一个圆锥曲线双斜率问题的统一解法

浙江省宁波市北仑中学 (315800) 吴文尧

在圆锥曲线的定点、定值问题中，常涉及以下问题：过圆锥曲线T上一定点Q作曲线T的两动弦QA,QB,若直线QA,QB的斜率积(和)为定值，则直线AB经过一个定点.我们不妨称之为“双斜率”问题，笔者研究发现解决这个问题的统一解法，现介绍如下，供大家参考.

一、引理和定理

引理设P1,P2是曲线T:Ax2+Cy2+Dx+Ey=0(其中A+C≠0)上的两个动点，O为坐标原点，直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，则

定理设Q(x0,y0)是圆锥曲线T:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0上的定点，P1,P2是曲线T上的两个动点，直线QP1,QP2的斜率分别为k1,k2，则

二、应用举例

分析：由于椭圆的方程为x2+4y2-4=0,点P(0,1),即A=1,C=4,D=E=0,x0=0,y0=1,p=-1,由定理可知,直线AB经过一个定点(2,-1),若掌握引理及定理的证明方法,则不难得到以下解法.

评注：由本题的解法，可总结得到解决这类问题的解题程序如下：

(1)平移——作坐标系的平移，使曲线T上的定点恰为新坐标系的原点.曲线T的方程必是常数项为零的二元二次方程.

(3)使用——运用韦达定理及两动弦斜率的关系得到关于m,n的一个方程.

(4)定点——由直线方程mx′+ny′=1结合m,n的关系式得到目标直线经过的定点在新坐标系中的坐标.

(5)回归——利用坐标平移公式,得到目标直线经过的定点在原坐标系中的坐标.

评注：解决本题的关键是能否看清问题的本质所在,从结论出发,不难发现只需证明点D恰在一个以定点Q为圆心的定圆上,若对定理比较熟悉,则从条件出发很容易发现动直线MN必经过一个定点,从而实现条件与结论的“无缝对接”，解题的思路就显得自然，解题的过程也显得简洁.

图1

分析：不难发现当点P在直线x=6上运动时，直线PA,PB(DB)斜率的比值为定值，又注意到直线DB,DA斜率的积为定值，所以可得直线AC,AD的斜率的积为定值,从而问题就化归为运用定理可解决的问题了.

评注：复杂的问题往往是由若干个简单的问题组合而成的,所以把复杂问题进行必要的分解是解决复杂问题的有效途径之一,上述解法从“直线AC和直线BD的斜率的比为定值”，、“直线AD和直线BD的斜率的积为定值”到“直线AC和直线AD的斜率的积为定值”,最终化归为基本类型的问题，从而使问题得到解决.

圆锥曲线问题成为难点的一个重要原因是学生过不了“运算关”，造成这一现象不外乎以下两方面的原因，其一是运算能力，特别是字母演算能力有待提高；其二是由于方法选择不恰当，把简单问题复杂化，陷入繁杂的运算而不能自拔.所以在提高运算能力的基础上，掌握一些简化运算的招式,缩短解题的“长度”显得很有必要,上述介绍的构造齐次方程、利用坐标平移是简化运算重要手段之一.