放缩法在导数中的应用

李鑫

近年来，高考题或模考题的导数压轴题中的函数往往是指数函数、对数函数或者指对数并存的超越函数，主要考察零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向。如果利用常规方法处理，直接构造出的函数，有时候需要多次求导，求最值比较困难，可能涉及到隐零点设而不求的思想方法。同学们往往感觉很吃力。

2022年广东省一模的第21题是导数问题，涉及到了利用已证结论放缩的思想判断零点的个数问题。很多同学做得不够理想。如果同学们掌握放缩法，对常见的不等式放缩有一定的积累，便可以将复杂的函数转化为较为简单的函数。放缩法较为灵活，同学们要能够根据不等式的结构特征选择适当的方法。

本文，我将给同学们介绍三种常见的放缩思路：利用常见的不等式结论放缩、利用参数范围局部放缩、利用已证结论放缩。

类型一：利用常见的不等式结论放缩

常用的不等式：

指数放缩：①                ;②            （                        为函数           图象的两条切线）;

对数放缩：①                             ;②               ;③                  ;

（                         为函数              图象的两条切线）

指对放缩：

问题1：已知函数                               ，证明：

观察函数结构，函数中有指、对结构，利用不等关系        ，得                       ，使问题简化.

解：

当                有解时，等号成立.

变式1：已知函数                                               当          时，函数               满足：对任意                 ，都有                               恒成立，求实数    的取值范围.

思维点拨：

恒成立问题回顾常用的方法有分离参数、含参讨论单调性等，首选办法是分离参数构造函数求最值，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，观察函数结构，函数中有指、对结构，利用不等关系              ，得                         ，使问题简化。

解：当           时，                                                                              ，

即                                恒成立求                               的最大值

此处需要证明不等式

在           上是增函数，

且                          ，                  ，故存在                  使得                     成立，

∴ 等号成立，      能取得最大值    ，即    的取值范围是               .

方法总结：如果构造出来的函数结构比较复杂，可以考虑运用常见不等式进行放缩，从图象的角度看，是以直代曲，同时注意恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到。

类型二：利用参数范围局部放缩

问题2：已知函数                            ，证明：         时，              .

思维点拨：

已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，想到利用参数的范围对参数进行局部放缩。求不含参函数的最值较为简单。

解：

（这两个不等式需要证明才能用）

放缩取等号的条件一致都是

变式2. 已知函数                             当          时，证明：

（2）证明：当         ，                 时，

令                        ，则                      ，当          时，                        ，

在            上单调递增，                                                           ，

即               ，

设                                       ，则                    ，当              时，             ，     单调递减;当        时，            ，      单调递增，                                 ，

而上式三个不等号不能同时成立，故

方法总结：不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，进行局部放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式。

类型三：利用已证结论放缩

问题3：已知函数                             ，         （                     即自然对数的底数）。

（1）若函数         在           上是单调减函数，求实数   的取值范围;

（2）在（1）的条件下，当           时，证明：

思维点拨：

这是一道数列型不等式问题，通常借助于第一问的结论对   的通项公式进行放缩，便于求和。注意观察    的结构，进行恰当的放缩。

解：（1）由题意得                                              即         恒成立             ，故 实数   的取值范围为            ;

（2）由（1）得当         时，        单调递减，                                              ，

可得                 ，          ，令                 ，则                        ，

即                                                            ，

对任意的           成立.

方法总结：函数中证明与  有关的求和问题，或数列不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用已证结论进行放缩，化繁为简。

导数解答题中，函数多以    、      型的函数与其他函数结合的形式出现，当然也有一些是与三角函数相结合的问题。如果同学们掌握了一定的放缩方法和技巧，就能将难以处理的函数转化为较为简单的函数。放缩法是解决函数不等式的一个利器，但由于放缩法很灵活，选择适当的方法是关键一环。同学们在学习的过程中，要注意积累常见的不等结论，同时注意等号成立的条件。