直观感知 大胆猜想 小心求证——以几道高考数列题求解为例

闽南师范大学附属中学(漳州二中) (363000) 黄其芳

数列作为高中数学的一个重要组成部分，是历届高考试题考查的重点，难点．数列的表示通常有图象法、列举法、通项公式、递推关系．高考数列试题中，数列的表示往往以抽象的形式出现(一般给出其递推关系)，为此需要将其直观化，通过递推关系及首项，列举出数列各项的取值，从而猜想其通项公式，或把数列的各项用图形给予表达，进而确立解题的思路．下面通过几道高考数列试题加以说明．

(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．

分析与解：(1)由题目中给出数列{an}的递推公式可知，数列{an}中的偶数项是等于其前一项加1，奇数项是等于其前一项加2其首项为1，又a1=1，为此我们列举数列的前几项，直观感知数列各项的值，a1=1，a2=2，a3=4，a4=5，a5=7，a6=8，…．所以b1=2，b2=5，b3=8，猜想数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列， 因为bn+1-bn=a2n+2-a2n=a2n+1+1-a2n=a2n+2+1-a2n=3，所以猜想成立，则bn=3n-1．

(2)同(1)，设cn=a2n-1，又c1=1，c2=4，c3=7，猜想数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列， 因为cn+1-cn=a2n+1-a2n-1=a2n+2-a2n-1=a2n-1+1+2-a2n-1=3，所以猜想成立，则cn=3n-2．所以{an}的前20项和为a1+a2+…+a19+a20=(c1+c2+…+c10)+(b1+b2+…+b10)=5(1+28)+5(2+29)=300．

例2 (2021年八省联考第17题)已知各项都为正数的数列满足an+2=2an+1+3an．

(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

例3 (2020年全国I卷文第16题)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=．

分析与解：题中递推关系式关系不明显，为此我们先列举几项观察规律．由已知a3-a1=2，a4+a2=5，a5-a3=8，a6+a4=11，a7-a5=14，a8+a6=17，a9-a7=20，a10+a8=23，a11-a9=26，a12+a10=29，… ，则发现a4+a2=5，a8+a6=17，a12+a10=29，a16+a14=41，又a3=a1+2，a5=a1+2+8，a7=a1+2+8+14，a15=a1+2+8+…+38，所以a1+a3+…+a15=8a1+2·7+8·6+14·5+20·4+26·3+32·2+38·1=8a1+392，所以S16=a1+a2+…+a16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16)=8a1+484=540，所以a1=7．

例4 (2014年新课标Ⅰ卷理第17题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数．

(1)证明：an+2-an=λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

分析与解：(1)略；(2)由(1)及已知条件得出数列各项为，1，λ-1，λ+1，2λ-1，…，若{an}为等差数列，则2(λ-1)=1+λ+1，解得λ=4；当λ=4时，数列各项为1，3，5，7，…，猜想{an}为等差数列，且公差为2．下面用数学归纳法证明：当λ=4时，an+1-an=2，n∈N*；当λ=4时， ①a2-a1=3-1=2，所以n=1时等式成立；②假设ak+1-ak=2，∀k∈N*，则由(1)及假设得ak+2-ak+1=ak+4-ak+1=4-2=2，所以n=k+1时，等式也成立.由①②可知该等式成立．

例5(2014年高考全国Ⅱ卷理第17题)已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．

(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；

图1

由上面几道数列试题的解题过程，我们可以看出，若能将数列的项具体化、直观化，则能帮助我们从不同视角理解题意，明确这道题的解题方向，因为解题思路的产生更多的源于直觉，源于我们对这道题目的直观判断，除非它是常规的题型，预期这道题的最终结果．直觉意义往往可以超越逻辑步骤，捷足先登的直达目标，但具体到解答步骤，还是要回到数学的抽象表达，运用严密的数学推理．