让数学教学自然生成

福建省长汀一中 (366300) 付礼福

许多学生到高中后就感到数学更难学，更加抽象，知识更严谨，更加深奥难懂.数学给人以冷冰冰的、枯燥无味的感觉.事实上，高中数学是思维的科学，只有钻进去了才能感受到它是冰冷的美丽.它有简单美、对称美、曲线美、和谐美、自然美.数学教学中，教师应展示数学自然、精彩、美丽的本来面目，让数学来得更自然一些.只有在符合认知规律的自然生态下，学生的素养才能得到有效发展.

一、知识的产生要自然

数学来源于生活实际，又应用于生活.数学知识的产生和发展都是自然的与合理的.完美的数学符号、概念、法则、定理，是数学界长期自然、合理进化的结果.

学习的目的是运用、创新，建立知识结构框架，是学好高中数学的关键.数学概念、公式、法则是学好数学，解决数学问题的前提和基础.自然合理的才容易让人接受、理解，强塞硬灌的东西会被排斥.教学时，要注重概念的形成过程，公式的推导过程，让学生明确学习的必要性和意义，并且要抓住知识间的内在联系，让抽象知识直观化、具体化，自然而然地生成.

比如，函数的单调性是函数概念之后学习的第一个重要性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念.这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变，对高一学生来说是难点.我通过提出下列问题，让学生思考，体验函数单调性概念的自然生成.

问题1 怎样用数学符号语言刻画“y随x的增大而增大”，“y随x的增大而减小”这个特征？

答：当x1y2.

问题2 为什么要在给定区间内取两个数x1、x2？

答：体现数的增大，至少要两个值，设为x1、x2，且x1

问题3 在给定区间内仅取两个数x1、x2能足够说明“x增大，y也随之增大” 这个特征吗？

答：举一反例y=x2，取x1=-1，x2=2，由x1

学生通过足够的时间思考、辨析，举反例等，对概念本质的理解更加深入，函数的单调性概念基本成型.乘势追问：

问题4 如果在给定的某个区间内，函数的图象从左到右一直是上升的，我们就说该函数在这个区间内是增函数.你能否叙述单调增函数的定义？

至此，函数的单调性概念算是水到渠成了，再通过应用加以巩固、深化和提高.再如人教A版(2019)三角函数一章，三角函数的图象和性质与函数y=Asin(ωx+φ)的图象，之间隔了一个三角恒等变换，这给图象学习带来不便，不自然，应调整顺序.

二、思维过程要自然

思维的产生源于问题，对问题进行观察、分析、综合、判断、推理等认识活动过程就是思维，是一种习惯性的思考方式.思维要灵活、严密、完整、有序，思维过程要自然，合情合理，不能诡异、突然的，大跨度的跳跃会让人莫名奇妙，就象变魔术，无法接受和理解.解决问题的一般思维程序是“审题→联想→尝试→反思”，明确目标，“由已知想可知”的正向推理，或“由未知想需知”的逆向思考，或“两面夹攻”，不断尝试，调整思路，直至思维贯通.若思路不通或麻烦，则可尝试把问题等价转化，换一种形式再思考.如AB中点为M，AB=2OM，意即OA⊥OB.

教学中，必须暴露“怎么想，为什么会这样想的”，思维自然形成的过程，包括尝试、碰壁、再尝试的过程，引导学生思考探索，启发思维.老师的包办代替会扼杀学生思维，强塞硬灌只会增加学生思维惰性.要让学生有饥饿感，迫切感，如饥似渴的学习.让学生限时训练，增强紧迫感，思维才会有效果.课堂教学的过程要精心“预设”，更要关注动态“生成”.适时引导、点拨、追问、解惑.课堂上要注意师生、生生的交流互动，互教互学，互相启发，让思维碰撞，迸发出智慧的火花，从而“站在巨人肩膀上攀登”，实现合作共赢，共同发展.

图1

图2

例2 (2021新高考全国Ⅰ卷)如图2，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.

(1)证明：AO⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

分析：(1)逆向思考方便，要证线线垂直，只需证线面垂直，那么证哪条线与哪个平面垂直好呢？观察图形，结合已知，易知应去证AO⊥平面BCD，转化为只要证AO垂直于两个垂直平面的交线BD，而这易得，从而问题得证.

图3

三、解法思路要自然

教师的作用是启思导学，“授人以渔”，进行激励、唤醒、引领.学习数学离不开解题，解题的目的是巩固和加深对数学知识的理解，提高思维能力.在解决问题过程中，要引导学生多角度、多方位、多层次的思考，寻找解决的线索或路径，并注意整理思路，使“条理清楚，逻辑严密，步步有据，思路清晰，规范简洁”.

教学是师生的共同活动，“教学做合一”，教学生学，在做中教，在做中学，在做中感悟.“做”是核心，在做中融会贯通，灵活运用.解题思路要自然而然地展开，把复杂的东西简单化，难理解的东西通俗化，弄懂“为什么这样想”，找到更适合学生的自然解法，从而实现模仿到创新.

例3 (2016全国Ⅰ卷理)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

(1)解法1：(对参数分类讨论)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(i)设a=0，则f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一个零点x=2，不符合题意．

(ii)设a>0，则当x∈(-∞,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在(-∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增．又f(1)=-e<0，f(2)=a>0，当x→-∞时，f(x)→+∞，此时f(x)存在两个零点，符合题意．

图4

(2)证法1：由解法1知f(x)在(-∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，由(1)结果不妨设x1<1f(2-x2)，∵f(x1)=f(x2)，即证f(x2)>f(2-x2)．设h(x)=f(x)-f(2-x),x>1，则问题等价于证h(x)>0．∵h(x)=(x-2)ex+xe2-x，∴h′(x)=(x-1)(ex-e2-x).∴当x>1时，ex-e2-x>0，h′(x)>0，h(x)在(1,+∞)单调递增，h(x)>h(1)=0，从而原问题得证．

四、问题变式要自然

教学不仅是传授学生知识，更重要的是培养学生的思维能力，进行思想引领.在课堂教学中，应抓住思维训练这条主线，进行变式教学，通过问题驱动，激发学生去思考、创新.变式就是改变问题的条件或结论，变换问题的形式或内容，一般化或特殊化，得到新问题，激励学生进行重新思考，会从“变”的现象中发现“不变”的本质或规律，加深对知识的理解，培养学生的应变能力，切实从题海中走出来，实现真正的减负与增效.

变式要有针对性，要适度让学生参与.可以通过一些过渡性的语言，比如“还能求什么呢”“如果把这些条件稍微改一下，还能得到这个结果吗”，变式自然地生成，让学生清楚的认识到教师是怎样进行变式的，培养思维的灵活性、发散性，提高思维能力.

例4 已知数列{an}中，a1=1，且an+1=an+2n，求数列{an}的通项an.

目的是让学生掌握累加法求数列的通项，条件改为下面时呢？

变式1 已知数列{an}中，a1=1，且an+1=an+2，求数列{an}的通项an.

就是用公式法求数列的通项，条件改为下面时呢？

变式2 已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2，求数列{an}的通项an.

就是要会用构造法求数列的通项，条件改为下面时呢？

变式3 已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2n，求数列{an}的通项an.

这也是用构造法求通项，还有别的方法吗？

法3：已知两边同加2n+1，变为an+1+2n+1=3(an+2n)形式，化为等比数列，再做.

总之数学教学应抓住一切机会和环节，努力创造更自然、更合理、更有效的数学教学，确实提高学生思维的主动性、深刻性和流畅性.在教学过程中，不失时机地渗透思想教育，使学生在学习时有勇于尝试探索，敢拼敢闯的精神；懂得取其精华，去其糟粕，批判地继承；会辩证地分析问题，不唯师，不唯书，不迷信盲从，学会理性思维，灵活创新运用所学.