探索计算奥秘 感悟数字魅力——三年级《有趣的乘法计算》教学感悟

吴青 江苏省南通师范学校第二附属小学

在三年级学习了两位数乘两位数的乘法计算之后，苏教版教材安排了一节数学活动课《有趣的乘法计算》，研究两位数乘11和首同尾互补的乘法计算规律。考虑到首同尾互补的乘法计算规律比较复杂，学生理解的难度较大，因此笔者将它单独作为一节课的教学内容，集中精力让学生研究首同尾互补的计算规律。

一、教学内容分析

（一）教材编排

在本课内容学习之前，学生刚学习了两位数乘两位数的乘法计算，能够比较熟练地用竖式来计算两位数乘两位数。为了提高计算的速度和正确率，切实发展计算技能，学生都进行了大量的竖式计算的练习。细细分析一道两位数乘两位数的乘法竖式，会发现其中至少包含有十几步表内乘法或表内加法的计算，只要其中有一步出现了错误，整道题就计算错了，所以竖式计算要求学生非常认真、细心地完成，因此计算教学也在一定程度上培养了学生认真、细致的数学品质。

苏教版教材在乘法计算单元的后面，接着安排本节数学活动课，进行计算规律的教学，是为了进一步发展学生的计算技能吗？教材在编排首同尾互补的乘法计算规律时，安排了观察乘数的特点、列竖式计算、观察乘积的规律、直接写出得数并用竖式验证这四个步骤，学生在按照这四个步骤进行观察、分析、概括、操作之后，会逐步发现、掌握并能应用乘法计算规律，从而实现本课的教学目标。从教材的编排中可以看出，本节课并不只是让学生掌握计算规律并运用规律进行计算，还要让学生观察、发现、概括、验证规律，培养学生的思维能力。所以在课堂上，教师要关注探究的全过程，要让学生能够通过探究发现规律，然后应用规律。

（二）教法剖析

对于首同尾互补的计算规律，为了凸显学生自主探究和发现规律，强调学生的学习主体地位，有的教师采用了如下的教学方法：

课堂上首先进行师生计算比赛，学生在惊讶老师能够快速说出得数的同时，开始观察并思考算式的规律，并尝试着运用自己发现的规律来直接说出得数，答错的学生就继续修改规律。经过几轮之后，有一小半的学生发现了规律。于是教师让学生进行小组合作，让知道规律的学生充当小老师，去“教”那些还不会的学生，于是全班每一个学生都知道了规律。接下来就是根据规律进行反复的计算练习，不断地巩固规律，提高计算的熟练程度。

在这个教学过程中，首同尾互补的乘法计算规律是由学生发现的，而且在小组合作的过程中，由会的学生充当小老师，去“教”那些还不会的学生（其实就是把规律直接告诉他们）。经过这样的过程，所有的学生都能掌握首同尾互补的计算规律。这样的教学过程，符合教材编排的原本意图吗？

很显然，课堂上只是部分学生自主发现了计算规律，其他学生都是由同伴“告知”的，甚至他们可能对规律本身没有任何感觉，只是机械地记住这个规律，会用这个规律来快速得出首同尾互补的计算结果，他们的思维能力没有得到任何的发展。这样的教学方式，并不符合教材编排的意图。

（三）明确目标

计算教学，需要算理和算法并重，不仅要掌握算法，能够运用算法熟练地进行计算；更要理解算理，知道这样计算的依据，从而确保计算的正确。算理和算法是计算教学的两大支柱，缺一不可。

在本课的教学过程中，学生通过对算式的观察、分析，发现首同尾互补的计算规律，这个过程是在“找规律”，通过对首同尾互补乘法算式中数据的分析，寻找计算规律，总结算法。当学生掌握了算法之后，教师也不能忽视算理，在学生能够理解的范围内，让他们明白，首同尾互补的乘法计算为什么会有这样的规律。只有理解了算理，才能对算法有更加深刻的认识，这样学生对首同尾互补乘法计算规律的认识将不仅仅停留在“找规律”的数字游戏上，而是深入精髓，深刻理解。

数学教学，不仅要让学生掌握数学基础知识，形成基本技能，更重要的，是要发展学生的数学能力。由于本课是一节教学计算规律的数学活动课，所以应该区别于单纯的计算教学，需要相对弱化计算技能的训练，而适当加强数学能力的培养。那么这节数学活动课，需要培养学生的什么能力呢？教师可以让学生通过对首同尾互补计算规律的探究，经历数学研究的一般过程，让学生在探究的过程中，初步掌握数学研究的方法。而教材中对于两个计算规律的探究安排，也注意到了这一点，让学生观察、猜想、应用、验证，只不过这几个步骤都相对比较简略，在教学中容易“走过场”。教师可以适当完善探究的过程，让学生完整地经历数学的探究历程，掌握数学研究的方法。

二、教学方法初探

通过上面的分析可以看出，本课教学要让学生经历数学研究的全过程，帮助学生掌握数学研究的一般方法。因此笔者准备让学生经历“观察-猜想-验证-探究-应用-拓展”这几个环节，从而对数学研究的方法有一个完整的体验。

（一）师生比赛，激趣导入

计算比较枯燥，严格的数学探究对学生思维的要求也比较高，为了避免课堂气氛沉闷，在课堂的导入环节，可以创设师生比赛的情境，激发学生的学习兴趣。

幻灯片逐题显示首同尾互补的乘法算式，学生用计算器计算，教师直接口答结果。当学生还在计算器上按键时，教师就已经把答案报出来了，而且竟然和计算器得到的结果完全相同。学生感到非常惊讶，非常佩服老师。人脑和计算器的比拼，激发了学生的学习兴趣，把学生的注意力吸引到计算上来，从而迫切地想要研究得数的规律。这样，在课堂的一开始，就充分调动了学生的学习积极性，促使学生情绪高涨地投入到课堂探究之中。

（二）观察比较，提出猜想

数学研究，有很强的针对性和目的性，我们在着手研究规律之前，首先需要明确研究对象，然后才能集中精力进行研究。因此本课在研究乘法算式得数的规律之前，教师首先需要让学生明确算式本身的特点，知道我们是在研究什么算式，而不能盲目地展开研究，导致得出的规律张冠李戴。

学生通过对给出的这些乘法算式进行观察，发现它们的共同特点：两个乘数的十位数字都相同，个位数字相加都是10，此时引出“首同尾互补”的名称。考虑到首同尾互补的算式比较特殊，学生可能无法一下子明确算式的特点，因此笔者安排了一个单项练习，让学生把算式补充完整，使它们成为首同尾互补的乘法算式：

34×（ ）

85×（ ）

（ ）×13

6（ ）×（ ）2

（ ）9×2（ ）

通过这个单项练习，学生对首同尾互补乘法算式的特点有了清晰的认识，更加明确了将要研究的对象，同时也为后面列举算式进行验证做好知识上的准备。

接下来就让学生以小组合作的方式研究首同尾互补乘法算式得数的规律，在学生回答的基础上，逐步概括出乘积的末两位是“尾数之积”，前两位是“首位数字乘比首位数字大一的数”。对于这个规律，学生描述的语言是口语化的，不够简洁。此时告诉学生，数学语言讲究的是精炼、简洁、准确，用尽可能少的文字或符号表达尽可能丰富的内容。所以需要对刚才发现的规律进行再次提炼，从而概括出规律：“首位乘以大一数，尾数之积后面接”。口诀式的规律读起来朗朗上口，方便记忆，同时也能让学生更好地体会数学语言的简洁美、对称美。

（三）多次验证，确认规律

由于刚才只是根据几道算式就概括出了计算规律，此时还不知道这个规律对于其它首同尾互补的乘法算式是不是也同样成立，所以现在还只是猜想，接下来需要进行验证。

课堂上笔者安排了两次验证：第一次是根据给出的几道乘法算式，让学生直接写出乘积，再用计算器算一下，验证得数是否正确；第二次是让每个学生自己写几道首同尾互补的乘法算式进行验证。通过两轮验证，从而明确刚才发现的规律是正确的。

（四）深入探究，追根溯源

上面的验证过程，是让学生列举一些具体实例来判断规律是否正确，但是不管我们怎样列举，都不可能穷尽所有的对象，这种列举方法其实是不完全归纳。不完全归纳法并不符合数学的逻辑严密性要求，不是严格的演绎推理。不完全归纳得出的结论可能是正确的，但也有可能是错误的。所以对于数学家来说，通过不完全归纳得到规律之后，还必须进行严格的数学证明。只有经过演绎推理证明得到的结论，才是正确的，才能进行实际应用和拓展。

因此在验证之后，笔者告诉学生，刚才我们通过“观察-猜想-验证”这几个环节，只是发现了这个规律“是什么”，但是真正的数学家还要继续深入探究下去，研究“为什么”会有这样的规律，从而把数学探究引向深处。接下来就和学生一起进行深入探究，在学生能够理解的范围内，研究为什么首同尾互补的乘法计算会有这样的规律。

1.从数形结合的角度进行探究

比如要计算36×34，可以根据数形结合的思想，把这个乘法算式转化成一个长方形的面积，长方形的长和宽分别为36 和34，那么它的面积就是36×34。再把长方形分割成四个小长方形（如图1），这四个小长方形的面积分别是30×30、30×6、30×4 和6×4。接下来再把左下角的小长方形③移到②的旁边（如图2）。

图1 根据数形结合的思想把乘法算式转化成长方形面积

图2 把左下角的小长方形③移到②的旁边

在图2中，上面一行的三个小长方形①、②和③组成了一个大长方形，它的长是30+6+4，宽是30，面积是(30+6+4)×30=(30+10)×30=40×30，40和30都是整十数，它们的乘积是4×3个百，所以36×34乘积的前两位就是4×3=12，这就是“首位乘以大一数”。最下面这个最小的长方形④的面积是6×4，这是两个乘数个位数字的乘积，比100 小，因此乘积的后两位就是6×4=24，也就是“尾数之积”。

从数形结合的角度，利用长方形的面积可以解释首同尾互补的乘法计算规律。

2.从计算的过程进行探究

对于两位数乘11 的乘法计算，就是通过乘法竖式来分析计算规律的。但是对于首同尾互补来说，从竖式计算上却无法进行清晰、简洁的解释，所以必须另辟蹊径。

我们现在采用的是竖式计算，而以前则可以通过“铺地锦”的方法来进行计算。比如68×62，我们可以采用图3所示的铺地锦方法进行计算，得到68×62=4216。

图3 “铺地锦”的计算方法

在上面的图4中，左上角方格中的数据36是两个乘数十位数字相乘得到的（6×6），即“首位之积”。右下角方格中的数据16是两个乘数个位数字相乘得到的（8×2），即“尾数之积”。接下来重点分析阴影部分两个方格中的数据12 和48，它们涉及到乘积的十位和百位。12=6×2，48=6×8，它们的和为12+48＝6×2+6×8＝6×(2+8)＝6×10＝60。60 中的0 在乘积的十位上，对乘积的末两位没有影响，因此乘积的末两位仍然是8×2＝16，即末两位是“尾数之积”。60 中的6 在乘积的百位上，再加上首位之积36，那么乘积的前两位就是36+6＝6×6+6＝6×7，即“首位乘以大一数”。

图4 用“铺地锦”来解释规律

通过对铺地锦计算过程的分析，可以很好地理解首同尾互补乘法计算的规律。

3.两种探究方法的对比

面积法和铺地锦法都可以解释首同尾互补乘法的计算规律，但这两种探究方法还是有许多不同之处的。首先，从研究的角度来看，面积法是采用数形结合的思想来进行研究，而铺地锦法则是从计算的过程入手直接进行研究。其次，从涉及到的知识内容来看，面积法需要用到长方形的面积知识，所以要等到学生学习了长方形面积之后才能进行教学，而苏教版在排版时，把长方形的面积排在乘法计算单元的后面，而且间隔了好几个单元，因此按照正常的教学进度进行教学时，无法利用面积法来进行探究；而铺地锦的计算方法，苏教版教材在乘法单元已经向学生作了介绍，所以利用铺地锦的知识来进行探究更为方便。第三，从思维的角度来看，面积法借助几何图形来探究计算规律，要求学生具有一定的几何直观能力；铺地锦法直接从计算的过程来进行分析，对抽象思维能力的要求较高。

总体看来，两种方法各有特点，教学时可以根据实际情况选择合适的方法进行探究。但笔者觉得，采用铺地锦的方法来进行探究，更加符合教材安排的顺序，更能凸显本课教学的目的，也更能培养学生的逻辑思维能力。

（五）实践应用，拓展引申

数学知识相互之间的联系错综复杂，交织成一个庞大的知识网络。我们在进行课堂教学时，需要对知识进行适当的拓展、引申，让学生感悟数学知识的相互联系。本课在研究了首同尾互补的计算规律之后，笔者进行了两次拓展引申。首先让学生计算下面几道题：

45×45＝

43×47＝

42×48＝

41×49＝

很显然，这几道题都符合首同尾互补的算式特征，学生能够很快得到答案。接下来让学生将第二行开始的每个算式都分别与第一个算式进行比较，观察两个乘数分别是由45 加上（或减去）多少，最后的乘积比第一题的2025 减少多少，乘积减少的数值和两个乘数加上（或减去）的数值有什么关系，从而得出下面的算式：

(45-1)×(45+1)＝2025-1×1

(45-2)×(45+2)＝2025-2×2

(45-3)×(45+3)＝2025-3×3

(45-4)×(45+4)＝2025-4×4

草儿的心里怀了春以后，终于敢走向牧儿，和牧儿打招呼，和牧儿说话了。那声音极为害羞，两个人的对话也富有了韵味。

此时，到初中才会学到的和差公式已经呼之欲出了，不过现在没有必要揭示和差公式，只是让学生体会首同尾互补计算规律的应用，感受数学知识的千变万化。

通过这几个算式的对比，学生还能发现，当两个数的和固定时，这两个数越接近，它们的乘积也就越大。如果已经学习了长方形和正方形的面积，那么此时还可以和长方形的面积结合起来，得出这样的结论：长方形的周长固定时，长和宽越接近，它的面积越大。

本题既是首同尾互补计算规律的实践运用，同时也是一次多角度、多维度的拓展引申，让学生深刻体会数学知识相互之间的复杂联系，感受数学的奥秘。

第二次拓展是在本课结束的时候，笔者先出示两个首同尾互补的算式（26×24，38×32），然后把个位和十位上的数字交换位置（62×42,83×23），让学生观察现在的这些算式有什么特点。在学生说出尾同首互补的特征之后，让学生思考，对于尾同首互补的乘法，又会有怎样的规律呢？然后让学生按照今天课堂上的研究过程，课后自己进行研究。

这个拓展延伸，让学生认识到数学知识的千变万化，感受知识之间千丝万缕的联系。同时安排学生课后自己进行探究，不仅巩固了本课的研究方法，同时也让学生对数学的探究过程有更加深刻的认识，进一步培养学生认真探索、勇于钻研的学习品质。

在本课教学中，学生在探究首同尾互补乘法计算规律的过程中，经历了数学研究的完整过程，他们不仅仅通过观察、猜想、验证得到了计算规律，还尝试着进行深入探究，研究为什么会有这样的规律，从而使得数学的研究深入精髓，更加严密。在研究的过程中，学生也对数学的研究方法有了一定的了解，课后让他们自己研究尾同首互补的乘法规律，则可以促使学生进一步巩固课上所掌握的数学研究方法。

当然，只靠这一节课的教学就想让学生掌握数学研究的方法，这是远远不够的。在平时的教学中，我们需要结合教学内容，经常有意识地进行数学研究方法的渗透，多创造让学生进行研究的机会，让学生反复经历数学的研究过程，那么他们就会逐步掌握数学研究的方法。