一种多普勒容忍的抗间歇采样转发干扰恒模互补波形和接收滤波器联合设计方法

王福来 庞晨 殷加鹏 李楠君 李永祯 王雪松②

①(国防科技大学电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室 长沙 410073)

②(国防科技大学电子科学学院 长沙 410073)

1 引言

在现代化战争中，电子干扰技术是争夺电磁作战空间制信息权的重要力量，对雷达等的生存产生了严重威胁[1–4]。作为一种典型的相干干扰样式，间歇采样转发干扰(Interrupted Sampling Repeater Jamming,ISRJ)巧妙地利用了欠采样原理和匹配滤波特性，通过对雷达信号进行快速分时间断采样、转发，能够在雷达接收端产生位置和数量可控的高逼真密集假目标，从而实现多假目标欺骗干扰，使雷达的检测能力失效[5,6]。同时数字射频存储技术的快速发展，为ISRJ干扰的工程实现提供了基础，所以，ISRJ干扰具有响应时间短、工程实现简单等优势，导致传统的抗干扰技术无法有效抑制ISRJ干扰[7,8]。因此，研究抗ISRJ技术对提高我方高价值目标的战场生存能力具有重要意义。

从公开发表的文献来看，针对抗ISRJ干扰问题，目前主要有两类主流方法，即接收端信号处理方法和波形设计方法[9–12]。对于第1类方法，文献[13]利用目标回波和干扰信号在时频域的差异，通过在接收端构造多个窄带滤波器实现对干扰信号的滤除从而达到抗ISRJ的目的；文献[14]利用最小二乘法等估计ISRJ关键参数，再基于此构建接收滤波器从而实现对ISRJ的抑制。然而，上述工作主要针对的是线性调频(Linear Frequency Modulation,LFM)雷达系统，并且仅仅考虑了接收端的信号处理技术而忽略了发射波形的设计，使得其可利用的自由度有限，无法应用于低信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)以及低信干比(Signal-to-Jamming Ratio,SJR)场景。对于第2类波形设计抗干扰方法，Zhou等人[15]率先提出了基于发射波形和接收滤波器联合设计的抗ISRJ方法，在获取干扰机干扰参数的前提下，通过抑制ISRJ信号和接收滤波器脉压输出能量进行收发联合优化从而实现了干扰抑制，并且在文献[16]中，利用惩罚函数思想，实现了基于收发联合波形设计抗干扰方法的信噪比损失可控，并将该方法扩展应用于SAR成像雷达中。然而，需要指出的是，目前波形设计抗ISRJ干扰仅仅关注于单个脉冲重复周期(Pulse Repetition Time,PRT)的信号处理，没有充分利用一个相干处理周期(Coherent Processing Interval,CPI)多脉冲相干处理的自由度优势，同时在波形设计的过程中忽略了目标运动对波形脉压性能的影响，即忽略了收发波形的多普勒容限，这限制了其在动目标抗干扰场景中的应用[17]。文献[18,19]指出，如果雷达在一个CPI内具备脉间波形捷变能力，那么采用互补序列作为发射波形，可以在接收端得到理想的“冲激函数式”的脉压输出。

为了充分利用多脉冲联合处理以及收发联合处理的自由度同时提升对干扰场景下运动目标的检测能力，针对具有脉间捷变波形能力的雷达系统，本文提出了一种多普勒容忍的互补序列和接收滤波器联合设计方法，实现了一个CPI内对ISRJ的有效抑制。其基本思路是，在认知获取干扰机的干扰参数的先验信息前提下，选取互补序列和接收滤波器模糊函数旁瓣能量以及ISRJ信号和接收滤波器模糊函数能量为目标函数，同时为了控制失配滤波体制带来的信噪比损失，以及最大化雷达发射机功率效率，在优化模型中考虑了波形的恒模约束、接收机脉压峰值约束以及信噪比损失约束等。为了解决提出的非凸优化问题，提出了一种基于优化最小化(Majorization-Minimization,MM)方法的交替迭代优化算法实现了模型的优化求解[20]。最后，仿真实验表明，相比于传统抗ISRJ方法，本文设计的互补序列和接收滤波器组合具有更好的脉压特性和抗干扰能力，能够实现ISRJ场景下多运动目标的有效监测。

2 抗ISRJ的多普勒容忍互补波形和接收滤波器联合设计问题建模

假设雷达一个CPI包含K个脉冲，在每个PRT内，发射一个码长为N的恒模相位编码序列，不失一般性，第k个序列可以表示为

其中，(·)T表示转置运算

且相位ϕk(n)可以在[0,2π]内任意取值。令hk=[hk(1)hk(2) ...hk(N)]T∈CN表示雷达第k个PRT所使用的接收滤波器，则发射波形xk和接收滤波器hk的非周期互相关函数可以表示为

且amax表示相关函数峰值，可以称和是互补的，即具有“冲激函数式”的脉压输出性能。另外，为了使得雷达具有对运动目标的检测能力，要求收发序列集具有良好的多普勒容限，即在一定多普勒频移区间均能保持互补特性。本质上，设计具有良好多普勒容限的收发序列集，就是要设计收发序列集的模糊函数，使其在给定的多普勒区间均具有低旁瓣。假设雷达目标在一个CPI内均处于同一距离单元，则互补序列集的模糊函数可以表示为[19]

其中，n和f分别表示模糊函数的距离和多普勒单元。需要指出的是式(6)中的多普勒f和实际的多普勒频率fd之间的关系可以表示为f=2πfdTP，其中TP表示雷达的脉冲重复周期。

此外，根据文献[15]，间歇采样转发干扰信号可以等效为利用脉冲串序列对雷达发射信号进行采样。假设干扰机在一个CPI内保持特性不变，令j表示干扰机的采样序列，则第k个雷达发射脉冲的间歇采样干扰信号可以表示为

其中，[f1,f2]表示关注的多普勒频移区间。

另外，由于考虑了发射波形和接收滤波器联合设计，即非匹配滤波体制，相比于匹配滤波体制，不可避免地会造成信噪比损失，因此，在波形设计过程中需要考虑非匹配滤波器带来的信噪比损失影响，对于互补序列，该体制下信噪比损失(Signalto-Noise Ratio Loss,SNRL)可以表示为[16]

其中，‖·‖表示矢量的2-范数，(·)H表示共轭转置运算，且

以及

根据式(2)可知，本文考虑的是恒模互补序列设计，可得‖x‖2=NK。观察式(9)，如果对接收滤波器集增加能量约束，即‖h‖2=Nh，则该体制的信噪比损失可以由如下的峰值约束函数来控制，即

例如，为了达到信噪比损失约束µ，峰值约束可以设置为此外，根据文献[15]，由于ISRJ信号是发射序列的间断采样形式，因此ISRJ信号和接收滤波器集的脉压输出峰值主要取决于ISRJ信号和接收滤波器集在零多普勒与零距离时延处的脉压输出值，为了限制干扰信号的脉压输出峰值，考虑如下约束函数

其中

且amin表示干扰信号零多普勒零时延脉压的约束值。综上所述，多普勒容忍的恒模互补序列和接收滤波器抗ISRJ优化问题是一个约束条件下的多目标优化问题，可以表示为

其中，γ1和γ2表示权重因子。

3 基于MM方法的模型求解

由于发射序列恒模约束的存在，式(15)所示的优化问题是非凸的，难以同时对发射序列集和接收滤波器集进行优化求解。因此，本文采用交替迭代优化方法对式(15)进行求解，即将优化问题转换为对发射波形集和接收滤波器集进行交替优化求解，从而得到满足约束条件的收发序列组合，具体的优化过程可以表述为

其中，h(i)和x(i)分别表示第i次迭代时目标函数的最优解。为了简化分析，对目标函数Γ(x,h)进行等价转换，首先利用离散求和来近似积分运算，将关注的多普勒频移区间[f1,f2]等间隔离散化为L个单元，则有

其中，fl=f1+(l −1)∆f,l=1,2,...,L且∆f=(f2−f1)/(L −1)。

考虑固定发射波形集条件下，对接收滤波器集进行优化求解问题。根据式(15)和式(18)，优化问题(16)可以表示为

进一步定义发射序列矩阵Xl和ISRJ信号矩阵为

其中，l=1,2,...,L,n=0,1,...,N −1,p=1,2,...,NK,q=1,2,...,2N −1且k=quo(p −1,N)表示k为p −1除以N的整数商。根据式(20)和式(21)，在忽略常数项后，优化问题(19)可以改写为

其中

其中，Re(·)表示取实部运算，tr(·)表示矩阵的迹，INK表示NK阶单位矩阵。式(25)为二次约束下的线性优化问题，其最优解可以表示为

其中

接下来考虑固定接收滤波器集条件下，对发射互补序列集进行优化求解问题。根据式(15)和式(18)，优化问题(17)可以表示为

定义接收滤波器矩阵Hl为

其中,l=1,2,...,L,n=1,2,...,N,p=1,2,...,NK,q=1,2,...,2N −1且k=quo(p −1,N)。从而，根据式(29)，在忽略常数项后，优化问题(28)可以改写为

其中

由式(31)可知，矩阵Q是厄米特矩阵，优化问题(30)可以利用MM方法进行求解，根据文献[20]中的引理1，目标函数在x(i)处可优化为

显然，式(33)的最优解可以表示为

其中，arg(·)表示取相位运算，且

综上，即通过MM方法得到了子优化问题(16)和式(17)的满足约束条件的解。根据上述过程，将基于联合设计多普勒容忍的互补序列和接收滤波器的抗ISRJ算法流程总结为表1。需要指出的是，MM算法的收敛速度通常和构造的优化函数相关，为了在不损失收敛性的条件下提高算法的收敛速度，一种常用的方法是使用二次迭代框架(the squared iterative method,SQUAREM)来加速MM算法的收敛速度，SQUAREM的伪代码可以参考文献[22]的算法1和文献[23]的表1。为了使得算法更快收敛，本文采用SQUAREM框架来加速波形设计算法。同时，由算法流程可知，本文方法的计算复杂度主要取决于计算矩阵，若根据它们的定义式(23)和式(31)进行矩阵乘法直接计算，得到P(i)和Q(i+1)的计算量为O根据表1所示算法流程，为了降低运算量，根据式(23)和式(31)矩阵P(i)和Q(i+1)的定义，分析可得计算P(i)h(i)和Q(i+1)x(i)时只涉及矩阵和的赋值运算以及矩阵和矢量的乘法运算。因此，根据矩阵定义直接采用赋值运算得到P(i)h(i)和Q(i+1)x(i)的计算量为从而可得本文方法的计算复杂度为

表1 抗ISRJ的多普勒容忍互补序列和接收滤波器集联合设计流程Tab.1 Joint design of Doppler tolerant complementary sequences and receiving filters for anti-ISRJ

4 仿真实验与结果分析

为了验证所提方法的抗干扰能力，特别是对目标运动场景的抗干扰能力，本节首先仿真验证了所设计序列的脉压性能和多普勒容限性能，接着对所设计序列的抗ISRJ干扰性能进行了评估。

4.1 互补序列和接收滤波器性能仿真

本小节对所提方法设计序列的相关性能进行验证。对于雷达，假设发射信号的带宽为B=25 MHz，脉宽T=20 µs，根据相位编码波形的性质可知，码长N=B·T=500，进一步假设脉冲数为K=2，信噪比损失约束为µ=1 dB，干扰脉压峰值约束为amin=amax10−80/20，权重因子为γ1=γ2=100[16]，滤波器能量约束为Nh=NK。对于ISRJ干扰机，假设间歇采样重复频率为fJ=200 kHz，间歇采样转发占空比为D=20%。对于目标，假设其运动速度对应的归一化多普勒频移区间为[f1,f2]=[−0.3,0.3]。对于表1所示算法，在后续的仿真中，将算法的终止条件设置为≤10−8[20,22]。同时为了避免结果的偶然性，本文对每种参数体制进行了500次蒙特卡罗仿真，取最优的结果作为该参数体制下的优化结果。为了量化算法的性能，定义第i次迭代的归一化目标函数和归一化旁瓣能量为

图1为一次蒙特卡罗仿真中NorΓ(i),Norξ(i)和信噪比损失随时间变化曲线，从中可以看出，随着迭代优化次数的增加，NorΓ(i)和Norξ(i)逐渐降低并收敛，信噪比损失随着迭代次数的增加也逐渐趋于预设值，这表明本文方法能够有效地在给定约束条件下有效地优化目标函数，并随着迭代使其逐渐收敛。图2为该仿真参数下设计互补序列集和接收滤波器集的模糊函数，其中模糊函数右上角子图表示设定的多普勒频率区间内的模糊函数图。从图2(a)和图2(c)可以看出，对于静止的目标和干扰机，本文序列具有良好的相关性能和抗干扰性能，即对于目标回波和接收滤波器的脉压输出，其峰值旁瓣比约为−40 dB，对于ISRJ信号和接收滤波器的脉压输出，其峰值约为−39.8 dB。同时结合图2(b)和图2(d)的模糊函数图可知，这种良好的脉压特性在给定的多普勒频率区间得到了保持，表明本文设计序列对于运动目标和干扰机同样表现出良好的相干性能和抗干扰性能。

图1 目标函数随时间变化曲线Fig.1 Evolutions of objective functions with respect to time

图2 设计序列的模糊函数性能Fig.2 Ambiguity functions of designed sequences by the proposed method

进一步改变脉冲数K=2,4,6以及信噪比损失µ=1.0,1.5,2.0 dB，其余参数不变，采用表1算法设计得到不同参数条件下的互补序列集和接收滤波器集。表2和表3分别为在给定多普勒频移范围内互补序列集和接收滤波器集模糊函数的旁瓣峰值与优化序列的实际信噪比损失，以及ISRJ信号和接收滤波器集模糊函数的峰值。从表中可以看出，当信噪比损失保持不变时，随着脉冲数的增加，所设计序列的相关性能和抗干扰性能逐渐提升，即旁瓣峰值和干扰脉压峰值逐渐降低，这是由于脉冲数增加使得优化模型的设计自由度增加，使得优化模型可以达到更低的目标函数值，从而得到性能更好的序列设计结果。值得注意的是，这种变化规律对于信噪比损失约束同样适用。

表2 互补序列和接收滤波器模糊函数旁瓣峰值和实际信噪比损失(dB)Tab.2 Peak sidelobe levels and actual SNR losses of the ambiguity functions of complementary sequences and receiving filters (dB)

表3 ISRJ信号和接收滤波器模糊函数峰值(dB)Tab.3 Peak levels of the ambiguity functions of ISRJ signals and receiving filters (dB)

4.2 抗ISRJ性能评估

本小节将对设计的互补序列集和接收滤波器集在多运动目标和多干扰机场景下的性能进行分析，仿真参数如表4所示，假设两个干扰机具有相同的干扰参数，且该场景中的信噪比和信干比均以目标1的目标雷达散射截面积(Radar Cross Section,RCS)为参考，即以=0 dB为参考。选取文献[14]和文献[16]中的抗ISRJ算法进行对比分析，3种算法的波形参数均为带宽B=25 MHz，脉宽T=20 µs，并且对于文献[16]算法，将其信噪比损失设置为µ=1.0 dB。由于文献[14]算法无法控制非匹配滤波器的信噪比损失，因此这里不对其进行约束。图3为不同算法的脉压输出结果，从图3(a)可以看出，在本文的仿真场景下，文献[14]方法产生了很多假目标，这对于弱目标的检测造成了很大影响。相比于文献[14]方法，文献[16]方法对假目标实现了有效抑制，其脉压输出干扰峰值和弱目标脉压输出相差约7dB。相比之下，本文方法的脉压输出具有最低的旁瓣峰值，在K=2,µ=1.0 dB时，脉压输出干扰峰值和弱目标脉压输出相差约10 dB。并且，随着脉冲数增加，干扰峰值低于−30 dB，原因在于，本文方法利用了多脉冲的互补特性，从而实现了更好的相干性能和抗干扰性能。

图3 干扰场景下脉压输出结果Fig.3 The pulse compression outputs in the jamming scene

进一步对表4场景下不同信干比和信噪比条件下本文方法的脉压输出性能进行了验证，为了避免噪声带来的随机性，对于每种信干比和信噪比参数进行了500次蒙特卡罗仿真，图4为多次仿真结果的干扰峰值均值和标准差。需要在指出的是，对于图4(a)，信噪比固定为SNR=15 dB，对于图4(b)，信干比固定为SJR=−15 dB。

表4 干扰场景仿真参数Tab.4 Simulation parameters of the jamming scene

从仿真结果图4(a)可以看出，当信干比足够高时，不同参数体制下旁瓣峰值均随着信干比的增加基本保持不变，从旁瓣峰值的标准差可以看出，对于每次仿真而言，旁瓣峰值具有一定程度的波动，这是由于此时的旁瓣峰值主要由信噪比和目标回波脉压旁瓣决定；当信干比较低时，旁瓣峰值波动较小，这是由于此时的旁瓣峰值主要由干扰信号的脉压旁瓣峰值决定。此外，如预期一样，随着信干比的降低，具有高设计自由度组合的收发序列具有更低的干扰峰值，即具有更好的抗干扰性能。

由图4(b)可知，当信噪比较低时，随着信噪比的降低，旁瓣峰值逐渐升高，且对于每次蒙特卡罗仿真，旁瓣峰值具有一定程度的波动，当信噪比为SNR=−10 dB时，旁瓣峰值和弱目标峰值相当，此时会影响对弱目标的检测；当信噪比足够高时，随着信噪比的提升，旁瓣峰值基本保持不变，这是因为此时接收机脉压输出的旁瓣峰值主要由目标回波脉压输出和干扰回波脉压输出旁瓣共同决定；在信噪比为SNR=0 dB时，各参数体制下旁瓣峰值均低于−18 dB，可以满足该场景下的检测需求。

图4 不同信干比和信噪比条件下下本文方法脉压输出干扰峰值Fig.4 The jamming peak of the pulse compression output of the proposed method with different SJRs and SNRs

4.3 参数敏感性分析

从前面的分析可以看到，在获取干扰机参数的先验信息基础之上，利用本文方法可以对ISRJ实现有效的抑制。为了进一步评估本文方法性能，本节将分析所提方法的性能对ISRJ两个关键参数的敏感性，即ISRJ采样重复周期和采样占空比。选择4.1节针对fJ=200 kHz (即ISRJ采样周期为5 µs)，D=0.2参数所设计的结果作为雷达的发射波形和接收滤波器，其中脉冲数和信噪比损失选择为K=2,4,6,µ=1.0 dB。

图5(a)为固定ISRJ采样周期为5 µs，即fJ=200 kHz时，不同采样占空比条件下干扰信号和接收滤波器的零多普勒理论脉压输出峰值。从中可以看出，当ISRJ占空比低于0.2时，干扰信号的脉压峰值约在−35 dB以下，当占空比大于0.2时，随着占空比的增加，干扰峰值逐渐增加，这意味着当ISRJ实际占空比小于预设值时，本文方法性能对占空比不敏感。据此，可以增加预设的占空比值来获取更大的对占空比不敏感区间。在实际应用中，干扰机的最大占空比一般小于D=0.5，因此，为了进一步验证占空比对本文方法性能的影响，我们利用表1所示方法设计得到了针对fJ=200 kHz(即ISRJ采样周期为5 µs)，D=0.5的抗干扰波形，其中由于占空比较大，ISRJ信号和目标信号的相似度更高，为了获得更大的优化设计自由度，达到更好的抗干扰性能，将脉冲数和信噪比损失选择为K=2,4,6,µ=3.0 dB，其余参数同4.1节，图5(b)为该参数下所设计收发序列在不同采样占空比条件下干扰信号和接收滤波器的零多普勒理论脉压输出峰值，从中可以看出，即使在预设干扰占空比为D=0.5时，在损失一定信噪比的条件下，本文方法仍旧可以对占空比小于D=0.5的干扰形成有效的抑制，干扰脉压输出旁瓣大部分在−30 dB以下，进一步验证了本文方法在工程上的实用性。

图5 不同干扰参数下ISRJ信号脉压输出峰值Fig.5 The peak of the pulse compression output of the ISRJ signals under different jamming parameters

图5(c)为固定ISRJ占空比为D=0.2时，不同采样重复周期条件下干扰信号和接收滤波器的零多普勒理论脉压输出峰值。观察可得，随着重复周期偏离预设值，干扰峰值逐渐增加，并且在ISRJ重复周期大于5.1 µs和小于4.9 µs时，干扰信号脉压峰值高于−25 dB，这表明本文方法的性能对于ISRJ的重复周期较为敏感，实际应用时对ISRJ的重复周期估计具有精度要求。

5 结束语

对于抗间歇采样转发干扰问题，在获取干扰机的干扰参数先验信息的前提下，本文提出了一种基于多脉冲互补序列和接收滤波器联合设计的抗干扰方法。在问题模型中考虑了发射波形的恒模约束、非匹配滤波体制带来的信噪比损失约束以及目标运动对抗干扰性能的影响，并提出了一种基于MM方法的交替迭代算法解决提出的非凸优化问题。仿真实验表明，相比于现有方法，本文方法在保持较好的相关性能的同时能更为有效地抑制干扰。需要指出的是，由于本文方法采用了互补序列作为发射波形，即需要多脉冲联合处理，因此要求多脉冲之间保持良好的相干性，这就使得在互补序列所对应的多个PRT之间，观测目标和干扰机的散射特性需要保持稳定，在实际应用中可以根据观测场景灵活调整互补序列脉冲数，从而满足其应用边界条件。另外，由于本文的关键在于解决非凸约束下的优化问题，未来的工作可能集中于寻找更为高效的非凸优化算法，提升本文方法的实时性。