学选择 会思考
——以不同解题出发点为例
2022-05-07江苏张朋举
江苏 张朋举
在平时的作业、单元测验中，不少学生对于一些题目总缺乏探寻有效思路的路径，导致在遇到问题时，解题思路方向不明确；解题时如何选择？是学生必须思考和面对的问题；有研究表明，在数学解题学习中，学生的数学学习选择能力是影响数学解题成败的重要因素，二者有着较高的正相关，且相关性显著；然而，学生的数学学习选择能力的获得需要教师的引导.那么，高三的解题教学中如何发展学生的选择能力？笔者结合平时教学中的一些思考，以2021年高考试题为例，谈谈想法与同仁交流，如有不妥，还请斧正.
1.从已知条件出发，利用已有知识转化问题
G.波利亚《怎样解题》指出：寻求有用的思路，首先是应该知道从哪开始，然后能做什么，即寻找已知与过去所获基本知识间的联系；解题就是以“所有”去探寻“所无”.在“所有”之中，题目已知条件应是第一“所有”；将题目中的已知条件、潜在条件厘清，找出它们的来龙去脉，利用已有知识恰当转化条件，探索出已知或可知与结论之间的桥梁，是解题的第一环节.通常情况下，一道题目会存在多个已知条件，而且表征形式也不唯一，所以解题时，应先选择目标明确的已知条件入手，把它转化到某个既定方向，再使用其他已知条件，将其转化为离目标最接近的形式.
(1)求C的方程；
解：(1)省略；
评注：已知条件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”，是目标明确的已知条件，有多种表征方式；但不同的表征，繁简程度又不同，需学生再度选择；从对学生的访谈中得知，选择方法1的大部分同学都因计算量大而无功而返；实际上，若学生平时能养成多角度思考问题，不受题面的影响，想到引入直线参数方程(方法2)或利用曲线系(方法3)，可以很好的回避烦琐运算，而且利用曲线系方程，也很好的揭示了A，B，P，Q四点共圆这一隐藏背景.
2.从目标问题出发，将目标问题进行变更、转化
解题正是在问题的初始状态和目标状态之间进行比较、分析、消除差异，最终找到达到目标的最佳路径.有时题目已知条件信息较少，或仅有已知条件，抓不住解决问题的方向时，要善于从目标问题入手；基于目标意识解题，就是首先根据目标任务弄清“要什么”，清楚问题的特点，以此为起点逐步向后推，得到达到目标需要的条件，然后厘清“有什么” ，进而尝试缩小“有什么”和“要什么”之间的距离．“目标意识”和“正难则反”的思想也是解题者应该具备的基本数学素养.教师应多关注、培养学生目标解题意识；当学生遇到复杂问题，由条件到结论的常规解题思路受阻时，要主动引导学生选择从结论目标出发，进行变更、转化目标问题.
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解:(1)省略；
若a∈(0，1),h(x)>0，此时h(x)不可能有两个零点；
3.从思维方法联想出发，探寻基本问题的基本方法
基于已有的认知结构进行思维方法联想是寻求数学解题思路的有效策略之一. 正如数学家G.波利亚所说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．”数学解题很多时候是在新情境下去寻求未知的东西.有些题目综合性较强，梳理过已知条件和目标问题后，需要将新问题表征为自己所熟悉的老问题，联想基本方法，获得解决新问题的方法；不过，有时为了达到目的，不得不暂时扩大目标问题和初始状态的差异，所以为了更准确的解决新问题，还要对联想的方法进行比较、优化、选择.
【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函数f(x)=x(1-lnx)．
(1)讨论f(x)的单调性；
解：(1)省略；
即证2 方法1：构造对称函数，先证明2 设h(x)=f(x)-f(2-x)(0 所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以h(x1) 因为x2>1，且e-x1>1，f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以x2 又由f(x1)=f(x2)，即x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1,所以x1+x2 令h(x)=f(x)+x(0 视角知识与方法优点缺点构造对称函数构造函数h(x)=f(x)-f(-2x0-x),利用函数f(x)的单调性对称消元,通性通法对称化构造,思维量大比值换元利用x2x1=t,直接构造函数h(t)=ln(1+t)-tlntt-1,研究函数h(t)最值利用x2x1=t,构造函数m(x)=ln(x+1)-x(x>-1),研究m(x)的单调性,结合不等式基本性质齐次消元构造,易于入手,思维难度小计算烦琐,难处理不等式变形要求高对数平均不等式利用对数平均不等式计算量小不等式证明要求高直接构造函数构造函数g(x)=lnx-12x-1x(),h(x)=lnx+1x,利用函数g(x),h(x)的单调性构造的函数简单,减少了计算不易想到,技巧性强,思维难度大
4.结束语
