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如何把握小学数学中的“再认识”

2022-05-07俞正强

关键词:再认识平均数小数

摘要:小学数学中,从小数的初步认识到小数的再认识,是从显性知识到本质属性的认识,是一个由表及里的过程;从分数的初步认识到分数的再认识,是从“分割者”(量)到“比较者”(率)的认识,是一个由一至二的过程;从平均数的初步认识到平均数的再认识,是从长处到短处的认识,是一个由正到反的过程。讨论这三个“再认识”,除了帮助一线教师在教学实践中精准把握课时教学目标之外,對学生认识深刻性、完整性、全面性的提升也是十分有意义的。

关键词:小学数学;小数;分数;平均数

在小学数学中,有三个“再认识”:“小数的再认识”“分数的再认识”“平均数的再认识”。所谓“再认识”,是相对于“初步认识”而言的。对“初步认识”与“再认识”的区别与界限,教师普遍觉得较难把握,教材也交代得不够明确,已有的教学实践及研究又各有言说,这导致了一些困惑。对此,笔者想提一些自己的想法,求教于方家。

一、小数的初步认识与再认识:由表及里

(一)小数的初步认识:显性知识

小数的初步认识,主要是认识小数的读法、写法、各部分名称、大小比较。这些认识都放在“元、角、分”或“米、分米、厘米”的语境里进行,并在这个语境里体会人类在度量中采用的两种策略:(1)数不变,通过对单位的规定完成度量。如,不足1米,规定分米,得1分米;不足1分米,规定厘米,得1厘米……依此策略,用整数便可以完成对所有对象的度量。(2)单位不变,通过对数的规定完成度量。如,不足1米,规定一个比1小的数,得0.1米;不足0.1米,规定一个比0.1小的数,得0.01米……第一种策略给数学带来了复名数,如1米5分米;第二种策略给数学带来了单名数,如1.5米。这样就有了复名数与单名数之间的互化。这种互化,实质是两种问题解决策略之间的“穿越”。这些都是显性的知识。

(二)小数的再认识:本质属性

小数的再认识,主要是认识小数的本质属性。小数本质上不是一类数,而只是分母为整十、整百、整千等的分数。所以,教材中会强调十分之几是一位小数,百分之几是两位小数……因此,教学的关键是让学生认识到,小数是分数的一种方便形式,当分数写成小数后,便以十进制为基础,与整数一起形成了一个左右均可无限延伸的数位顺序表。

那么,如何让学生自然地体会到小数其实就是分数呢?

在教学实践中,教师经常会通过这样一个环节来帮助学生完成小数是分数的认识:以“0.1”为材料,出示任务“用不同的分数表示0.1”。由此,学生会画出各种图案,包括图1,来说明一位小数是十分之几的分数。

事实上,学生只有知道一位小数是十分之几的分数,才能画出图1。换句话说,如果他们不知道一位小数是十分之几的分数,是画不出图1的。因此,利用图1来让学生明白一位小数是十分之几的分数,这个过程仔细思考是不合逻辑的。

那么,应该怎么做呢?笔者是这样设计的:

以图2为材料,先阐述基本事实:“我们知道,世界上的物可分为完整的和不完整的。完整的物的数量属性可用整数来表示,不完整的(碎的)物的数量属性可用分数来表示。”然后,让学生思考讨论问题1:小数是用来表示完整的物的,还是不完整的物的?得到结论:小数也是用来表示不完整的物的。接着,让学生思考讨论问题2:如果小数也是用来表示不完整的物的,那么,小数与分数之间存在怎样的关系呢?得到结论:十分之几为一位小数,百分之几为两位小数……由此,学生自然地认识到小数作为分数特殊形式的分数属性。

综上,从小数的初步认识到小数的再认识,是从显性知识到本质属性的认识,是一个由表及里(由浅入深)的过程。

二、分数的初步认识与再认识:由一至二

分数有两层意思:“量”的意思是一个对象数量的多少,“率”的意思是两个(或多个)对象数量之间的关系。对于用数来表示一个量的多少与两个量之间的关系,学生在整数的认识中其实已经有所体会,比如,2可以表示2个,也可以表示2倍。这种体会可以作为学生在分数的认识中体会“量”与“率”的基础。

(一)分数的初步认识:分数表示“量”

整数对应着完整的物的数量属性,分数对应着不完整的物的数量属性,而不完整的物都是由一个完整的物分解而来的。因此,分数除了表示所对应的不完整的物的多少外,还表示这个不完整的物是怎么得到的。也就是说,分数具有两个表示意义:获得的过程与获得的结果。从一个完整的物中获得不完整的物的过程,都是在一个对象的情况下完成的。因此,分数的初步认识涉及的内容主要包括:分数的读法、写法、各部分名称、大小比较;用分数表示不完整的物的多少(结果);用分数记录不完整的物是如何获得的(过程)。

为了引导学生完成以上学习任务,可以设计几个基本的教学环节:(1)分数的必要性。以表1为材料,提出问题:对于不完整的物,整数没有办法表示了,怎么办?让学生讨论。(2)分数表示过程。以表1中的半圆(半个饼)为材料,提出问题:半个饼是怎么得到的?让学生通过讨论,得到如图3所示的结论。(3)分数表示结果。以表2为材料,提出问题:如何确定分母?如何确定分子?分数的大小由什么决定?让学生通过讨论,得到结论:物越小,分母越大,分数越小。

类别物生活语言数字表示完整一个1不完整半个?小半个?

物生活语言数字表示半个12小半个131416在形成对分数的初步认识之后,学生可以在“量”的支撑中理解与掌握分数大小比较与简单分数加减法。

(二)分数的再认识:分数表示“率”

“率”的理解,一般要从两个独立量之间的关系入手,再到部分量与总量之间的关系。这样立序的原因有两个:(1)倍的认识是从两个独立量之间的关系开始的,率的认识对接倍的认识是十分顺畅的。(2)在分数的初步认识中,量的建立是从整体分割开始的,如果率的理解直接从部分量与总量之间的关系开始,两者容易纠缠不清。此外,两个独立量的比较,形成的是以谁为标准且将标准视为“一个整体”的认识;部分量与总量的比较,只有在建立“一个整体”的观念,实现从“一个饼”到“一个整体”的认知跨越之后,才能更好地理解总量,完成比较。

确定这个顺序之后,分数的再认识的教学可以按照如下两个环节展开:

第一个环节:从两个独立量之间的关系认识12。以下页图4为材料,引导学生复习倍的认识,得到:把李子的个数看成一个单位(作为标准),苹果和李子比,有2个这样的单位,我们就说苹果是李子的2倍。然后,提出问题:现在把苹果的个数看成一个单位(作为标准),李子和苹果比,是苹果的多少?如果学生说出“一半”,则可以追问:一半用数来表示是多少?通过对图4的圈画、分割操作,引导学生得到结论:把苹果的个数看成一个单位,平均分成两份,一份是李子,因此李子是苹果的12。最后,以下页图5为材料,提出问题:苹果和李子之间的关系可以怎么描述?引导学生得到结论:苹果是李子的3倍,李是苹果的13。

第二个环节:从部分量与总量之间的关系认识12。依次出示图6—图8,让学生完成填空:苹果有()个,取走()个,取走部分占全部的()。根据学生反馈,整理得到表3。然后,提出问题:取走12个与取走部分占全部的12,这两个12有什么不同?引导学生得到结论:前一个12对应着半个苹果,表示一个量的大小;后一个12可能对应着两个、一个或半个苹果,表示两个量(独立量或部分量与总量)之间的关系。

综上,从分数的初步认识到分数的再认识,是从“分割者”(量)到“比较者”(率)的认识,是一个由一至二(一个一个,避免混淆)的过程。

平均数是代表一组数水平的统计量。在小学生的认识发展中,选择一个数来代表水平是自然而然发生的。其过程可以描述为以下几个阶段:(1)面对事实“A为9,B为8”,作出“9大于8,A的水平比B高(数代表水平)”的判断。(2)面对事实“A包括9、10、11,B包括7、12、10”,作出“9+10+11比7+12+10多,A的水平比B高(和代表水平)”的判断。(3)面对事实“A包括9、10、11,B包括7、12、10、13”,作出“A的平均数为10,B的平均数为105,B的水平比A高(平均数代表水平)”的判断……简而言之,当“数”不能代表水平时,我们引用了“和”;当“和”不能代表水平时,我们引用了“平均数”;当“平均数”不能代表水平时,我们引用了“众数”“中位数”……因此,平均数的认识与再认识,对应着平均数代表水平这件事的“能”与“不能”。

首先,平均数的初步认识涉及的内容主要包括:平均数作为一个统计量,是能代表一组数的水平的。具体教学过程在笔者所著的《种子课2.0——如何教对数学课》一书中已有详细阐述,这里不再展开。

其次,平均数的再认识涉及的内容主要包括:平均数代表一组数水平的局限性。为此,可以设计如下基本的教学环节:(1)复习平均数代表一组数的水平。出示材料“A包括6、7、8,B包括7、10、6、9”,提出问题:A、B谁的水平高?学生通过计算(6+7+8)÷3=7,(7+10+6+9)÷4=8,得出结论:8>7,B的水平高。(2)质疑:平均数真的代表一组数的水平吗?出示材料“A包括6、6、5,B包括2、2、4、16”,提出问题:A、B谁的水平高?学生通过计算(6+6+5)÷3≈5.67,(2+2+4+16)÷4=6,得到结论:6>5.67,B的水平高。教师启发学生生疑:B中的数普遍比A中的小,之所以平均数大,是因为有一个比其他数大得多的“异常”或者说“极端”的数16,那么,由平均数真的能够得到B的水平比A高的结论吗?进而展开讨论。(3)对平均数做修正。引导学生通过“去掉极端数”和“引进新的统计量(如众数、中位数)”两种策略,修正平均数的局限性。

总之,统计量的创设是为了解决问题,每一个统计量在用于解决问题的过程中,有其所长,也有其所短。因为有所长,所以要创设它;因为有所短,所以要改善它(包括引进新的统计量)。这是十分重要的数学認识过程。由此可见,从平均数的初步认识到平均数的再认识,是从长处到短处的认识,是一个由正到反的过程。

四、反思三个“再认识”:关注育人价值

为什么要有“再认识”?“再认识”一定是基于“初步认识”没有达成的目标而设置的进一步认识。

为什么小学数学中的“再认识”只有小数、分数和平均数?因为有的概念一次便认识到位了,而小数、分数、平均数的内涵比较丰厚,对其的认识一节课无法完成,便安排了“再认识”。实际上,小学数学中认识最久的应该是整数,即整数可不只是“再认识”而已。

讨论上述三个“再认识”的意义是什么?主要有两个:(1)帮助一线教师在教学实践中精准把握课时教学目标,避免将“初步认识”与“再认识”混成一锅粥,什么都讲了,什么都没讲好。(2)带领学生认真完成这三个“再认识”,对学生认识能力的提升是十分有意义的。这三个“再认识”代表了人类认识世界的三种基本样式:由表及里,有了认识的深刻性;由一至二,有了认识的完整性;由正到反,有了认识的全面性。带领学生经历这样三个认识过程,学生的心智成长就会受到重要影响:因为深刻,所以不会浅尝辄止;因为完整,所以不会目光短浅;因为全面,所以不会以偏概全。

因为以上思考,愈发感觉到数学之美丽、数学教师之重要。学生的培养不是挂在嘴上的口号,而是上好一节一节课的功夫。

参考文献:

[1] 俞正强.种子课20——如何教对数学课[M].北京:教育科学出版社,2020.

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