如何把握小学数学中的“再认识”

摘要：小学数学中，从小数的初步认识到小数的再认识，是从显性知识到本质属性的认识，是一个由表及里的过程;从分数的初步认识到分数的再认识，是从“分割者”（量）到“比较者”（率）的认识，是一个由一至二的过程;从平均数的初步认识到平均数的再认识，是从长处到短处的认识，是一个由正到反的过程。讨论这三个“再认识”，除了帮助一线教师在教学实践中精准把握课时教学目标之外，對学生认识深刻性、完整性、全面性的提升也是十分有意义的。

关键词：小学数学;小数;分数;平均数

在小学数学中，有三个“再认识”：“小数的再认识”“分数的再认识”“平均数的再认识”。所谓“再认识”，是相对于“初步认识”而言的。对“初步认识”与“再认识”的区别与界限，教师普遍觉得较难把握，教材也交代得不够明确，已有的教学实践及研究又各有言说，这导致了一些困惑。对此，笔者想提一些自己的想法，求教于方家。

一、小数的初步认识与再认识：由表及里

（一）小数的初步认识：显性知识

小数的初步认识，主要是认识小数的读法、写法、各部分名称、大小比较。这些认识都放在“元、角、分”或“米、分米、厘米”的语境里进行，并在这个语境里体会人类在度量中采用的两种策略：（1）数不变，通过对单位的规定完成度量。如，不足1米，规定分米，得1分米;不足1分米，规定厘米，得1厘米……依此策略，用整数便可以完成对所有对象的度量。（2）单位不变，通过对数的规定完成度量。如，不足1米，规定一个比1小的数，得0.1米;不足0.1米，规定一个比0.1小的数，得0.01米……第一种策略给数学带来了复名数，如1米5分米;第二种策略给数学带来了单名数，如1.5米。这样就有了复名数与单名数之间的互化。这种互化，实质是两种问题解决策略之间的“穿越”。这些都是显性的知识。

（二）小数的再认识：本质属性

小数的再认识，主要是认识小数的本质属性。小数本质上不是一类数，而只是分母为整十、整百、整千等的分数。所以，教材中会强调十分之几是一位小数，百分之几是两位小数……因此，教学的关键是让学生认识到，小数是分数的一种方便形式，当分数写成小数后，便以十进制为基础，与整数一起形成了一个左右均可无限延伸的数位顺序表。

那么，如何让学生自然地体会到小数其实就是分数呢？

在教学实践中，教师经常会通过这样一个环节来帮助学生完成小数是分数的认识：以“0.1”为材料，出示任务“用不同的分数表示0.1”。由此，学生会画出各种图案，包括图1，来说明一位小数是十分之几的分数。

事实上，学生只有知道一位小数是十分之几的分数，才能画出图1。换句话说，如果他们不知道一位小数是十分之几的分数，是画不出图1的。因此，利用图1来让学生明白一位小数是十分之几的分数，这个过程仔细思考是不合逻辑的。

那么，应该怎么做呢？笔者是这样设计的：

以图2为材料，先阐述基本事实：“我们知道，世界上的物可分为完整的和不完整的。完整的物的数量属性可用整数来表示，不完整的（碎的）物的数量属性可用分数来表示。”然后，让学生思考讨论问题1：小数是用来表示完整的物的，还是不完整的物的？得到结论：小数也是用来表示不完整的物的。接着，让学生思考讨论问题2：如果小数也是用来表示不完整的物的，那么，小数与分数之间存在怎样的关系呢？得到结论：十分之几为一位小数，百分之几为两位小数……由此，学生自然地认识到小数作为分数特殊形式的分数属性。

综上，从小数的初步认识到小数的再认识，是从显性知识到本质属性的认识，是一个由表及里（由浅入深）的过程。

二、分数的初步认识与再认识：由一至二

分数有两层意思：“量”的意思是一个对象数量的多少，“率”的意思是两个（或多个）对象数量之间的关系。对于用数来表示一个量的多少与两个量之间的关系，学生在整数的认识中其实已经有所体会，比如，2可以表示2个，也可以表示2倍。这种体会可以作为学生在分数的认识中体会“量”与“率”的基础。

（一）分数的初步认识：分数表示“量”

整数对应着完整的物的数量属性，分数对应着不完整的物的数量属性，而不完整的物都是由一个完整的物分解而来的。因此，分数除了表示所对应的不完整的物的多少外，还表示这个不完整的物是怎么得到的。也就是说，分数具有两个表示意义：获得的过程与获得的结果。从一个完整的物中获得不完整的物的过程，都是在一个对象的情况下完成的。因此，分数的初步认识涉及的内容主要包括：分数的读法、写法、各部分名称、大小比较;用分数表示不完整的物的多少（结果）;用分数记录不完整的物是如何获得的（过程）。

为了引导学生完成以上学习任务，可以设计几个基本的教学环节：（1）分数的必要性。以表1为材料，提出问题：对于不完整的物，整数没有办法表示了，怎么办？让学生讨论。（2）分数表示过程。以表1中的半圆（半个饼）为材料，提出问题：半个饼是怎么得到的？让学生通过讨论，得到如图3所示的结论。（3）分数表示结果。以表2为材料，提出问题：如何确定分母？如何确定分子？分数的大小由什么决定？让学生通过讨论，得到结论：物越小，分母越大，分数越小。

类别物生活语言数字表示完整一个1不完整半个？小半个？

物生活语言数字表示半个12小半个131416在形成对分数的初步认识之后，学生可以在“量”的支撑中理解与掌握分数大小比较与简单分数加减法。

（二）分数的再认识：分数表示“率”

“率”的理解，一般要从两个独立量之间的关系入手，再到部分量与总量之间的关系。这样立序的原因有两个：（1）倍的认识是从两个独立量之间的关系开始的，率的认识对接倍的认识是十分顺畅的。（2）在分数的初步认识中，量的建立是从整体分割开始的，如果率的理解直接从部分量与总量之间的关系开始，两者容易纠缠不清。此外，两个独立量的比较，形成的是以谁为标准且将标准视为“一个整体”的认识;部分量与总量的比较，只有在建立“一个整体”的观念，实现从“一个饼”到“一个整体”的认知跨越之后，才能更好地理解总量，完成比较。

确定这个顺序之后，分数的再认识的教学可以按照如下两个环节展开：

第一个环节：从两个独立量之间的关系认识12。以下页图4为材料，引导学生复习倍的认识，得到：把李子的个数看成一个单位（作为标准），苹果和李子比，有2个这样的单位，我们就说苹果是李子的2倍。然后，提出问题：现在把苹果的个数看成一个单位（作为标准），李子和苹果比，是苹果的多少？如果学生说出“一半”，则可以追问：一半用数来表示是多少？通过对图4的圈画、分割操作，引导学生得到结论：把苹果的个数看成一个单位，平均分成两份，一份是李子，因此李子是苹果的12。最后，以下页图5为材料，提出问题：苹果和李子之间的关系可以怎么描述？引导学生得到结论：苹果是李子的3倍，李是苹果的13。

第二个环节：从部分量与总量之间的关系认识12。依次出示图6—图8，让学生完成填空：苹果有（）个，取走（）个，取走部分占全部的（）。根据学生反馈，整理得到表3。然后，提出问题：取走12个与取走部分占全部的12，这两个12有什么不同？引导学生得到结论：前一个12对应着半个苹果，表示一个量的大小;后一个12可能对应着两个、一个或半个苹果，表示两个量（独立量或部分量与总量）之间的关系。

综上，从分数的初步认识到分数的再认识，是从“分割者”（量）到“比较者”（率）的认识，是一个由一至二（一个一个，避免混淆）的过程。

平均数是代表一组数水平的统计量。在小学生的认识发展中，选择一个数来代表水平是自然而然发生的。其过程可以描述为以下几个阶段：（1）面对事实“A为9，B为8”，作出“9大于8，A的水平比B高（数代表水平）”的判断。（2）面对事实“A包括9、10、11，B包括7、12、10”，作出“9+10+11比7+12+10多，A的水平比B高（和代表水平）”的判断。（3）面对事实“A包括9、10、11，B包括7、12、10、13”，作出“A的平均数为10，B的平均数为105，B的水平比A高（平均数代表水平）”的判断……简而言之，当“数”不能代表水平时，我们引用了“和”;当“和”不能代表水平时，我们引用了“平均数”;当“平均数”不能代表水平时，我们引用了“众数”“中位数”……因此，平均数的认识与再认识，对应着平均数代表水平这件事的“能”与“不能”。

首先，平均数的初步认识涉及的内容主要包括：平均数作为一个统计量，是能代表一组数的水平的。具体教学过程在笔者所著的《种子课2.0——如何教对数学课》一书中已有详细阐述，这里不再展开。

其次，平均数的再认识涉及的内容主要包括：平均数代表一组数水平的局限性。为此，可以设计如下基本的教学环节：（1）复习平均数代表一组数的水平。出示材料“A包括6、7、8，B包括7、10、6、9”，提出问题：A、B谁的水平高？学生通过计算（6+7+8）÷3=7，（7+10+6+9）÷4=8，得出结论：8>7，B的水平高。（2）质疑：平均数真的代表一组数的水平吗？出示材料“A包括6、6、5，B包括2、2、4、16”，提出问题：A、B谁的水平高？学生通过计算（6+6+5）÷3≈5.67，（2+2+4+16）÷4=6，得到结论：6>5.67，B的水平高。教师启发学生生疑：B中的数普遍比A中的小，之所以平均数大，是因为有一个比其他数大得多的“异常”或者说“极端”的数16，那么，由平均数真的能够得到B的水平比A高的结论吗？进而展开讨论。（3）对平均数做修正。引导学生通过“去掉极端数”和“引进新的统计量（如众数、中位数）”两种策略，修正平均数的局限性。

总之，统计量的创设是为了解决问题，每一个统计量在用于解决问题的过程中，有其所长，也有其所短。因为有所长，所以要创设它;因为有所短，所以要改善它（包括引进新的统计量）。这是十分重要的数学認识过程。由此可见，从平均数的初步认识到平均数的再认识，是从长处到短处的认识，是一个由正到反的过程。

四、反思三个“再认识”：关注育人价值

为什么要有“再认识”？“再认识”一定是基于“初步认识”没有达成的目标而设置的进一步认识。

为什么小学数学中的“再认识”只有小数、分数和平均数？因为有的概念一次便认识到位了，而小数、分数、平均数的内涵比较丰厚，对其的认识一节课无法完成，便安排了“再认识”。实际上，小学数学中认识最久的应该是整数，即整数可不只是“再认识”而已。

讨论上述三个“再认识”的意义是什么？主要有两个：（1）帮助一线教师在教学实践中精准把握课时教学目标，避免将“初步认识”与“再认识”混成一锅粥，什么都讲了，什么都没讲好。（2）带领学生认真完成这三个“再认识”，对学生认识能力的提升是十分有意义的。这三个“再认识”代表了人类认识世界的三种基本样式：由表及里，有了认识的深刻性;由一至二，有了认识的完整性;由正到反，有了认识的全面性。带领学生经历这样三个认识过程，学生的心智成长就会受到重要影响：因为深刻，所以不会浅尝辄止;因为完整，所以不会目光短浅;因为全面，所以不会以偏概全。

因为以上思考，愈发感觉到数学之美丽、数学教师之重要。学生的培养不是挂在嘴上的口号，而是上好一节一节课的功夫。

参考文献：

[1] 俞正强.种子课20——如何教对数学课[M].北京：教育科学出版社，2020.