解决一道三角函数求值习题的发散思维过程探究

广东 严子尧

一题多解是多角度看问题的一种数学眼光，是数学发散思维的一种表现.在教学中学生经常会问：这么多的解法是如何想到的？为什么我就想不到呢？看似眼花缭乱，其实有迹可循.数学知识的产生、发展、应用的过程就像一条奔流不息的河流，在学习的过程中我们常常要伫立在一些关键点处顺流而下，或逆流而上，养成多个角度地、动态地、发展地思考同一个问题的思维习惯；同时，多学习某一个问题的多种解法，多反思与总结每一种解法的由来和依据.这样坚持下去，再附加一定程度的实战练习，一题多解的发散思维就能得到一定程度的提升.现结合一道教材上的习题，具体讲一讲如何从知识产生、发展、应用的过程中有序地、有条理地、有逻辑地捕捉到“一题多解”的灵感.

这是一道简单的三角函数求值习题，题设简洁，但是方法灵活多样.学生经常会问：多样的方法是如何想到的呢？多样的方法来自于多角度地看待一个问题，也来自于对与之相关的知识脉络的熟练掌握，更需要不断地反思与总结.

数学教学是一个环环相扣的过程，在教学中要注重知识的产生、发展、应用过程.在三角函数教学过程中要注重从定义出发，推出一系列公式，掌握公式变形的一些常见方法，得到三角函数的图象与性质，最后到实际应用.整个过程，只有环环相扣，才能步步为营，落地生根，进而从每个环节、每个知识点、每种方法中去捕捉“一题多解”的灵感.现结合这道习题，具体讲一讲如何从整个过程中逐步捕捉“一题多解”的灵感.

数学是玩概念的，从概念出发，因此从定义开始探索，是解题的基本思路，从底层思维去解决问题，一般情况下问题都是可以得到解决的.

方法一：定义法

点评：回归定义是解决问题的基本思路，但是本题运算量较大，在时间紧张的考场中不宜使用.

从定义出发往往得到一些相关的数学公式、定理、性质、运算法则、结论等，这是我们解题需要重点参考的依据,而三角函数公式多，变形多样，这就为多样运算提供可能.在教学中，需要老师引导学生按照知识产生的顺序梳理相关公式，首先由定义得到同角的基本关系，然后得到和差角公式，进一步特殊化得到二倍角公式，进一步得到半角公式，二倍角公式与同角的基本关系联合得到重要恒等式，由二倍角公式经过齐次化得到万能公式，最后有一个“二化一”的辅助角公式.定义法之后，就得到了同角的基本关系.题设中的条件正好就是同角的正余弦关系，如果把sinα，cosα看做两个变量，想要解出这两个变量，只需再找一个相关的方程即可，自然想到平方和等于1的关系.

方法二：方程思想

点评：关注到条件中的同角，联想同角的基本关系，从方程的角度去求解正弦值，最后依次展开问题得到二倍角，由一倍角求二倍角自然想到二倍角公式，思路清晰简洁，运算量适中，不失为一种好方法.

沿着上述知识产生的脉络，应考虑二倍角公式.但是条件中给的是一倍角，求的确是二倍角，自然想到能够沟通起两者的重要恒等式.

方法三：重要恒等式

点评：(sinα±cosα)2=1±sin2α这个重要恒等式本质是建立了sinα-cosα，sinα+cosα，sin2α三者间的等量关系，这三个变量是已知其中一个可以求出另外两个.而这个恒等式正好将题目中的条件与问题建立联系，但是在求cos2α时需要根据角度的象限确定符号，运算过程稍显复杂，但仍能接受.

既然sinα-cosα，sinα+cosα，sin2α这三个变量是已知其中一个可以求出另外两个，那么自然可由条件中的sinα-cosα求出sin2α，也可求出sinα+cosα，所以就产生对偶式的想法.

方法四：构造对偶式

又0≤α≤π，故舍去；

点评：对偶式是基于对重要恒等式的深刻理解，而这首先需要用方程思想去看待公式的联立，整个运算过程较简洁.

顺游而下，到了万能公式，这里需要深刻理解万能公式的推导方法——齐次化.题目中的条件是关于弦，问题也是关于弦，如果能弦化切，就能先求出正切.求出正切再联想与正切相关的公式有哪些，很自然地想到同角的基本关系.

方法五：弦化切

点评：弦化切是齐次化的一种具体表现而已，我们应回到齐次化这种重要方法上，后续在解三角形、函数、解析几何中也经常使用.整个运算稍显反复，需要两次弦化切，但不失为一种好方法.

走到最后，还可以应用辅助角公式，定睛一看条件，正好符合辅助角公式的特征，使用之后得到的仍然是一倍角，求的却是二倍角.

方法六：辅助角公式

点评：每个公式都有一些结构上的特征，就像每个人都有各自鲜明的个性.在教学中，除了推导公式，抓住公式的典型特征是联想公式的重要线索.除此之外，还需要掌握拼凑角的技巧和缩小角的取值范围的技巧.

走到这里，似乎路已经走到了尽头.的确，当我们从整个过程中的每个环节去思考方法时，总能找到解决问题的不同方法.但是，数学是没有尽头的，当我们跳出高中三角函数的范围去重新审视这道三角函数问题时，我们不要忘记初中的方法.题目中无非是角度的变化和三角函数名称的变化罢了，我们不妨先作出这几个角度，再找它们的三角函数，自然就想到了作图.

方法七：构造图形

点评：三角函数集数形于一身，在代数上有一系列公式可以使用，在几何上我们可以考虑作图处理，这种作图法巧妙构思，需多费心思.