两周期激励下Duffing-van der Pol振子的复杂簇发振荡及其机理

张真真，马新东

(1.江苏大学京江学院，212013，江苏，镇江；2.江苏大学土木工程与力学学院，212013，江苏，镇江)

0 引言

多时间尺度耦合现象广泛存在于各种动力系统中，如物理系统中的van der Pol-Duffing系统[1]、生态系统的猎食者-食饵模型[2]、电路系统的BVP振荡器[3]和神经系统的细胞簇放电系统[4]等。多时间尺度的耦合效应往往使系统的动力学特性表现为大幅振动和小幅振动的耦合，这种有趣的动力学行为称为簇发，也可以叫做混合模式振荡或张弛振荡。大幅振动通常指的是系统轨迹在大振幅极限环内的运动，这种运动也称为激发态，小幅振动指的是轨迹在平衡点或小振幅极限环的运动，这样的运动称为沉寂态。连接激发态和沉寂态的可以是分岔[5]，也可以是其他引起吸引子转迁的路径，如脉冲爆炸(pulse-shaped explosion)[6]等。对于连接方式为分岔的情况，Izhikevich[7]给出了光滑系统与余维-1分岔相关的几乎所有簇发类型，并提出了一种基于分岔的簇发分类方法。

在簇发动力学研究中，由快慢变化频率耦合诱发的簇发行为得到了人们的广泛关注。如时培明等[8]研究了低频参数周期激励下旋转机械系统的簇发行为，并给出了快变参激和慢变参激分别对簇发现象的影响规律。孟盼等[9]利用稳定性和分岔理论探讨了低频正弦激励下前包钦格呼吸神经元系统的“Hopf/Hopf”型簇发振荡现象。吴丹和丁旺才[10]分析了一类干摩擦碰撞系统在低频外激励下的簇发振荡现象及其机理。最近，韩修静等[11]报道了一种由2个低频激励耦合的滞后翻转引起的复杂簇发行为，并给出了一种基于莫夫尔公式的相称激励频率分析方法。在此方法基础上，Zhou等[12]研究了2个慢参数激励下的最小化学反应系统的4种复杂簇发模式及其快慢分析。Yu等[13]给出了两低频周期激励下复杂机械系统的由多S形流形(multiple-S-shaped)诱发的簇发振荡现象及其产生机制。由于2个激励频率之间存在不同的耦合关系，会使系统出现更为复杂的动力学行为，因此，非常有必要对2个周期激励下的复杂簇发行为及其产生机制进行更为深入的研究。

本文考虑一类两周期激励下的Duffing-van der Pol系统[14]，该系统可以用于描述一个特定的非线性自激电路或一个在非线性粘性介质中运动的摆的动力学特性，数学表示式为

(1)

其中fcosυt和gcosωt表示2个低频外激励，频率满足0<υ<ω<<1，u是满足某些混沌动力学特性增加的控制项。由于0<υ<ω<<1，在周期T时间内，fcosυt和gcosωt都变化缓慢，按照快慢分析法，可以令cosυt=δ、cosωt=γ，那么方程(1)转化为广义自治方程如下

(2)

本文旨在揭示两周期激励下由滞后翻转引起的复杂簇发行为。本文组织结构如下：在第1节中，分析了单个周期激励下系统的稳定性和分岔及其临界条件；第2节中给出了单个激励下的复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发及其产生机理；借助改进型快慢分析方法；第3节研究了2个激励下滞后翻转型复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发；最后，总结全文。

1 单个周期激励下的系统稳定性和分岔分析

(3)

另一方面，将系统在平衡点E处线性化，可以得到雅克比矩阵

(4)

固定参数f=4，υ=0.01，λ0=1，ω0=1，μ=1，系统关于δ=cos0.01t的分岔图如图1所示。在区域(δLPC2,δLPC1)中，存在一个稳定的极限环LC1。在区域(δH2,δH1)中，平衡点E是不稳定的。当参数δ穿越亚临界Hopf分岔点H1和H2后，在左右两侧出现2个稳定的平衡点E+和E-，同时出现2个不稳定的极限环LC2和LC3。通过数值模拟发现，LC2和LC3的振动幅值逐渐增大。因此区域(δH1,δLPC1)和(δLPC2,δH2)是双稳态区域，同时存在一个稳定的极限环和一个稳定的平衡点。随着δ穿越极限环的fold分岔LPC1和LPC2时，LC2和LC3与LC1碰撞消失，在LPC1右侧和LPC2左侧只剩下2个稳定的平衡点E+和E-。

图1 系统的稳定性和分岔

2 复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发振荡

这部分分析单个激励下的复合式subHopf/fold cycle簇发行为。图2给出了系统在(x,y)平面的相图和时间历程图。显然，从图中可以看到这种簇发模式是关于稳定平衡点E±和稳定极限环LC1的。

图2 复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发振荡

这种簇发行为的产生机理可以通过将(δ,x)上的慢流形叠加到分岔图上进行揭示，如图3所示。假设轨迹在δ的最大值1处开始运动，此时系统的稳定吸引子为E+，轨迹在E+的向量场内做平滑的沉寂态运动。当δ减小到亚临界Hopf分岔点δH1处，E+失稳，变成不稳定的平衡点。但轨迹并未立即转到稳定极限环LC1运动，而是继续沿着不稳定平衡点运动，直到亚临界Hopf分岔滞后点(delayed H1)出现，轨迹才进入LC1中做大幅激发态运动。当δ变化到亚临界Hopf分岔点δH2时，稳定平衡点E-出现，同时产生一个不稳定的极限环LC3(见图1)。随着δ继续减小至极限环的fold分岔点δLPC2，LC1与图1中的不稳定极限环LC3碰撞消失，轨迹转而进入E-的向量场中做沉寂态运动，直至δ减小至其最小值-1。然后δ开始增大，这个过程与上面类似。

图3 (δ,x)上的慢流形与分岔图的叠加

从图3可以看出，在一个周期簇发内存在2个激发态，第1个开始于亚临界Hopf分岔滞后(delayed subHopf)，结束于极限环的fold分岔。第2个同样开始于亚临界Hopf分岔滞后，结束于极限环的fold分岔。按照Izhikevich[7]的分类方式，这种簇发可以命名为复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发。

3 激励gcosωt对复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发的影响

上节揭示了单个激励下的复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发的产生机制。这部分研究另一个激励gcosωt对这种簇发模式的影响。

3.1 研究方法

对于2个激励下的系统动力学行为研究，可以采用韩等[14]提出的改进型快慢分析方法。这里只讨论ω=nυ，n为正整数的情况。这样方程(2)就可以转化为含一个慢变量的二维方程(5)，如下：

(5)

(6)

获得，其中m是不大于n的最大偶数，i是虚数单位。

3.2 滞后翻转型复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发

下面研究当n取不同值时，ω对复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发的影响。固定参数g=3，其他参数取值与图1相同。图4给出了n分别取1、2、3、4时的(δ,x)平面上的慢流形与分岔图的叠加。

(a)n=1; (b)n=2; (c)n=3; (d)n=4

从图4可以看出系统的动力学行为一直都与稳定的平衡点和稳定的极限环有关，轨迹在这2种吸引子之间通过亚临界Hopf分岔和极限环的fold分岔相互切换。当n=1时，2个激励与单个激励相比，可以发现2个Hopf分岔滞后点之间的距离逐渐靠近，但仍然表现为复合式delayed subHopf/fold cycle簇发。当n=2时，第3个亚临界Hopf分岔点H3和第2个稳定极限环LC5出现，由于分岔滞后的影响，系统的动力学行为没有受到这2种分岔的影响，但系统主要的动力学行为右移，从图4(b)可以看出，此时系统仍是复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发。当n=3时，亚临界Hopf分岔的数目又减到2，2个Hopf分岔滞后点之间的距离增大，系统激发态运动占据了主要地位，此时系统行为还是表现为复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发。当n=4时，亚临界Hopf分岔的数目变为5，并且在一个簇发周期内出现了4个激发态运动，每一个激发态运动都是以Hopf分岔滞后开始，以极限环的fold分岔结束，这种簇发其实是2个复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发的组合。同时可以看到n=4时的动力学行为其实是n=2和n=3时的动力学行为的耦合，随着n的增大，亚临界Hopf分岔的数目将会继续增加，n=2和n=3时的动力学行为的耦合数目也增加。同时在一个簇发周期内，复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发的数目也越来越多，这种现象的本质是平衡滞回曲线的扭曲造成的，因此将这种复合的复合式簇发称为滞后翻转型复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发。

4 结论

本文研究了2个周期激励下Duffing-van der Pol系统的复杂簇发行为。当2个周期激励频率与系统固有频率存在量级差异时，可以将周期激励看做慢变参数，原来的非自治系统转化为广义自治系统。首先给出了单个激励典型参数下的复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发及其机理。然后研究了2个激励频率之间存在整数倍的滞后翻转型复合式delayed subHopf/fold-cycle簇发。研究发现，当n取较大值时，系统的动力学行为可以表现为n取较小值时动力学行为的耦合。