一道三校联考函数试题的再思考

广东省广州市铁一中学 (510600) 何重飞

一、试题呈现

文[1]给出了该试题的详细解答与评析，且对试题进行了本源探究与变式推广，并就这类问题的高考备考提出了一些思考与建议.笔者从问题本质出发，探究得到了一些特殊函数具有的对称性质，下面就这些性质与大家一起探讨.

二、问题本质及函数的对称性质

文[1]在题目解析中所提到的“注意到”、“观察到”对于考生来讲是比较难的，这也是题目的难点所在，函数的背后是否隐藏了某些对称属性？笔者研究后发现了其中的“秘密”，得出了一些特殊函数对称性质.

证明性质1，先回顾以下定义：

定义设函数f(x)的定义域为I，若对∀x∈I，有f(a+x)=f(a-x)(或f(x)=f(2a-x))，则称f(x)是以直线x=a为对称轴的轴对称函数； 若对∀x∈I，有f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b)，则称f(x)是以(a,b)为对称中心的中心对称函数.

特别的，当n=2时，可得：

推论1 已知f(x)为R上的偶函数，且a1,a2,a3成等差数列(或2a2=a1+a3)，若g(x)=f(x-a1)+bf(x-a2)+f(x-a3)+c，则g(x)是以直线x=a2为对称轴的轴对称函数.

延续性质1的探究思路，可得如下几个性质和推论，详细证明留给感兴趣的读者.

特别的，当n=1时，可得：

特别的，当n=2时，可得：

特别的，当n=1时，可得：

特别的，当n=2时，可得：

推论5 已知f(x)为R上的奇函数，且a1,a2,a3成等差数列(或2a2=a1+a3)，若g(x)=f(x-a1)+bf(x-a2)+f(x-a3)+c，则g(x)是以(a2,c)为对称中心的中心对称函数.

特别的，当n=2,3时得到：

推论6 已知f(x)为R上的奇函数.

(2)若a1,a2,a3成等差数列(或2a2=a1+a3)，且g(x)=kf(x-a1)f(x-a2)f(x-a3)+b，则g(x)是以(a2,b)为对称中心的中心对称函数.

三、对称性质命题或其推论的简单应用举例

对称性是函数的一种非常重要的性质，在历届高考和模拟试题中频频出现，这一类试题灵活性强，思维量大，要求学生有较高的抽象思维和数学素养，熟悉上述命题和推论可灵活应对和解决这一类问题，下面笔者举例说明.

例1已知函数f(x)=2x2-2x+|x|+|x-1|+3，求满足f(1-2x)≤f(x)的x的取值范围.