从度量的视角再认分数

王玉洁 魏光明

摘要：真分数和假分数是分数的下位概念，认识、理解真分数和假分数要回到分数的意義，回到分数产生的背景中去。《真分数和假分数》一课，立足整体，设计长程教学，引导学生借助认知迁移来建构新知识，扩充和完善认知结构;利用图式，建构并理解真分数和假分数这两个新的概念;基于学情，突破理解假分数意义的学习难点。

关键词：《真分数和假分数》;度量;图式

本文系全国教育科学“十三五”规划2020年度教育部重点课题“小学数学核心知识建构的教学研究”（编号：DHA200370）的阶段性研究成果。《真分数和假分数》一课的教学内容是苏教版小学数学五年级下册第59—60页的例5、例6、“练一练”和第63页的练习九第1—4题。教学目标确定为：（1）进一步认识分数单位，理解真分数和假分数的意义，了解真分数和假分数的特征，能辨别真分数和假分数，能用合适的分数表示图中的涂色部分或数轴（直线）上的点，也能用图中的涂色部分或数轴（直线）上的点表示指定的分数;（2）经历用分数单位度量的过程，感悟分类、对应和数形结合的思想，发展观察、比较、归纳、抽象、概括和想象的能力;（3）感受主动参与、合作交流的乐趣，养成自主探索、自主建构的学习习惯。教学重难点是：理解假分数的意义。教学过程及评析如下：

一、教学过程

（一）唤醒经验，体验分数单位的价值

师（出示图1）把这根彩条看作“1”，那么，

（出示图2）①号彩条可以用哪个数表示？

生用2表示，因为现在有两根这样的彩条。

生用2表示，因为现在有两个单位“1”这么长。

师有道理。（紧贴①号彩条出示②号彩条，见图3）如果把单位“1”平均分成2份，你看到了哪个数？这个数是怎么得到的？

生我看到了12。

生把单位“1”平均分成2份，每份就是它的12。

师（紧贴②号彩条出示③号彩条，见图4）如果这样分，你看到了哪个分数？

生我看到了13。把单位“1”平均分成3份，每份就是它的13。

师（在③号彩条中框出一部分，见图5）框出来的部分可以用哪个数表示？为什么？

生可以用23表示。把单位“1”平均分成3份，表示这样的2份就是它的23。

生2个13就是23。

师看来，借助分数单位也能解释分数的意义。（紧贴③号彩条出示④号彩条并框出一部分，见图6）现在你觉得可以用哪个分数来表示框出的部分？

生我觉得可能用34表示。

生我觉得可能用45表示。

师到底用哪个分数表示呢？你有什么好办法？

生可以先把单位“1”平均分一分，再看框出的部分表示分出的几份。

生我打算用前面出现的分数单位量一量。

（在学生尝试操作并用分数表示之后，组织交流。）

师（出示图7）谁能借助分数单位说一说这里为什么用34来表示？

生因为3个14就是34。

师我们一起数一数。

生（边指边数）1个14，2个14，3个14。

师我们可以把他数的过程记录下来。

（板书：1个14是14，2个14是24，3个14是34。）

师在这3个分数中，你认为哪个分数最重要？

生我觉得14最重要，因为24、34都是根据14得来的。

生我也觉得14最重要，因为14是分数单位。

师看来分数单位很重要。接着往下想，如果把单位“1”继续平均分下去，还能得到哪些分数单位？

[思考：学习了《分数的意义》一课之后，学生虽然认识了单位“1”，也知道了分数单位，但是对分数单位度量属性的理解并不深刻。本环节设计的活动“猜猜框出的部分可以用哪个分数来表示”，激活了学生头脑中“分数单位”的概念，引发他们选择手头已有的分数单位，或者创造一个合适的分数单位，再用分数单位度量的结果表示“框出的部分”，用分数单位的累加来解释分数的意义，进一步体会分数单位的重要性，为接下来认识假分数做铺垫。]

（二）寻求突破，感悟假分数的意义

师刚才有同学用单位“1”平均分的结果来表示分数，也有同学用分数单位的累加来表示分数。这两种解释都是正确的。如果还是把刚开始的彩条看作“1”，（紧贴①号彩条出示⑤号彩条，见图8）这根彩条用哪个数来表示呢？（稍作停顿）能用1表示吗？能用2表示吗？

生不能用1表示，因为这根彩条已经超过1了。

生也不能用2表示，因为这根彩条比2短很多。

师那应该用哪个数来表示呢？同桌讨论一下。

生我觉得可以用114来表示。我把这根彩条分成两个部分，前面一部分和1一样长，可以画一条竖线隔开，只要看后面一部分是多少就行了。我估测了一下，后面一部分可以用14表示。

生我觉得可以用54表示。我先看后面比“1”多的部分，可以用14表示，因为前面的1里有4个14，合起来一共是5个14，就是54。

师说得都挺有道理的。老师从两人的发言中听出一个关键：他们都是借助哪个数来估计的？

生14。

师他们估得到底对不对呢？我们可以怎样验证？同桌讨论一下。

生我们可以用表示14的小纸条去量一量。

师好主意！老师给大家准备了许多这样的小纸条，不光有表示14的小纸条，还有表示12、13、15的小纸条。大家选择合适的小纸条量一量，记得一边量一边做上标记，看量了几次，最后得出了哪个分数。

（在学生独立操作之后，组织交流。）

生我选择了表示14的小纸条，量了5次刚好量完。

生这根彩条包含5个14，用54表示。

师根据先前的经验，在迁移中学习，这是一个不错的想法。

师（指著54）我们以前只见过14、24、34，好像没见过这样的分数，你们觉得54有道理吗？

生有道理，1个14是14，2个14是24，3个14是34，4个14是44，5个14就是54。

[思考：我们知道，学生在认识数时都离不开计数单位的支撑。从度量的视角看，分数单位也是计数单位。借助上一环节教学产生的思维惯性，学生很容易想到用分数单位累加的办法来表示新的分数。再启发学生用表示12、13、14、15的小纸条去比一比、量一量，创生出“新”的分数54，并能基于分数单位的累加解释54的意义。至此，假分数的面纱慢慢揭开。这样的教学，能够帮助学生突破先前认知的束缚，即分数仅表示“部分与整体的关系”，从而形成假分数的正确表象。 ]

（三）多元表征，建构假分数的意义

师（出示一个圆片）这里有一个圆，如果把这个圆看成单位“1”，平均分成4份，你能涂色表示哪些分数？

生（展示）可以涂色表示14、24、34、44。

师能表示出54吗？

生不能，一个圆最多只能表示4个14，也就是44。

生要想表示54，需要再加一个圆。

师（拿出两个圆片）谁能折一折，再涂色表示出54？

（在学生操作、展示、交流之后，组织更丰富的操作和交流。）

师把一个圆看作单位“1”，我们用两个圆表示出了54。你还能用其他材料表示出54吗？可以在学习单上写一写、画一画，也可以用提供的材料折一折、画一画。

生（指着两个长方形）我把一个长方形看成单位“1”，每个长方形都平均分成4份，5个14就是54。

生我画了一条线段，把0—1这一段平均分成4份，再把1—2这一段也平均分成4份，5个14（用括线确定范围）就是54。

生我认为把一个蛋糕平均分成4份后，有5个人吃的话，可以再买一个同样的蛋糕，也平均分成4份，4个14再加1个14就是54。

……

师同学们真爱动脑筋，用这么多种方法表示出了54。你们还能表示74、94吗？

[思考：本环节为学生提供了多种操作材料，有实物、图形、直线等，让学生用自己喜欢的方式表示54，帮助学生进一步认识假分数，理解假分数的意义。在丰富多样的操作中，学生体会到都是把一个物体、一个图形或一个计量单位看成单位“1”，都是把单位“1”分别平均分成4份，每一份都是它的14，5个14就是54，从而避免产生一种典型的认知迷思，即分不清涂色表示的是54还是58。在此基础上，学生再去表示74和94，从而对假分数意义的理解更加深刻。]

（四）引导分类，了解真、假分数的特征

师其实，像54这样的分数在生活中也经常会遇到。

（出示问题：工程队每天修13千米，两天修了多少千米？3天、4天呢？）

生两天修了23千米，3天修了33千米，4天修了43千米。

师（板书后）你还能接着往下说吗？

生5天修了53千米，6天修了63千米……

师（指着13到63这一行分数）观察这些分数，你能将它们分分类吗？你打算怎么分类？先和你的同桌说一说，再在全班交流。

生我觉得分子小于分母的可以分为一类，分子等于分母的分为一类，分子大于分母的分为一类。

生我知道分子等于分母或者分子大于分母的分数叫作假分数，可以分为一类。

生如果这样，就把分子小于分母的分数分为一类，分子等于分母或者分子大于分母的分数分为一类。

生分子小于分母的分数叫作真分数，分子等于分母或者分子大于分母的分数叫作假分数。

师你知道黑板上的分数中哪些是真分数，哪些是假分数吗？和1相比，各有什么特点？

生14、24、34、13、23是真分数，其他分数是假分数。

生真分数都比1小，假分数大于1或者等于1。

[思考：分数来源于生活并服务于生活，假分数亦是如此。在运用假分数的相关知识解决实际问题的过程中，学生进一步从单位累加的角度感悟和认识分数，理解分数的意义。接着，学生通过对分数进行分类，认识了真分数和假分数并了解了其特征，从抽象形式的层次再次认识了真分数和假分数。]

（五）勾连旧知，突破分数教学的难点

师（出示图9）你能用分数表示图中的涂色部分吗？

（在学生独立练习的基础上，组织展示和交流。）

生第1题是把长方形看成单位“1”，平均分成8份，每份是18，7个18就是78。

生第2题是把这个图形看成单位“1”，平均分成8份，每份是18，8个18就是88。

生第3题是把一个长方形看作单位“1”，将两个长方形都平均分成4份，每份是14，7个14就是74。

生第4题是把一个三角形看成单位“1”，将两个三角形都平均分成3份，每份是13，6个13就是63。

师仔细观察第1题和第3题，为什么一个用78表示，一个用74表示呢？

生因为第1题是把一个大长方形看作单位“1”，平均分成8份，分数单位是18，共有7个18，所以用78表示;第3题是把一个小长方形看作单位“1”，平均分成4份，每份是14，共有7个14，所以是74。

师（出示图10）你能在数轴上描点表示出各个分数吗？

（在学生独立表示、交流想法之后，引导学生进一步观察和思考。）

师仔细观察，表示真分数和假分数的点分别落在直线的哪一段？

生真分数在0到1之间，假分数在1以及1以后的部分。

生真分数不包括0这个点，假分数包括1这个点。

生这说明，真分数都比1小、比0大，而假分数等于1或大于1。

师（出示图11）同学们，现在让我们回看一下以前学习的情景。（屏幕同步显示）在描述这个分数的意义时，原来大部分学生都这样说：把一个圆看作单位“1”，平均分成5份，“取”其中的2份，就是它的25。可课本上要求大家这样说：把一个圆看作单位“1”，平均分成5份，“表示”这样的2份，就是它的25。通过今天的学习，你知道这是为什么吗？

生今天我们学习了假分数。如果这个分数是65，我们就不能说“把一个圆看作单位‘1’，平均分成5份，取其中的6份”，只能说“表示这样的6份”，就是它的65。

生以前学习的是真分数，可以“取”出来，但是假分数就“取”不出来了，书上的表达更加严谨。

生比如，我吃了1个再加14个苹果。把一个苹果看成单位“1”，我吃的苹果数量根本没办法从中取出来。

师看来，今后我们描述分数的意义时要提醒自己用语的简洁和精准。

[思考：对于“用分数表示图中的涂色部分”的第3题，学生经常会误认为是78。在弄清括线表示的意义后，学生知道比1大的分数至少需要用2个单位“1”来表示，并借助分数单位的累加得出正确的分数，从而化解了学习中出现的迷思和错误，建构了正确的认知。接着，让学生在数轴上表示分数，了解真、假分数与1的关系，感受真、假分数的范围，进一步了解真分数和假分数的特征。在课的结尾，出示表示25的直观图，引导学生比较他们的习惯表达和课本上的规范表达，帮助他们认识到课本中给分数所下定义，既包括先前认识的真分数，也包括新学的假分数。至此，教学的难点得以攻破。]

二、教学评析

分数概念是一个核心知识。真分数和假分数是分数的下位概念，认识、理解真分数和假分数要回到分数的意义，回到分数产生的背景中去。教学中，教师从度量的视角出发，引导学生建构和理解假分数的意义，再通过分类认识真分数和假分数。总体来看，这节课主要有以下几个特点：

（一）立足整体，设计长程教学

数学知识之间是有逻辑关联的。基于此，教师将“真分数和假分数”置于“分数的意义和性质”“分数加法和减法”甚至更大的知识体系之中，弄清它与相关内容在知识本质、数学思想、核心素养等方面的一致性，按照知识发生发展的脉络来长线设计教学活动，引导学生借助认知迁移来建构新知识，扩充和完善认知结构。本节课，教师将整数、小数和分数看作一个整体进行设计，引导学生依据先前学习获得的经验，将分数单位看成计数单位，通过分数单位的累加获得不同的分数，包括真分数和假分数，比如，1个14是14，2个14是24，3个14是34，4个14是44，5个14就是54;引导学生用面积模型、线段模型等多种方式表示真分数和假分数，促进学生全面地理解分数概念，同时为后续学习分数大小比较和分数运算、解决与分数有关的实际问题做好铺垫。

（二）利用图式，建构两个概念

概念的外延与内涵是概念的两个基本逻辑维度。学生要建立一个概念，既要知道这个概念的外延，也就是概念包含哪些对象;又要知道这个概念的内涵，也就是这些对象具有哪些共同属性。相应地，划分是明晰概念外延的常用方法，下定义是揭示概念内涵的一般方法。另一方面，图式是人们表征、组织和解释经验的心理结构。从这个意义上说，教师在教学时应该激活学生头脑中有关概念建构的基本图式，利用图式强大的迁移功能，引导学生建构新知。本节课中，教师呈现直观的等分背景，引导学生通过等分得到分數单位，再利用分数单位进行度量，得到一系列新的分数，并从分数单位累加的角度去理解这些分数的意义;引导学生依据“分子是不是比分母小”这一标准，对前面得到的分数进行分类，将分数这个属概念划分为真分数和假分数这两个邻近的种概念。这样教学，使学生进一步完善了先前学习的分数概念，并伴随着分数概念的分化，建构并理解了真分数和假分数这两个新的概念。

（三）基于学情，突破学习难点

直接经验的缺失、前概念的负迁移、语言表达的不规范以及数学模型的局限性，常常会造成学生在学习时产生迷思和错误。本节课，教师提前了解了学生在认识真分数和假分数时可能出现的典型错误，有针对性地设计了教学活动，有效帮助学生突破了学习困境，实现了思维进阶。教师认识到分数从本源上说是数，于是，引导学生从本源上去认识真分数和假分数，通过分数单位的累加理解这些分数的意义，体会到假分数存在的合理性;引导学生对分数进行直观表征，理解括线连接几个图形即表示几个单位“1”，不同于集合模型只表示1个单位“1”，从而冲破在初步认识分数时形成的分数表示“部分与整体的关系”的局限，建立假分数的正确表象;同时，引导学生比较他们的日常表达和课本上的规范表达，认识到课本中给分数所下定义的严谨性。

当然，也可以放慢分数分类环节的教学节奏，引导学生按照不同的标准给分数分类，比如，按照分子和分母是不是互质或倍数关系，分数可以划分为可约分数和最简分数两类，或者分子是分母的倍数、分子不是分母的倍数两类。即使按照“分子是不是比分母小”的标准进行分类，学生也可能将分数划分为分子小于分母、分子等于分母、分子大于分母三类。这些看似无用的分类，却是后续学习分数的化简，假分数与整数、带分数的互化等知识的重要资源。学生可以从中感悟假分数“假”在何处，从而了解整数和分数的区别与联系。