪库容方案，依次推求子系统/库群层面各水库防洪库容安全下限值，并分析各水库对库群防洪风险的影响程度。

(2) 分析各水库对于整个库群系统防洪风险的影响，并推求水库群系统防洪库容可行区间。综合各单库下游防洪控制点和库群系统下游皇庄站的防洪标准，选取置信水平0.99和0.999的2种情形计算防洪损失条件风险价值指标。

表1 水库特征参数表

3 案例分析

3.1 库群系统防洪风险对各水库防洪库容的敏感度分析

依次仅变动安康/潘口/丹江口/三里坪/鸭河口水库夏汛期防洪库容值，固定其他相应的4个水库夏汛期防洪库容值为相应的现状设计方案，且设置各水库夏汛期防洪库容值在死水位至正常蓄水位对应库容范围内变动，以此分析汉江流域五库群系统的防洪损失条件风险价值(CVaR_HZ,α)对各水库防洪库容值变动的敏感度情况。

图2为仅变动安康水库夏汛期防洪库容方案的防洪损失条件风险价值计算结果。库群系统CVaR_HZ,α随着安康水库防洪库容(VAK)的逐步增大呈现一个先陡然下降后又趋于平稳的变化趋势，且以库群系统现状设计防洪库容方案所推求的防洪损失条件风险价值为约束上限(即表征不增加库群系统防洪风险的条件下)，可推求库群系统层面安康水库防洪库容安全下限值为3.60亿m3。此外，在库群系统CVaR_HZ,α趋于稳定之前，对安康水库防洪库容值变化的响应幅度若采用斜率表征为-0.166 5元/m3，该拟合相关系数R2=0.967 8。

采取相同的研究思路，可推求库群系统层面潘口、丹江口、三里坪和鸭河口水库防洪库容安全下限值依次为2.80亿m3、110.00亿m3、1.21亿m3、2.95亿m3，且库群系统CVaR_HZ,α各水库的变化趋势与安康水库结论一致，此处不再赘述。同理，可推求库群系统CVaR_HZ,α对各水库防洪库容值变动的响应幅度如表2所示，可发现库群系统CVaR_HZ,α对各水库防洪库容变动的敏感度排序依次为三里坪、鸭河口、丹江口、安康、潘口水库。若两库为并联关系，则水库防洪库容值越小，库群系统CVaR_HZ,α对其变化越敏感；若两库处于串联关系，则水库防洪库容越大，库群系统CVaR_HZ,α对其变化越敏感。

表2 库群系统防洪损失条件风险价值对各水库防洪库容变动的敏感度计算

图2 仅变动安康水库防洪库容方案的结果Fig.2 Result of only changing the Ankang Reservoir′s flood storage value

3.2 水库群防洪库容组合可行区间推求

采用的研究方案为固定水库群系统夏汛期总防洪库容为常数值，但考虑到汉江流域五库系统中丹江口水库防洪库容量级与其他水库的差别较大，故通过将丹江口水库与其他单库以两两组合的形式，探究水库间防洪库容组合的规律。具体而言，分别采用以下4组方案。方案A：仅变动安康和丹江口水库防洪库容(VDJK)组合方案；方案B：仅变动丹江口和潘口水库防洪库容(VPK)组合方案；方案C：仅变动丹江口和三里坪水库防洪库容(VSLP)组合方案；方案D：仅变动丹江口水库和鸭河口水库防洪库容(VYHK)组合方案。

图3为五库系统总防洪库容值固定为现状设计方案时的计算结果，当丹江口水库与其他水库两两组合变动防洪库容方案时，有且仅当两水库防洪库容值均取其防洪库容安全下限值时，库群系统防洪损失条件风险价值才满足约束条件。但通过进一步扩展研究，若库群系统总防洪库容大于121.76亿m3，满足库群系统防洪损失条件风险价值约束的防洪库容组合方案存在可行区间。由于水库两两组合变动方案的结果呈现相似的规律，故仅展示总防洪库容固定为122.26亿m3时，安康与丹江口水库两两组合的变动结果(如图4)。与图3(a)对比可知，当库群系统总防洪库容值较大时，两库防洪库容组合方案存在1个可行区间，且可行区间的左右边界分别由各水库的防洪库容安全下限值决定。

图3 水库群总防洪库容固定为现状设计方案时的计算结果Fig.3 Results of fixing the total flood storage at its current designed value

图4 总防洪库容值固定为122.26亿m3时仅变动安康和丹江口水库防洪库容组合方案计算结果Fig.4 Results of only changing the flood storage combination scheme for Ankang and Danjiangkou Reservoirs when the total flood storage is fixed at 12.226 billion m3

因此，在水库两两组合方案中，当库群系统总防洪库容值固定为某一常数值时，满足防洪损失条件风险价值约束条件的库容组合方案的解不一定唯一，即库群系统整体防洪风险不仅需要关注总防洪库容值，也应侧重研究各水库防洪库容组合方案对库群系统防洪风险的影响。

3.3 协同防洪水库数量对库群系统防洪风险的影响

库群系统防洪损失以及各水库的防洪库容安全下限值计算结果如表3所示：① 由于安康水库下游安康市防洪标准的约束(子系统层面)，两库/五库系统中安康水库的防洪库容安全下限值均为3.60亿m3；② 随着系统内协同防洪水库数量的增加(考虑潘口、三里坪和鸭河口3个水库协同防洪作用)，库群系统的条件风险价值更小，说明系统的潜在防洪风险更小；③ 由于5库系统的条件风险价值约束更严格，故五库群系统中丹江口水库防洪库容安全下限值更偏安全和保守；④若采用两库系统的条件风险价值为约束条件，推求五库系统中丹江口水库防洪库容安全下限值为105.70亿m3，因此，若选取相同的条件风险价值约束条件，相比于两库系统，五库系统由于考虑了更多水库(潘口、三里坪、鸭河口水库)的防洪协调作用，丹江口水库自身防洪库容可调节的灵活空间更大。

表3 两库/五库系统防洪损失条件风险价值和防洪库容安全下限值计算结果

4 结 论

本文提出了基于条件风险价值的水库群防洪库容协同作用研究，以汉江流域的安康、潘口、丹江口、三里坪和鸭河口5个水库构成的库群系统为例，主要结论如下：

(1) 以水库群系统现状设计的防洪库容方案对应的防洪损失条件风险价值为约束上限(即不降低水库群系统防洪标准的前提下)，可推求安康、潘口、丹江口、三里坪和鸭河口各水库防洪库容安全下限值分别为3.60亿m3、4.00亿m3、110.0亿m3、1.21亿m3、2.95亿m3，且库群系统防洪损失条件风险价值指标对各水库防洪库容变动的敏感度排序依次为三里坪、鸭河口、丹江口、安康、潘口水库。

(2) 当水库群总防洪库容值相同时，若各水库防洪库容组合方案不同，所对应的防洪损失条件风险价值不一定相同，即可推求各水库防洪库容组合存在可行区间，且区间边界由各水库的允许最小防洪库容值决定。而且，水库群联合防洪调度不仅应关注总防洪库容值的设置，也应当剖析各水库防洪库容组合方案及各大型骨干水库对库群系统总体防洪风险的影响。

(3) 若选取相同的条件风险价值约束条件，相比于两库系统(安康、丹江口水库)，五库系统由于考虑了更多水库(潘口、三里坪、鸭河口水库)的防洪协同作用，丹江口水库自身防洪库容可调节的灵活空间更大。