具有时滞效应的(n-1,1)-型分数阶共轭多点边值问题的正解

彭 皓，柏仕坤

重庆师范大学数学科学学院，重庆,401331

近年来由于分数阶模型更能准确地模拟现实世界的问题，从而掀起了研究的热潮。如在文献[1]中作者描述了对流扩散反应中的一个分数阶边值问题模型:

其中1<α≤2,0<ε≤1,γ∈,CDα是分数阶导数。分数阶微积分及其模型的详细介绍,可参考专著[2-4]。

另一方面,我们注意到时滞微分方程产生于物理和数学的许多领域。显然，与毫不迟延的方程相比，这种方程在一定程度上更准确地反映了物理现实。近年来许多学者致力于分数阶时滞方程的研究,参见文献[5-16] 及其所附参考文献。 例如在文献[5]中,作者借助度理论研究了如下分数阶时滞微分方程解的存在性、唯一性和多解性:

其中δ∈(1,2),Dδ是Riemann-Liouville型导数。

在文献[6]中，借助著名的Guo-Krasnoselskii不动点定理，作者获得了如下分数阶时滞问题正解的存在性:

其中3<β≤4,0

受以上文献的启发,本文借助不动点指数理论研究如下带有时滞效应的(n-1,1)-型分数阶共轭多点边值问题:

(1)

其中α∈(n-1,n] (n∈,

是α阶Riemann-Liouville分数阶导数，f,ai,ξi(i=1,2,…,m-2(m∈,m≥3))满足如下的条件:

(H1)f∈C([0,1]×+,+)

在非线性项满足超线性和次线性增长条件下，借助Green函数满足的一些不等式，获得该问题正解的存在性,并说明该方法亦适合于更为复杂的积分边值问题。

1 预备知识

定义1[2-4]函数f的α阶Riemann-Liouville分数阶导数为：

其中n=[α]+1,[α]是α的取整函数。

定义2[4]函数f的α阶Riemann-Liouville分数积分为：

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cNtα-N,ci∈,i=1,2,…,N,其中N是大于或等于α的最小整数。

首先计算出与(1)等价的积分方程。为此,先给出一个结论。

引理5[18]若α如问题(1)，令h(t)∈C[0,1]是一给定的函数,则边值问题(2)：

(2)

有唯一解，且可表示为:

其中

H(t,s)=

(3)

引理6若(H0)满足,α,h如引理5,则如下边值问题

有唯一解,且可表示为:

其中

(4)

证明根据引理4可得:

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n

在上式中代入t=1和t=ξi(i=1,2,…,m-2)可得:

解得:

注释7在文献[19]中,Bai考虑了问题(1)的特殊情形(α∈(1,2]):

(5)

其中βηα-1,η∈(0,1)。在该文中得到的格林函数是:

GBai(t,s)=

(6)

若β=0,则(5)退化成(2)(注意到此时j=0),结合引理5和引理6,比较这两个问题可得:

显然讨论函数H(t,s)即可得到较之更为复杂的函数GBai(t,s)的性质,此亦告诉我们不需要构造新的格林函数,只需在原有基础上添加扰动项即可研究较难的多点边值问题。

引理8[18]函数H有以下性质:

(R1)H(t,s)=H(1-s,1-t),t,s∈[0,1]

(R2)tα-1(1-t)s(1-s)α-1≤Γ(α)H(t,s)≤(α-1)s(1-s)α-1,t,s∈[0,1]

(R3)tα-1(1-t)s(1-s)α-1≤Γ(α)H(t,s)≤(α-1)tα-1(1-t),t,s∈[0,1]。

引理9令φ(t)=t(1-t)α-1,t∈[0,1],则

证明根据(4)和引理8,可得G满足如下不等式:

(7)

另一方面

(8)

由此可得:

根据引理6知问题(1)等价于方程(9):

(9)

若存在u(u∈C[0,1],u(t)>0,t∈(0,1])使得(9)中第二个等式成立,则该u是问题(1)的正解。从而以下寻求(9)正解的存在性。

令E:=C[0,1],‖u‖:=maxt∈[0,1]|u(t)|,P:={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1]},则(E,‖·‖)是一 Banach空间,P是E上的锥。

则P0也是E上的锥。

引理10A(P)⊂P0。

证明任意的u∈P,注意到G和f的非负性,由(7)可得:

2 正解的存在性

为了方便，先给出如下常数:

接着给出关于非线性项f的增长性条件:

定理14若(H0)-(H3)成立，则(1)至少有一个正解。

证明根据(H3),存在ε1>0,c1>0使得:

f(t,y)≥([α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε1)y-c1,∀y∈+,t∈[0,1]

(10)

定义集合M1={u∈P:u(t)=(Au)(t)+λφ(1-t),λ≥0,t∈[0,1]},往证集合M1是P中的有界集。 事实上,若u∈M1,则结合(10)有:

注意到φ(1-t)∈P0,从而由引理10知:若u∈M1,则u∈P0，因而有

(11)

为分析(11),运用引理13可计算该式中的积分:

注意到d1的定义,解(11)可得:

(12)

i(A,BR1∩P,P)=0

(13)

另一方面,由 (H3) 知存在ε2∈(0,ωα2Γ2(α)×[κ2MτΓ(2α+2)]-1),r1∈(0,R1)使得:f(t,y)≤(d2-ε2)y,∀y∈[0,r1],t∈[0,1],其中d2=ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1,R1由(13)定义。 下证:

u≠λAu,∀u∈∂Br1∩P,λ∈[0,1]

(14)

事实上,若(14)式不成立,则存在u∈∂Br1∩P,λ∈[0,1]使得u=λAu。

从而

在上式两端同时乘以φ(t),并在0到1上积分，由引理9可得:

注意到引理10,有:

i(A,BR1∩P,P)=1

(15)

结合(13)和(15),可计算得:

定理15若(H0),(H1),(H4),(H5)成立,则(1)至少有一个正解。

证明根据(H4)存在ε3>0,r2>0使得:

f(t,y)≥([α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε3)y,y∈[0,r2],t∈[0,1].

令d3=[α(α+1)ωκ1Nτ]-1+ε3,下证。

(16)

其中φ(t)=φ(1-t),t∈[0,1]。 事实上,若(16)不成立,则存在u∈∂Br2∩P,λ≥0使得:

在上式两端同时乘以φ(t),并在0到1上积分，借助引理9可得:

i(A,Br2∩P,P)=0

(17)

另一方面,将证明集合M2={u∈P:u=λAu,λ∈[0,1]}是P中的有界集。 根据(H5)存在ε4∈(0,ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1),c2>0使得:

f(t,y)≤(ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1-ε4)y+c2,y∈+,t∈[0,1]。

令d4=ωα2Γ2(α)[κ2MτΓ(2α+2)]-1,若u∈M2则有:

在上式两端同时乘以φ(t),并在0到1上积分,运用引理9可得:

解此不等式可得:

u≠λAu,u∈∂BR2∩P,λ∈[0,1],

从而根据不动点指数的同伦不变性(引理12)可得:

i(A,Br2∩P,P)=1

(18)

结合(17)和(18),可计算得:

注释16:(i) 若考虑的问题没有时滞(即(1)中的τ=0),定理14和定理15仍然成立。

(ii)可以将问题(1)中的ξi(i=1,2,...,m-2)重新排序,则可知:

此处的积分被称作Riemann-Stieltjes积分。 鉴于此,本文虽是研究多点边值问题，但对于积分边值问题亦是适用的。

3 结 论

本文运用不动点指数理论研究带有时滞效应的(n-1,1)-型分数阶共轭多点边值问题正解的存在性，通过研究发现若将时滞效应看成原问题的扰动，进而可以使用非线性项超线性增长和次线性增长条件获得该问题的正解，并且该结论可直接运用到无时滞效应的问题。最后，鉴于多点边值问题可以转化为Riemann-Stieltjes积分边值问题，所以这里的方法可以推广到研究分数阶积分边值问题的情形。