用“点差法”解题，切记严谨

2022-04-29甘志国

中学数学·高中版 2022年10期

关键词：斜率

摘要：“点差法”是平面解析几何的一种重要解题方法，特别是在求圆锥曲线的中点弦所在直线的斜率时很简洁且程序化，备受青睐.但本文中阐述了“用‘点差法解题，切记严谨”的观点，还指出了众多文献给出的“二次曲线中点弦所在直线的方程”的求法欠严谨，并给出了二次曲线的另一种分类方法及其结果.

关键词：点差法;平面解析几何;中点弦;斜率;切记严谨;二次曲线的一种分类

1 引言

“点差法”是平面解析几何的一种重要解题方法，特别是在求圆锥曲线的中点弦所在直线的斜率时很简洁且程序化，备受青睐.但笔者欲阐述的观点是：用“点差法”解题，切记严谨！

2 用“点差法”解题，切记严谨

题1 （山东省烟台市2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学试题第14题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，过点M（-1，1）且斜率为12的直线交椭圆C于A，B两点.若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程是 .

命题者给出的参考答案如下：

解：x22+y2=1.设两点A（x1，y1），B（x2，

y2），可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，把它们相减后可得

（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

b2（x1+x2）（x1-x2）=-a2（y1+y2）（y1-y2） ①

y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2 ②

再由题设“直线AB的斜率为12，M（-1，1）是线段AB的中点”，得12=-b2a2·2×（-1）2×1，即a2=2b2.

又由题设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点（1，0）重合，可得a2=b2+1，进而可求得a2=2，b2=1，所以椭圆C的方程是x22+y2=1.

分析：由①到②必须先说明②中的两个分母均不为0.若x1=x2或y1=-y2，则均可得该椭圆上的两点A，B关于x轴对称，这与“点M（-1，1）是线段AB的中点”矛盾！所以②成立.

另外，“点差法”是建立在两点A，B均存在即直线AB与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交的前提下，但过点M（-1，1）且斜率为12的直线即直线x-2y+3=0与求出的椭圆x22+y2=1是否相交，还要检验[1][2].事实上，经检验知该直线与该椭圆不相交，所以满足题设的椭圆C的方程是不存在的.

题2 （1992年全国高考理科卷第28题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）.

证明：-a2-b2a

解：设两点A（x1，y1），B（x2，y2），同题1的“解”可得②成立，所以

线段AB的垂直平分线方程为

y-y1+y22=a2（y1+y2）b2（x1+x2）x-x1+x22 ③

由线段AB的垂直平分线过点P（x0，0），可得

-y1+y22=a2（y1+y2）b2（x1+x2）x0-x1+x22 ④

x0=x1+x22·a2-b2a2 ⑤

又因为-a

分析：由“线段AB的垂直平分线与x轴相交”可得直线AB的斜率存在，所以②在这里成立（但在解题过程中应交代清楚）.

当且仅当直线AB的斜率不为0即x1+x2≠0时③成立，从④推得⑤还要说明y1+y2≠0.当然这可由⑤成立（但在解题过程中应有所交代），此时以上解答正确.

当直线AB的斜率为0即x1+x2=0时，由椭圆的对称性及“线段AB的垂直平分线过点P（x0，0）”可得x0=0，此时欲证结论也成立.

综上所述，可得欲证结论成立.

题3 [《普通高级中学教科书·必修·数学·第二册（上）》（人民教育出版社，2006）第133页第7题的反问题]设直线l与抛物线y2=2px相交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若y1y2=-p2，求证：直线l过该抛物线的焦点.

证明：由题意得y21=2px1，y22=2px2，把它们相减后可得

（y1+y2）（y1-y2）=2p（x1-x2） ⑥

y1-y2x1-x2=2py1+y2 ⑦

得直线l的方程是y-y1=2py1+y2（x-x1），即

y=2py1+y2x-y21y1+y2+y1，

y=2py1+y2x+y1y2y1+y2，

y=2py1+y2x-p2y1+y2，

y=2py1+y2x-p2.

所以直线l过抛物线y2=2px的焦点p2，0.

分析：由⑥不一定能得到⑦.

当⑦成立时，以上证明正确.当⑦不成立即x1=x2或y1=-y2，以及x1=x2且y1=-y2（此时直线l的斜率不存在）时，由y1y2=-p2可得x1=x2=p2，也得直线l过抛物线y2=2px的焦点p2，0.

综上所述，可得欲证结论成立.

总之，用“点差法”解题，切记严谨：

（1）把等积式变成比例式时（比如把①变成②，⑥变成⑦），要注意分母不为0（若分母的值为0，则中点弦所在直线的斜率不存在，须另行研究，比如题3）;

（2）除非题设中有“中点弦所在的直线与圆锥曲线交于不同的两点”（比如题2与题3），否则要检验中点弦所在的直线与圆锥曲线确实交于不同的两点（比如题1）;

（3）遇到中点弦的垂线问题时，中点弦所在直线的斜率为0的情形要单独讨论，因为此时中点弦的垂线的斜率不存在（比如题2）.

3 众多文献给出的“二次曲线中点弦所在直线的方程”欠严谨

定理1[3][4] 设f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Dx+Ey+F（A2+B2+C2≠0），若P（x0，y0）是二次曲线f（x，y）=0的弦P1P2的中点，则直线P1P2的方程是

Ax0x+B·x0y+xy02+Cy0y+D·x0+x2

+E·y0+y2+F=f（x0，y0）⑧

证法1[3]：设点P1（X，Y），由P（x0，y0）是弦P1P2的中点，可得点P2（2x0-X，2y0-Y）.再由两点P1，P2均在二次曲线f（x，y）=0上，可得

AX2+BXY+CY2+DX+EY+F=0，

A（2x0-X）2+B（2x0-X）（2y0-Y）+C（2y0-

Y）2+D（2x0-X）+E（2y0-Y）+F=0.

把它们相减后再除以4，可得

A（x0X-x0）2+Bx0Y+Xy02-x0y0+C（y0Y-y0）2+Dx0+X2-x0+Ey0+Y2-y0=0.Ax0X+B·x0Y+Xy02+Cy0Y+D·x0+X2+E·y0+Y2+F=f（x0，y0）.

由此可验证两点P1（X，Y），P2（2x0-X，2y0-

Y）均在直线⑧上，再由“两点确定一直线”可得欲证结论成立.

证法2[4]：设两点Pi（xi，yi）（i=1，2），由P（x0，

y0）是弦P1P2的中点，可得x1+x2=2x0，y1+y2=

2y0.再由两点P1（x1，y1），P2（2x0-x1，2y0-y1）均在二次曲线f（x，y）=0上，可得

Ax21+Bx1y1+Cy21+Dx1+Ey1+F=0，

A（2x0-x1）2+B（2x0-x1）（2y0-y1）+C（2y0-y1）2+D（2x0-x1）+E（2y0-y1）+F=0.

把它们相减后，可得

（2Ax0+By0+D）（x1-x0）+（Bx0+2Cy0+E）·

（y1-y0）=0⑨

再由（x0-x1，y0-y1）是直线P1P2的一个方向向量，可得直线P1P2的一个法向量是（2Ax0+By0

+D，Bx0+2Cy0+E），进而可求得直线P1P2的方程是（2Ax0+By0+D）（x-x0）+（Bx0+2Cy0+

E）（y-y0）=0即⑧.

推论1[3] 椭圆x2a2+y2b2=1以点（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程是x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2.

推论2[3] 双曲线x2a2-y2b2=1以点（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程是x0xa2-y0yb2=x20a2-

y20b2.

推论3[3] 抛物线y2-2px=0以点（x0，

y0）为中点的弦所在直线的方程是y0y-

2p·x0+x2=y20-2px0;抛物线x2-2py=0的以点（x0，y0）为中点的弦所在直线的方程是x0x-

2p·y0+y2=x20-2py0.

分析：由题文[5]例7（1）及例8（1）的结论可知定理1[3][4]、推论1～3[3]均欠严谨，因而，它们相应的证法1[3]、证法2[4]也均欠严谨.下面再给予分析.

“定理1[3][4]”及其“证法1[3]”必须建立在“关于x，y的方程⑧确实表示直线”（即

2Ax0+By0+D=0，Bx0+2Cy0+E=0 B10

不成立）、“直线⑧与二次曲线f（x，y）=0确实是交于两个不同的点P1，P2”（否则不能得出“两点确定一直线”）这两个前提下才是正确的，否则不正确.

“定理1[3][4]”及其“证法2[4]”必须建立在“直线P1P2的一个方向向量（x0-x1，y0-y1）不是0”[即Pi（xi，yi）（i=1，2）确实是两个不同的点]、“直线P1P2的一个法向量（2Ax0+By0+D，Bx0+2Cy0

+E）不是0”（即B10不成立）及“关于x，y的方程⑧确实表示直线”（即⑨不成立）这三个前提下才是正确的，否则不正确.

由定理1[3][4]或推论1[3]可得：椭圆4x2+y2-1=0以坐标原点为中点的弦所在直线l的方程是0x+0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由文[5]例7（1）及（3）（i）的结论，可得直线l的方程是αx+βy=0（α，β是不同时是0的常数）].由定理1[3][4]或推论2[3]可得：双曲线4x2-y2-1=0以坐标原点为中点的弦所在直线l的方程是0x-0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由文[5]例7（1）及（4）（i）的结论，可得直线l的方程是y=kx（-2

注：若“关于x，y的方程⑧确实表示直线”（即⑨不成立）、“直线⑧与二次曲线f（x，y）=0确实是相交于两个不同的点”，则定理1[3][4]正确.

定理2[4] 若f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Dx+Ey+F（A2+B2+C2≠0），则二次曲线f（x，y）=0在点P（x0，y0）处切线方程是

Ax0x+B·x0y+xy02+Cy0y+D·x0+x2+

E·y0+y2+F=0 B11

证明[4]：当二次曲线f（x，y）=0的弦P1P2的两个端点Pi（xi，yi）（i=1，2）重合即三点P1，P，P2重合时，直线P1P2就是曲线f（x，y）=0在点P（x0，y0）处切线.再由f（x0，y0）=0及定理1[3][4]，可得欲证结论成立.

分析：因为定理2[4]的证明[4]是建立在定理1[3][4]的前提下的，而定理1[3][4]不严谨，所以定理2[4]及其证明[4]均不严谨.

由定理2[4]可得：二次曲线y2=0在坐标原点处的切线l的方程是0y=0[而该方程不表示直线.事实上，由导数的几何意义可知直线y=kx+b（k，b均是常数）在该直线上任意一点处的切线均是该直线本身，可得切线l的方程是y=0].由定理2[4]可得：二次曲线x2-y2=0在坐标原点处的切线l的方程是0x-0y=0[而该方程不表示直线.笔者还不能断定切线l的方程是什么.有两种想法：（1）由二次曲线x2-y2=0以坐标原点为中点的弦所在直线是y=x或y=-x及“当中点弦两个端点重合时的中点弦所在直线是切线”（参见定理2[4]的证明[4]），可认为切线l的方程也是y=x或y=-x;（2）由曲线y=x在坐标原点处的切线不存在及曲线x2-y2=0与曲线y=x的联系，可认为切线l不存在].

注：若“关于x，y的方程B10确实表示直线”（即B10不成立）、“直线B11与二次曲线f（x，y）=0确实相切”，则定理2[4]正确.

定理3[4] 设f（x，y）=Ax2+Bxy+Cy2+

Ey+F（A2+B2+C2≠0），若从点P（x0，y0）能作二次曲线f（x，y）=0的两条切线且切点均唯一，则由两个切点确定的直线方程是

Axix0+B·xiy0+x0yi2+Cyiy0+D·xi+x02+

E·yi+y02+F=0（i=1，2）.

证明：设两个切点分别是Pi（xi，yi）（i=1，2），由定理2[4]可得二次曲线f（x，y）=0在点Pi（i=1，2）处的切线方程是

Axix+B·xiy+xyi2+Cyiy+D·xi+x2+E·yi+y2+F=0（i=1，2）.

由点P（x0，y0）同时在这两条切线上，可得

Axix0+B·xiy0+x0yi2+Cyiy0+D·xi+x02+E·yi+y02+F=0（i=1，2）.

所以两点Pi（xi，yi）（i=1，2）均在直线B11上，再由“两点确定一直线”可得欲证结论成立.

注：由定理1[3][4]及定理2[4]的“注”可知，定理3[4]及其证明均是严谨的.

4 二次曲线的另一种分类方法及其结果