“慢”下来，让学生充分经历思维过程——以《平面直角坐标系中的轴对称与平移变换》教学为例

浙江省杭州市余杭仓前中学 (311121) 王利庆

近日，笔者听了杭州市余杭区八年级两位老师开设的二节同课异构公开课，课题为浙教版八年级上《4.3坐标平面内图形的轴对称和平移(1)》.本文就两位老师设计的三个片段谈些想法及处理意见.

甲教师片段1：在归纳出直角平面坐标系下任意一个点关于x轴及y轴的对称点关系后，老师设计了以下一个游戏：先由一位同学任说一个点坐标，再由老师规定关于哪条坐标轴对称，最后由知道答案的同学抢答，回答对的同学继续上述步骤，大概持续了2分钟.

老师设计这一环节意图是提高学生学习积极性，巩固新知.

课后组织的老师评课中，多位老师对甲老师设计的上述环节表示肯定，认为学生参与度高，课堂气氛活跃，在活动中记住了点关于坐标轴对称关系，并能熟练运用.这样设计合理吗？教材为什么在这里安排直角坐标平面下的平移及轴对称变换？

教材中渗透了三个重要的数学思想方法，分别是特殊到一般数学思想、数形结合思想及建系解决问题方法.数形结合思想，是二维背景下有关数形结合思想方法的起始课.浙教版教材中七年级上第一章的《数轴》内容，利用绝对值几何意义解决了形如求x值，求形如多个绝对值之和最值等问题，且这些问题均可利用绝对值几何意义刻画解决，其形象、直观、易懂，符合初一学生认知水平及数学思维特征.

分析这位老师设计活动目标：通过师生、生生互动，促使学生熟记对称点与已知点坐标之间关系，并能熟练输出.学生在回答结果过程中，思维路径是这样的：

这是从代数形式结构向代数形式结构转化过程，结果的输出是建立在熟记对称的点间的横纵坐标变化规律基础之上.但这个教学环节的设计，恰恰忽略了数形结合思想渗透的基本路径.学生正确的思维过程应该是这样的：先判断它的位置，再找出它的对称点，然后读出对应的点坐标.也就是说，学生经历数形结合的路径是：数(建直角坐标系，找到它的位置)——形(对称后的位置)——数(读出对称点的位置).经历这样解决问题过程中，学生先把数与其对应的形找到联系，然后提炼数的特征，能降低“数”的抽象性，增强“数”的直观性，减轻学生记忆负荷.并且笔者认为，作为二维背景下蕴含数形结合思想的起始课，老师有必要让学生充分感受 “有形助数出结果”完整的思维轨迹，让学生有充分的思考时间，不急于求成归纳、提炼，通过类似的教学活动促使学生记忆.这种慢下来经历数形结合思想的过程，是一种数学思想内化为思考方法的路径之一，同时也为初等函数性质的研究奠定基础.

乙教师片段2：探究规律

探究1：如图1，作点A关于x轴的对称点A1，并写出它们的坐标，再任意找一组关于x轴的对称点，分别比较两组对称点的坐标，你发现什么规律？

图1

发现：________________.

探究2：如图1，作点A关于y轴的对称点A2，并写出它们的坐标，再任意找一组关于y轴的对称点，分别比较两组对称点的坐标，你发现什么规律？

发现：________________.

坐标系背景下，通过特殊点的位置对称，归纳这些点的共性，并探究其内在规律，这个过程体现“特殊到一般”的数学思想.这是一种化归思想，为不完全归纳法.初中学习阶段，由“特殊到一般”这种方法获得的结论视为正确与可行的.但是教师在设计教学活动时，要尽可能体现“任意性”，使学生对得出结论的正确性增加“信度”，尝试慢下来，让学生充分经历和体会.

经过研讨，大家一致认为可改进设计如下：

问题1：在直角平面坐标系中，任取三个点，写出它的坐标.

问题2：分别作出它们关于x轴和y轴的对称点，并写出对称点的坐标.

问题3：观察你所取点与对称点的坐标，你发现了什么？小组同学相互交流，并尝试归纳.

问题1是开放的，学生任意取点，在解决这个问题过程中，思维优的孩子取的点会分布在不同象限；问题3小组内交流，互学，学习对象结果样本也具有任意的.学生通过解决这三个问题，先独学深入思考，再互学相互比较、促进，最后尝试归纳特征.创设情境，让学生慢下来，经历慢过程，学生可充分体现“任意性”.这个慢经历，让学生有深入的思考，思维有充分暴露机会；这个慢经历，学生在在互学中进一步优化自己的思维.经历慢过程，让学生对特殊情况得到的结论推广到一般情况有充分的感悟和认可；经历慢过程，使学生对得到的结论有深度的信任.

甲教师片段3：一个零件的横截面如图2，请完成以下任务：

1.按合适的比例，建立直角坐标系.(图3中一小格表示1cm).比例尺：________________.

2.写出轮廓线各个转折点的坐标.在求这些点的坐标时，你运用了怎样的坐标变化规律？

图2

图3

3.与你的同伴比较，你们写出的各转折点的坐标相同吗？为什么？

这是教材“合作学习”的内容，这个例题旨在让学生体会图形位置可以在直角坐标系下定量研究，体会建立“坐标系”解决问题的方法.这个例题还承载另外一个功能：让学生比较不同的建系方法，描述图形位置发生变化，在这个比较过程中，慢慢积累经验：怎样建立直角坐标系最美观、描述点的位置最方便；建系的时候可以结合图形自身的对称性，通过对众对象比较之后做出判断，从而建立“建系优化思想”.这个优化提炼过程，也该慢下来，让学生充分比较，对“优化”有深刻体悟.只有这样，才能内化为解决问题的活动经验.同时，教师在教学设计过程中要把这节课承载的“解析思想”的起始课功能体现出来.

经研讨可改进设计如下：

一个零件的横截面如图2，请完成以下任务：

问题1：按合适的比例，建立直角坐标系.(图3中一小格表示1cm)比例尺：.

问题2：写出轮廓线各个转折点的坐标.你是怎么思考的？

问题3：你还有其他的建立直角坐标系的方法吗？尝试写出点D，点A的坐标(增加备用图)

问题4：与同桌交流各转折点的标，分享建立直角坐标系的经验.

改进设计后，以“问题链”形式呈现，可引导学生层层深入思考，尤其是第3问的设计，让学生感受到结论具有多样性，通过这三个问题的解决，对建系过程中的“优化”思考就更显得水到渠成.事实上，问题与问题之间的跨度为学生的多样思维与探索提供可能；同时为学生的数学思考提供隐形的脉络，把学生的思考逐渐引向深入，从而获得较高认知的数学水平.