立足考题促思维 引领课堂提素养——基本不等式求二元函数最值问题的复习课堂设计

江西 黄邦活

不等式是高中数学的一个重要内容，而基本不等式是不等式中的核心，是用来解决最值问题的一个重要工具，是高考常考的一个重要知识点.根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)(以下简称《课程标准》)中基本不等式的要求属于“理解应用层次”，结合《中国高考评价体系》中的考查内容与考查要求，立足发展学生思维，提升学生核心素养，对基本不等式求二元函数最值问题精心设计了一堂高考复习课，供参考，不足之处敬请指正.

1 教学内容及解析

1.1 内容

1.2 内容解析

基本不等式主要用于解决函数的最值问题，特别是二元函数的最值问题，尽管基本不等式不是解决最值问题的唯一工具，但它是求解此类最值问题的一个最基本、最有效的工具.若能正确合理转化使用，则可以简化求解过程，达到事半功倍之效.

2 教学目标及解析

2.1 教学目标

(1)结合实例，掌握基本不等式求最值的原理，能运用基本不等式解决一些最大(小)值问题；

(2)结合实例，能用函数关系把握基本不等式的结构及变换，能根据结构特征编题及变式，激发学生自主探究的积极性，培养合作交流意识，提升学生提出问题和分析解决问题的能力，落实逻辑推理、数学运算核心素养.

2.2 目标解析

结合例1，教师引导学生用函数的眼光去学会分析、思考、探究，在结构上与基本不等式进行比较，找出差异，通过“减元”“分离”“配凑”等手段，等价变形转化，创设能用基本不等式求最值的条件，运用“积定和最小”，达到求最值的目的.

数学教育家波利亚指出：“如果不变式问题，我们几乎不能有什么进展.”根据例1的条件与目标的结构，互换条件与目标形式设计简单变式1让学生逆向思考，直接根据例1整体配凑，容易收获成功；改编条件设计变式2，增加梯度，对比发现合理“减元”可简化过程与运算，掌握“配凑”技巧.通过学生思考、交流，展示解题思路与过程，提高数学活动的有效性，体会化归与转化思想方法及解题策略，提升学生分析、解决问题的能力，建构和发展逻辑思维.

结合例2及练习，进一步巩固“减元”思想与“配凑法”的基本思路，拓展延伸，引导学生深入探究，抓住问题的内在联系，由表及里，由浅入深，善于变通与发现，整体思考，运用“1”的整体代换或换元思想，简化运算，进而培养学生学会学习，形成良好的学习习惯；培养创新意识，将数学核心素养落到实处.

引导学生自主梳理，提纲挈领，厘清知识间的来龙去脉，完善认知结构，培养归纳概括能力，养成良好的反思习惯.

重点：基本不等式求二元最值问题解题的策略建构.

难点：如何创设运用基本不等式的条件，特别“定值”.

3 教学设计

3.1 考题呈现，引入主题

引言：同学们，一腔热血备高考，满腹经纶方成功.今天多一分拼搏，明天多几分笑.备考需要智慧，在学习上多动脑筋、多下功夫，向更高的目标奋进！高考试题是所有试题材料中的精品，是命题专家们的智慧结晶.请看下面一道高考题，让我们一起探究吧.

设计意图：通过教师的简短语言，激发学生学习的热情，提高学生学习的信心.

【例1】(2020·江苏卷·12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是________.

(学生先独立思考，教师观察，按照波利亚的解题思想进行对话、引导，进入主题)

教师：这个问题的条件是什么？要解决一个什么样的问题？

众生：条件是一个等式，它需要求的是代数式的最值问题.

追问1：涉及多少个变量？

众生：两个.

追问2：我们知道一个变量的函数可称为一元函数，那么两个变量的目标函数我们可称之为什么函数？

众生：二元函数.

教师：对，这个问题实际上就是二元函数的最值问题.二元函数的最值问题是高中数学阶段中非常重要的一类问题，也是高考中的一个热点与难点问题.那么，根据我们所学的知识，可以用什么知识来求解呢？

(学生议论纷纷)

学生1：线性规划、基本不等式.

追问3：哪个更合适？

学生1：当然是基本不等式.

追问4：理由呢？

学生1：用线性规划的话，条件与目标函数的几何特征明显，尽管给出问题的目标函数表示点(x,y)到原点的距离的平方，但条件几何特征看不出来.

教师：说得很好.那么，如何运用基本不等式求二元函数的最值呢？

设计意图：从分析问题的角度出发，通过师生对话，辨别问题的类型，引入主题，激发学生的求知欲望，最大限度地调动学生学习的主动性与参与性.

3.2 引领探究，深入建构

教师：我们知道，基本不等式是不等式中的第一个基本定理，它的结构优美简洁，是求函数最值的一个最基本最有效的工具与方法，也是高考常考的一个重要知识点.在前面，我们已经学习了基本不等式，请问哪位同学能先告诉我它的内容是什么？

学生2：“积定和最小”及“和定积最大”.

追问6：能举个简单的例子吗？

追问7：这样做，行吗？

学生2：哦，忘了，使用基本不等式来求最值还必须满足“正、定、等”三个条件.

追问8：对呀，“正、定、等”是运用基本不等式求最值的三个条件，缺一不可.你给出的这个例子，还要改正哪些地方？

学生2：a,b为正数，当且仅当a=b时取最值.

教师：很好!请大学再仔细观察、分析、思考一下，看谁先能快速运用基本不等式正确解决这个问题呢？

设计意图：通过引导学生简单回顾基本不等式的内容、运用求最值的一般原理，唤醒学生的记忆，调动学生的原有知识储备、认知结构，实现对数学活动的参与，主动去探索、思考.

3.2.2 深入思考，建构思维

学生3：老师，根据题目条件中有“两项的和为定值”，目标式也是“两项的和”，不是“两项的积”，用“积定和最小”及“和定积最大”这两个原理求解有点困难.但是，根据条件是等式，我就先想到用“减元”思想.

教师：是的，解答多变元问题时，“减元”应该是首选的数学思想方法，也是常规方法.通过“减元”，能使解题方向更加明确，解题方法更加明朗.请你在黑板上展示一下解题过程，并说出理由.

由于减少变量的常规方法有两种:一种是代入消元，一种是整体处理，即换元.观察条件的等量关系、字母的次数，可以看出x2用含y的字母来表示比较简单，从而解得x2代入目标式转化为一元函数，将①式分离，转化为②，最后运用基本不等式求最值.

学生4(很快举手示意)：要考虑“减元”后y的取值范围，这样判断运用基本不等式中的“等号”是否成立.

追问9：是的，那怎样得到y的取值范围？

学生4：可以根据条件放缩得y4≤1，也可以由等价变形后中的x2≥0，解得0

教师：细节决定成败，有时因一个小小的失误，功亏一篑.我们要注意解题的细节，如减元后要注意变量的取值范围，运用基本不等式特别要注意“等号”能否取得.

教师：刚才用“减元”将问题解决了.请问哪位同学还有不同的解题思路吗？请走上讲台，当一次“小老师”.

学生5：我是这样想的，看到“目标”是求和式的最小值，就会去尝试 “积定和最小”，尝试将已知条件凑成“积”的形式进行转化，设法寻找两项的“积”为定值，再求“和”的最小值.由条件得(5x2+y2)·y2=1，将(5x2+y2)+y2与要求的最值x2+y2进行比较，通过对y2配上系数“4”，有(5x2+y2)+4y2=5(x2+y2)，且(5x2+y2)·4y2为定值“4”.

教师：好极了！着眼代数式的结构特点进行尝试、分析、比较，从结构上的差异寻找条件与目标的联系，运用“配凑”法，用好“系数”，是运用基本不等式求最值的一个关键突破点，也是常用的策略与方法.

设计意图：通过启迪、展示学生思维，引导学生主动探索、主动发现，在学生已有经验和知识的基础上，形成用基本不等式求最值的基本解题策略，培养学生养成思考问题的良好习惯.

3.2.3 变式巩固，发散思维

教师：刚才两位同学很不错，为达到解题的目的，充分发挥了基本不等式求最值的解题功能.请大家思考下面一组变式，你能用基本不等式解决吗？

变式1：已知x2+y2=1(x,y∈R)，求5x2y2+y4的最大值.

变式2：已知5x2y2+y2=1(x,y∈R)，求x2+y2的最小值.

(学生独立思考、探究，与同桌或小组成员交流、讨论、比较；教师巡视、观察，了解学生解题情况，展示正确解答的过程)

教师：先看变式1，哪位同学来说一下解题思路，并展示过程.

学生6：先减元，由条件解得x2=1-y2，将其代入目标式，再转化为两项的积后，凑系数得“和”为定值，进而求得“积”的最大值.

学生7：由于目标是求最大值，因此朝着“和定积大”方向，根据例1的整体配凑，可以很快解决.

教师：真棒！这两位同学都能学以致用，从不同的方向切入进行思考，寻找正确的解题方向，运用基本不等式顺利求得最大值.

教师：接下来，看变式2，

学生10(展示7)：由条件得y2(5x2+1)=1，

教师：太棒了！这三位同学一样能根据不同的条件，创设运用基本不等式的条件，将问题正确求解.请同学们对“学生8”与“学生9”展示的过程进行比较，有什么联系与区别？

学生11：他们都是“减元”思想，但是“学生8”在“减元”后，可直运用“积定和小”，而“学生9”在“减元”后，需要添项凑积为常数，“学生8”的解题过程相对简单，运算量也较小.

教师：很好，同是“减元”，过程与运算量却有不同，因此，“减元”思想，需要根据目标与条件，合理“减元”，提高解题效率.

设计意图：通过简单的变式训练，突出基本不等式的工具性，促使学生在“做数学”的过程中始终处于积极的状态，巩固落实 “减元”“配凑”思想方法在解题过程中的运用，体验成功，增强自信心，进一步激发学生学习的积极性与主动性，形成独立思考和合作交流的好习惯.另外，通过解法的比较，培养学生能在同一个问题中选取合理的运算途径，优化解题过程，促进学生有效发展，提升逻辑推理、数学运算核心素养.

3.2.4 探究延伸，创新思维

教师：“百尺竿头，更进一步”，很多问题的解决不能一蹴而就，我们还需要进一步深入思考、探究、分析、解决.请大家再思考下一个例题.

教师：此题与例1及变式1、变式2在形式或结构上有什么不同？

众生：前面的条件与“目标”都是整式，而此题条件是整式，“目标”是分式.

教师：对，可否用一样的思想方法，用基本不等式求解呢？可以与同桌或小组成员一起交流、讨论、探究、分享.

(学生深入分析、思考、探究；教师关注学生动态，引导学生善于变通、合作学习，鼓励创新)

例如，观察注意到“学生12”尝试“减元”思想，由已知条件得到a=1-2b，代入目标式通分后，得到一个复杂的式子时，感到运算不下去，甚至束手无策.此时，教师应及时引导其与同桌进行交流、探讨，或帮助其克服困难，调整策略，注意运算细节等.

学生12(解法1)：因为a+2b=1，所以a=1-2b，

教师：非常好！这位同学选用了“减元”策略，不仅注意了运算细节，将目标式逐层恒等变形、转化，还利用“1”的代换，为运用基本不等式创设条件，顺利实现了解题目标.

教师：太棒了！这位同学能从式子的结构入手，方向明确，将条件中的“1”整体代换，转化倒数结构，大大地简化运算，缩短路径，提高解题质量.

教师：还有其它解法吗?

学生14：有.

教师：请说一下解题思路与过程，与大家分享.

教师：妙！这位同学通过变更主元，巧设变量，运用“换元”策略，“打包”处理，不仅起到了“减元”的作用，还缩短了解题路径.特别是在题设条件与所求结构联系不明朗时，可以合理假设新变元，让问题明朗化，达到化繁为简，化难为易的目的.

设计意图：“以学生的发展为本”，鼓励发现、探究，摆脱惯性，引导学生更深入思考、分析、解决问题，拓展学生思维；同时，培养学生独立思考问题、自主解决问题的能力和合作意识，以及勇于实践和善于创新的精神.

3.2.5 自主演练，超越自我

知识就像航船上的风帆，依靠它，你会航行得更远；知识就像雄鹰身上的翅膀，凭借它，你会飞得更高.面对挑战，勇于探索，超越自我.

通过以上学习，请完成以下练习：

设计意图：增加思维梯度，提高学生的模式识别能力，激发学生的潜能，实现超越和突破，培养学生自主探索、勇于挑战的能力.

3.3 总结反思，提炼升华

结合本节课，我们今天学到了什么？谈谈你是如何运用基本不等式求二元函数的最值.

设计意图：引导学生总结学习过程，让学生习得的数学思想方法更深刻、更明晰，培养学习的反思意识与习惯，促进学生思维的完善与发展.

3.4 检测反馈，达成目标

(1)已知x,y为正实数，且xy+2x+4y=41，则x+y的最小值为________.

答案：8

设计意图：为学生提供广阔的探索空间，加深知识的举一反三、融会贯通，培养学生的学习自觉性与终身学习的习惯.

4 教学后记

苏霍姆林斯基说：“如果教师不想办法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么这种知识只能使人产生冷漠的态度，而使不动感情的用力劳动带来疲劳.”课堂教学是一个双向的过程，是教师的教和学生学的统一，既要注重学生的主体性，也要发挥教师的主导作用.要想提高复习课的效率，就应想方设法最大限度地调动学生的积极性与主动性，让学生真正的参与到数学复习课的教学中来.才能真正提高数学复习课的有效性.