基于欧进萍谱的非黏滞结构随机响应的封闭解

2022-05-07徐长春冯超彭俚葛新广杨海峰

广西大学学报（自然科学版） 2022年1期

徐长春,冯超,彭俚,葛新广,杨海峰

(1.广西华蓝工程管理有限公司, 广西南宁 530012；2.中国移动通信集团广西有限公司, 广西南宁 530028；3.广西科技大学土木建筑学院, 广西柳州 545006；4.广西大学土木建筑工程学院, 广西南宁 530004)

0 引言

众所周知，强烈地震是一种严重的自然灾害，地震作用造成巨大的经济损失和人员伤亡，因此防震减灾一直是建筑工程师的追求[1-3]。在振动领域，阻尼是用来描述质点振动过程中能量耗散的关键参数，鉴于阻尼的复杂性，工程界提出了各种阻尼模型，其中应用最广泛的是黏滞阻尼模型，黏滞阻尼模型的阻尼与速度成正比，而实际上很多耗能过程的阻尼力与其变化率的历程有关，称之为非黏滞阻尼模型。Biot[4]提出了考虑滞后效应的阻尼模型，即阻尼力与质点速度的历程有关，在数学形式上表现为质点振动速度同某一核函数的卷积。Liu[5-6]研究了时程激励下的指数型核函数型非黏滞阻尼结构的动力响应，指出非黏滞阻尼特征是许多工程结构地震中的耗能形式。段忠东等[7]研究了非黏滞阻尼模型的阻尼系数识别，表明了非黏滞阻尼模型在描述结构耗能更具有一般性。Shen[8]提出了针对非黏滞阻尼结构的地震动时程激励下直接积分的简化方法，主要针对时程激励下的动力响应进行分析。

大量的地震动观测资料研究表明地震动具有显著的随机性，且异常复杂，为此提出了多种随机地震动模型[9-11]。欧进萍等[12]提出的激励模型能考虑场地的动力特征对地震动的影响，被广泛地应用工程实践中。目前基于欧进萍谱激励下的结构地震动响应表达式较为复杂，不利于工程应用，故研究基于欧进萍谱激励下非黏滞阻尼结构的地震动响应，具有重要的工程应用价值。

研究结构随机地震动响应的方法有频域法和时域法[13-14]，2种方法各有特色。在频域法中，虚拟激励法[14]和传递函数法[15]为其主要方法，但结构抗震设计需要获得结构地震动响应的方差，上述方法分析方差或者0-2阶谱矩时需要对结构响应的功率谱采用数值积分，存在积分精度和效率的问题。在时域法中，复模态法[13]是其典型方法，其将任意形式的线性振动体系进行复模态解耦，将动力响应的协方差表示成脉冲函数与激励协方差的二重积分，因此该方法应用的前提激励要有协方差。目前基于时域法的随机地震动响应表达式均较为复杂，不利于工程应用。葛新广等[16-18]基于Kanai-Tajimi谱的滤波方程利用复模态方法提出了建筑结构系列响应谱矩和方差的简明封闭解，开启了随机地震动响应分析的新解法。

针对以上非黏滞阻尼结构地震动响应研究的不足，本文依据文献[16-18]所提方法，对指数型核函数的非黏滞阻尼结构基于欧进萍谱随机地震动响应的简明封闭解进行了研究。首先，将指数型非黏滞阻尼结构积分型的本构关系转换成等效的微分型本构关系；其次，利用欧进萍谱的滤波振动方程将复杂的地面运动精确地表示成基于白噪声的随机地震动；然后联立地震动的滤波振动方程及微分型的非黏滞阻尼本构关系，获得结构地震动基于白噪声激励的全微分方程组，并运用复模态法进行解耦，从而获得结构协方差、方差、功率谱、0-2阶谱矩的简明封闭解。

1 基于欧进萍谱非黏滞阻尼结构地震动方程重构

对于单自由度非黏滞阻尼结构，在欧进萍谱地震动作用下的运动方程为

(1)

(2)

其中，c为阻尼常数，n为阻尼作用激励下松弛因子的数量，αi为松弛因子。

(3)

并对式(3)求导可得

(4)

欧进萍谱滤波方程描述如下：

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

将式(2)至式(5)联立，式(1)用矩阵形式表示为

(6)

(7)

式中：o为元素为0的n×1阶向量；E为n阶单位对角阵；I为元素为1的n×1阶向量；A=[-cαi]n×1；矩阵B=diag[αi]，i的取值范围为1～n。

2 复模态解耦

根据复模态理论[13,16-18]，存在特征值矩阵P、右特征向量矩阵U和左特征向量矩阵V，式(6)进行复模态解耦，即存在：

(8)

式中P为对角阵；“T”表示向量的转置。

引入复模态变换

y=Uz，

(9)

式中z为复模态变量。

将式(9)代入式(6)，并在其前左乘VT得

(10)

由式(8)可知，式(10)可改写为

(11)

式中，η=(VTMU)-1·(VTr)。

由于P为对角矩阵，因此由哈梅积分可得，式(11)的分量为

(12)

式中zi、ηi分别为z、η的分量。

由式(7)、(9)及(12)，则结构相对于地面的位移及速度可分别表示为

(13)

(14)

式中：ui为右特征向量矩阵U的第i行向量；响应的模态强度系数λi,j为

λi,j=ui,j·ηj，

(15)

式中ui,j为右特征向量矩阵U第i行第j列的元素。

3 结构响应的协方差、方差及功率谱分析

为了简化行文，由式(13)、(14)可得，结构的相对地面位移、相对地面速度可统一表示为

(16)

由式(16)可得结构的响应分量为

(17)

式中，结构的相对地面位移的模态强度系数μi=λ3,j；结构的相对地面速度的模态强度系数μi=λ1,j；τ为时间差。

结构响应的协方差为

(18)

由式(18)可得结构响应分量的协方差为

(19)

由相关函数与协方差的关系，式(19)可改写为

(20)

式中u、v为积分变量。

CW(τ)=2πS0δ(τ)，

(21)

式中：S0为地震动强度常数；δ(τ)为Dirac函数。

将式(21)代入式(20)得

(22)

利用Dirac函数的性质，式(22)化为一重积分：

(23)

对式(23)积分得

(24)

由式(18)、(24)，单自由度非黏滞结构基于欧进萍随机激励下的响应表达式为

(25)

令

(26)

式(25)可表示为

(27)

由式(27)可知，结构响应的协方差化为结构振动特征值指数函数的线性组合，表达式简洁明了。当τ=0时，结构响应的协方差为结构响应的均方差，即

(28)

式(28)表示结构响应方差，可表示为结构振动特征值指数函数的线性组合。

由Wiener-Khinchin关系[13]，结构响应的单边功率谱SY(ω)为

(29)

将式(27)代入式(29)得

(30)

由式(16)、(28)、(30)可知，本文所获得的结构基于欧进萍谱激励下的相对于地面位移及速度的方差和功率谱的表达式为简明封闭解，简洁明了。

4 结构响应的0-2阶谱矩分析

由随机振动理论，结构响应Y(t)的i阶谱矩βi可表示为

(31)

将式(30)带入式(31)，并令i=0，则结构响应的0阶谱矩可表示为

(32)

对式(32)积分可得

(33)

平稳激励下的结构响应Yn的0阶谱矩β0，通过比较式(33)及式(28)，两式完全相同，说明了本文方法计算0阶谱矩的正确性。由随机振动理论[12]可得，结构响应速度的0阶谱矩等于其位移的2阶谱矩,即

(34)

由谱矩的定义可得，1阶谱矩β1可表示为

(35)

对式(35)进行积分得

(36)

(37)

由式(33)、(34)、(37)可知，本文所获得的结构基于欧进萍激励下的相对于地面位移的0-2阶谱矩均有闭式解，表达式简洁明了。

5 算例

某单层的非黏滞阻尼的钢筋混凝土框架结构，场地抗震设防烈度为7度，场地土为Ⅱ类，结构质量m=1.6×105kg，刚度k=2.8×106N/m，阻尼比ξ=0.05。非黏滞阻尼核函数采用双指数形式G(t)=c(α1e-α1t+α2e-α2t)，其非黏滞阻尼参数c=1.48×106N·s/m，α1=125 s-1，α2=250 s-1。采用欧进萍谱作为随机地震动激励[12]，场地土的阻尼比ξg=0.72，卓越频率ωg=15.71 rad/s，其功率谱强度系数S0=31.76×10-4m2/s3，基岩谱参数ωh=8 πrad/s。

5.1 地面加速度的功率谱对比分析

地面加速度可由式(4)、(5)、(7)、(16)联立可得

(38)

按本文方法，地面加速度模态强度系数ki见表1。

表1 地面加速度模态强度系数ki表Tab.1 Modal intensity coefficients of ground

本文方法中，基于欧进萍谱的地面绝对加速度激励功率谱，由式(30)、(38)可得

(39)

传统方法中，基于欧进萍谱的地面绝对加速度激励功率谱其表达式为

(40)

本文方法与传统方法的地面加速度功率谱对比图如图1所示，对比区间取[0 40]，间距为1 rad/s。由图可以看出，两者完全重合，说明本文方法分析功率谱的正确性。

图1 地面加速度功率谱对比图Fig.1 Power spectrum comparison of ground acceleration

图2 结构位移功率谱对比图Fig.2 Comparison of PDF of structural displacement

5.2 地面位移功率谱对比分析如下：

本文方法中，基于欧进萍谱的单自由度结构的相对于地面的位移功率谱，由式(30)得

(41)

在传统方法中，系统的幅频特性及其基于欧进萍谱的单自由度结构的相对于地面的位移功率谱其表达式分别为

(42)

本文方法与传统方法的结构位移功率谱对比图如图2所示。由图中可以看出两者完全吻合，对比区间取[0 40]，间距1 rad/s，说明本文方法计算结构响应功率谱密度函数的正确性，且精度较好。本文方法为式(41)，相对传统方法式(42)更为简洁明了。

5.3 计算效率及精度对比分析

传统方法有虚拟激励法，其在计算功率谱时有简明的关系，为此本文仅与虚拟激励法比较：

根据虚拟激励法，结构响应及0-2阶谱矩时的计算如下：

(43a)

(43b)

(43c)

上述响应值，采用数值方法在[0 +∞]进行求解，是无法实现的，由图2可知，随着频率ω的增大，功率谱有越来越小的特点。本算例，积分区间取[0 200]rad/s，积分步长取3种情况来对比验证虚拟激励法精度问题：①积分步长为1.0 rad/s;②积分步长为0.5 rad/s；③积分步长为0.1 rad/s。2种方法的0-2阶谱矩精度对比见表2，2种方法的0-2阶谱矩计算耗时对比见表3。