精选典型例题 构建知识体系 深化思想方法

刘烨烨

摘要：高三数学复习课是提升学生能力、培养核心素养的重要阶段.本文中通过“立体几何中点、直线、平面位置关系综合”的具体案例，提出高三复习课要精选例题;通过典型例题与典型方法串联知识，形成知识网络，深化数学思想方法.

关键词：高三数学;立体几何; 典型例题; 知识体系; 核心素养

1 引言

高三数学复习课不仅要帮助学生全面回顾知识，而且能够将零散的知识整合起来，构建知识网络，使知识系统化、条理化;加强学生多元、多层面地运用知识并能适当地迁移，从而提升数学核心素养.高三复习课对教师的选题、讲题及总结等能力都提出了较高的要求.

本节课以“立体几何点、直线、平面面位置关系综合”为例，谈谈如何在精选例题的基础上，帮助学生建构知识体系，提升解决问题的能力.

2 精选例题，突出核心

一轮复习是学生查漏补缺的时机，更是教师了解学生学习情况的重要环节.数学复习课定位要准确，教师要掌握学生的薄弱环节，精选例题，加强知识板块的综合应用，提高一轮复习效果.以下列立体几何综合题为例进行分析.

例1 如图1，四棱台ABCD-EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH=DH=12AD=1.

（1）求证：AE∥平面BDG;

（2）若平面BDG∩平面ADH=m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值.

学生比较熟悉以柱、锥为载体的立体几何问题，对以棱台为知识背景的题型会比较生疏.本题以棱台为载体，研究棱台中的线面关系，图形新颖.第（1）小题考查线面关系，需要学生掌握棱台的结构特征以及平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，蕴含着丰富的信息.第（2）小题考查线面角，以两面交线为解决问题的突破口，方法灵活，思维要求较高，为不同层次的学生提供了想象空间和思考平台.

解析：（1）如图2，连接AC与BD交于点O.因为ABCD-EFGH是四棱台，所以平面ABCD∥平面EFGH，且AE，CG交于一点，即A，E，G，C四点共面.因为平面ABCD∩平面AEGC=AC，平面EFGH∩平面AEGC=EG，所以AC∥EG.又因为EG=AO=2，所以四边形AEGO是平行四边形.所以AE∥OG.又AE平面BDG，OG平面BDG，所以AE∥平面BDG.

（2）法1：由DH⊥平面ABCD， AD⊥DC，建立DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DH所在直线为z轴的空间直角坐标系Dxyz（如图3），则D（0，0，0），B（2，2，0），G（0，1，1），C（0，2，0）.设平面BDG、平面ADH、平面BCG的法向量分别为n1，n2，n3.由n1·DB=0，n1·DG=0，可取n1=（1，-1，1）.同理n2=（0，1，0），n3=（0，1，1）.又因为平面BDG∩平面ADH=直线m，设n=（x，y，z） ，所以n1·n=0，n2·n=0，取n=（1，0，-1）.设直线m与平面BCG所成的角为α，则

sin α=|cos〈n3，n〉|=|n3·n|n3||n||=12.

法2：把直线m转化为直线GO或直线AE.因为AE∥平面BDG，AE平面ADH，平面ADH∩平面BDG=m，所以AE∥ m.又OG∥AE，所以OG∥m.题意即可转化为求直线OG与平面BCG所成角的正弦值.

设点O到平面GBC的距离是h，

由VG-OBC=VO-GBC，可得

13SOBC=13·h·S△BCG.又因S△OBC=1，S△BCG=2，所以

h=22.设直线OG与平面BCG所成角的正弦值为sin θ，则sin θ=hGO=222=12.

所以，直线m与平面BCG的成角的正弦值为12.

法3：如图4，延长EH到点M，使EH=HM，连结HF，所以HM与FG平行且相等，则MG∥HF，又HF∥DO，所以直线MG∥直线DO，从而直线DM即为直线m.以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DH所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则M（-1，0，1），DM=（-1，0，1），CB=（2，0，0），CG=（0，-1，1），平面BCG的法向量n=（0，1，1）.设直线m与平面BCG所成角的正弦值为sin θ，则sin θ=|cos〈n，DM〉|=12.

3 挖掘价值，构建体系

高三复习课要避免以题讲题的形式，教师要以例题作为载体，揭示数学本质，贯通学生的知识主线，提高学生分析问题、解决问题的能力. 立体几何着重考查点、直线、平面位置的判断与证明.例1第（1）小题运用了两个平面平行的性质定理证明线线平行.第（2）小题交线m在图形中找不到，法1使用向量法把立体几何的证明与计算都转化为向量的计算问题，计算交线m方向向量的坐标，使复杂问题简单化;法2运用直线与平面平行的性质定理找到与交线m平行的直线;法3运用平面的性质找到交线m.虽然综合法对理性思维要求较高，但它能很好地锻炼学生的逻辑思维能力与空间想象能力.本题第（2）问层层深入，由易到难，从不同角度解决平面交线问题.教师带领学生构建解决问题的知识结构，从方法上启发和引导学生思考问题，有效提升学生直观想象、逻辑推理及数学运算等素养.帮助学生回顾反思立体几何的知识结构（如图5），归纳总结常见的思想方法.

4 注重转化，形成品质

立体几何在线面位置关系的证明中，始终体现在线线、线面、面面的平行或垂直之间的转换，体现了对学生直观想象与逻辑推理素养的考查.转化与化归思想贯穿立体几何的始终，树立空间向平面转化，平面中点与点、线与线的转化思想，简化问题，帮助学生形成解决问题的良好品质.

例2 如图6，一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新的几何体，对于该新几何体，则正确的结论有（   ）.

A.AF∥CD

B.AF⊥DE

C.新几何体有7个面

D.新几何体的六个顶点不能在同一个球面上

解：如图7，作BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AG，GH，AH.由所有的棱长都相等，可知BC⊥FG，BC⊥AG，BC⊥GH.则BC⊥平面AFG，BC⊥平面AGH，且平面AFG，AGH有公共点G，而经过一点与已知直线垂直的平面有且仅有一个，所以四点A，F，G，H共面.又由AF=HG，FG=AH，则四边形AFGH是平行四边形.所以AF∥GH.又GH∥CD，所以AF∥CD，即A，F，C，D共面.所以新几何体是一个斜三棱柱，没有外接球.故选答案：ABD.

点评：突破新几何体中线面关系的核心是证明A，F，C，D四点共面.将A，F，C，D四点的关系转化为A，F，G，H四点的关系，这对学生的转化能力提出了比较高的要求.

例3 （2019年北京卷理）如图8，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13.

（1）求证：CD⊥平面PAD;

（2）求二面角F-AE-P的余弦值;

（3）设点G在PB上，且PGPB=23，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又因为AD⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.

（2）如图9，过A作AD的垂线交BC于点M.

因为PA⊥平面ABCD，且AM，AD平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.

则AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2）.

PF=13PC=23，23，-23.

AF=AP+PF=23，23，43.

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则

n·AE=0，n·AF=0，

即y+z=0，23x+23y+43z=0.

令z=1，则y=-1， x=-1.于是n=（-1，-1，1）.

又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以cos〈n，p〉=n·p|n‖p|=-33.

由题意知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为33.

（3）法1：如图10，取PG的中点M，PA的中点H，连接MH.因为易证GA∥MH，MH∥FE，所以GA∥FE，且点A在平面AEF内，所以AG在平面AEF内.

法2：如图9，建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2），PF=13PC=23，23，-23.

又AF=AP+PF=23，23，43，PG=23PB=43，-23，-43，所以AG=AP+PG=43，-23，23.

设AG=xAF+yAE，则x=2，y=-2，即AG=2AF-2AE，且AF，AE有公共点A，所以AG在平面AEF内.

法3：如图9， 设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），由n·AE=0，n·AF=0，可取n=（-1，-1，1）.

因为AG=AP+PG=43，-23，23， 所以AG·n=0.又点A在平面AEF内，所以直线AG在平面AEF内.

点评：本题以四棱锥为背景考查线面关系，图形并不复杂，线面关系比较容易证得.第（3）小题要利用空间向量解决探索性问题，判断直线在平面内的方法很多.法1使用常见的平行线确定平面并利用公共点的特征证明直线在平面内;法2用平面向量基本定理证明线在面内，为学生提供了再次回顾基本概念的机会;法3利用直线的方向向量与平面法向量的关系证明线面平行，又因为直线与平面有公共点A，所以证明了直线在平面内.

例4 （2021年新高考Ⅰ卷＼520）如图11，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.证明：（1）OA⊥CD;（2） 若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

解析：（1）在△ABD中，因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO在平面ABD内，所以AO⊥平面BCD，又CD平面BCD，所以AO⊥CD.

（2）如图12，过点E作EG⊥BD于点G，GM⊥BC于点M，连接EM.因为AO⊥平面BCD，EG∥AO，所以EG⊥平面BCD.

又△OCD是边长为1的等边三角形，则OD=OB=OC=1，所以∠BCD=90°，即DC⊥BC.所以GM∥CD.又BC⊥EM，BC⊥GM，所以∠EMG是二面角E-BC-D的平面角，即∠EMG=45°.

又因为DE=2EA，所以MG=23CD=23，则EG=23，AO=1.

所以VA-BCD=13SΔBCD·AO=13×12×1×3×1=36.

点评：新高考数学Ⅰ卷第20题，题型比较常规，综合法比空间向量法更有优势，计算方便，重点考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，紧扣考试大纲，重视基本定义和定理的考查.教师在教学时要突出通性、通法，强化数学运算，挖掘知识间的内在联系，淡化套路式解题模式，发展学生数学思维.

5 复习建议

5.1 立足教材，回归本质

高中数学是有机而统一的整体课程，教师要充分理解数学课程的基本理念、目标定位和内容架构.在复习课中，教师要帮助学生梳理教材中的公理、定理与性质，抓住数学本质，能熟练掌握立体几何中线线、线面、面面相关知识的转化.教师要引导学生注重概念的学习，对教材题型要适当地变形、拓展，提高学生解决问题的灵活度.

5.2 精选精讲，形成体系

专题复习对教师的备课要求较高，教师要充分了解学生的学习情况，少重复学生已熟练掌握的知识点，多重视薄弱环节及知识交汇处，突出重点，突破难点.通过对例题的精选、精讲、精练，帮助学生归纳知识体系，形成知识网络，帮助学生在解决具体问题的过程中积累与总结经验，感悟数学思想，提升解决问题的能力.

5.3 优选方法，提升素养

专题复习中针对题型要突出解题方法，由“一题一解”拓展到“一题多解”或“多题一解”.特别是一题多解的情况下要追求最优法.解决问题后要有方法归纳、知识总结和思想渗透，通过对典例的分析和解决问题的过程，充分挖掘题型蕴含的思维价值.立体几何教学中除了公式、定理的应用外，还要注重对学生的空间感、转化思想、几何直观及运算能力的培养，从而提升学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张培强，魏贤刚.2020年高考“立体几何”专题命题分析[J].中国数学教育，2020（10）：41-47.

[3]朱小东.核心素养下高三数学复习课教学研究[J].数学教学通讯，2021（9）：55-56.

[4]曹红.借助高三复习课堂，落实数学核心素养[J].中学数学，2021（1）：15-16.