软土场地中不同Rayleigh阻尼模型的地震响应研究

钟岱辉孙文豪

(山东建筑大学 土木工程学院，山东 济南 250101)

0 引言

软土场地地震反应分析是岩土地震工程学领域的重要研究内容，是工程场地地震安全性评价的核心内容，也是确定地表地震动参数不可或缺的一部分[1]。软土场地地震反应分析主要有频域等效线性化和时域非线性两种方法[2-4]。

上述方法的根本差别在于阻尼模型的不同[5]。频域分析法常采用滞后阻尼模型，用等效线性化模拟土体的非线性特性，这种方法与频率无关。而时域分析法通常采用粘滞阻尼，粘滞阻尼通常采用瑞利阻尼(Rayleigh damping)模型。马俊玲[6]通过比较计算7种不同Rayleigh阻尼的取值在时域和频域中的结果，发现目标频率是影响Rayleigh阻尼系数的主要原因。与频域分析法不同，时域中的Rayleigh阻尼是与频率相关的[7-8]。孙强强等[9]发现不同Rayleigh阻尼在场地地震反应中对加速度反应谱和加速度有一定的影响，而输入地震动的频谱特性决定了其影响程度。许紫刚等[10]提出了一种新的Rayleigh阻尼系数确定方法，即改进完整形式的瑞利阻尼，并对比研究了不同Rayleigh阻尼对场地地震反应分析的影响。

文章介绍了Rayleigh阻尼的基本理论，利用一维场地地震反应分析程序DEEPSOIL，针对某典型Ⅲ和Ⅳ类软土场地，分析了在不同地震动输入下，不同Rayleigh阻尼模型的适应性，研究了选取不同Rayleigh阻尼模型对场地地震反应结果的影响，指出在DEEPSOIL的时域非线性方法下如何正确选取Rayleigh阻尼模型。

1 时域中的Rayleigh阻尼

在时域分析时，通常采用粘滞阻尼(viscous damping)假定。粘滞阻尼矩阵与频率有关，即阻尼力与质点的运动速度成正比。这种粘性阻尼矩阵与频率有关，阻尼公式的类型决定了阻尼对频率的依赖程度，这种考虑阻尼的方法是由RAYLEIGH等[16]于1945年首次提出的。在此方法中，阻尼矩阵[C]与质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]成正比，由式(1)表示为

式中a0、a1为Rayleigh阻尼系数。

粘滞阻尼矩阵与土体的质量、刚度和固有模态有关。土体刚度和土体的固有模态可由土体的剪切波速推导出。当阻尼矩阵只与刚度成正比时，即Rayleigh系数a0=0时，可以简化式(1)，由式(2)表示为

式(2)又称为简化Rayleigh阻尼矩阵(Simplified Rayleigh Formulation，SRF)，该阻尼只与土层的第一振型有关，而且与土体刚度成正比。

式(1)又称为完全Rayleigh阻尼矩阵(Full Rayleigh Formulation，FRF)，在工程中得到广泛采用。

将式(1)扩展，指定两个以上的频率，称之为扩展Rayleigh公式(Extended Rayleigh Formulation，ERF)。利用质量矩阵和刚度矩阵的正交的条件，阻尼矩阵可以由质量矩阵和刚度矩阵的任意组合组成，由式(3)表示为

式中n为频率数；ab为对应常数阻尼比土层的系数。

Rayleigh阻尼公式的频率依赖性意味着时域解的精度取决于所选择的定义阻尼函数的频率。确定Rayleigh阻尼系数，关键在于目标频率的选取。根据目标频率选取的不同，DEEPSOIL程序提供了3种Rayleigh阻尼模型，即简化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼和扩展Rayleigh阻尼[11]，如图1所示。

图1 DEEPSOIL中的Rayleigh阻尼模型示意图

简化Rayleigh阻尼与目标阻尼只有一个交点，只在一个频率上满足目标阻尼，完全Rayleigh阻尼与目标阻尼有两个交点，能够在两个频率满足目标阻尼，扩展Rayleigh阻尼与目标阻尼有4个交点，可以在4个频率上满足目标阻尼。对于如何选取阻尼模型，PARK[13]推荐选取完全瑞利阻尼模型；但对＜1 000 km的深层土，采用扩展Rayleigh得到的结果比完全Rayleigh阻尼时更好。

2 场地模型建立与地震动输入

2.1 场地钻孔资料

从全国大量实际的钻孔资料中选取出一个典型Ⅲ类和一个Ⅳ类场地钻孔，土层剖面数据和剪切波速等数据见表1、2。各土层的剪切模型比(G/Gmax)、阻尼比(λ)与剪应变(γ)非线性参数见表3、表4，土体非线性动力学参数资料均取自试验结果。

表1 Ⅲ类场地剖面计算参数表

表3 Ⅲ类场地各类土的非线性动力参数表

表4 Ⅳ类场地各类土的非线性动力参数表

表2 Ⅳ类场地剖面计算参数表

2.2 地震动输入

输入地震动的频谱特征对场地地震反应结果有着较大影响[9，14]。文章选取了两条具有明显频谱特征差异的天然地震波。一条是中频成分丰富的埃尔森特罗(El-Centro)波，另一条是高频成分丰富的纳汉尼(Nahanni)波。两条地震波的输入时程和反应谱如图2和3所示。

图2 El-Centro波的和加速度时程加速度反应谱图

图3 Nahanni波的加速度时程和加速度反应谱图

考虑到输入地震动强度对场地地震反应的影响，采用比例放缩法对两条地震波进行幅值调幅，将输入地震动峰值强度调整为0.05g、0.10g、0.25g、0.50g、和0.60g，这样的地震动幅值范围充分考虑到了可能存在的地震动强度。

2.3 DEEPSOIL非线性模型的建立

土层厚度划分由式(4)表示为

式中h为划分后的土层厚度，m；Vs为土层剪切波速，m/s；fmax为土层允许传播的最大频率，一般＞25 Hz。

对于多层土场地，场地自振频率由式(5)表示为

式中fn为场地第n阶自振频率；Vseq为等效剪切波速，m/s；n为土层振型阶数；H为土层覆盖层厚度，m。

DEEPSOIL模型中的各类土层的非线性动力学参数通过缩减模量和与拟合阻尼曲线方法(Modulus Reduction and Damping Curve，MRD)拟合得到。简化Rayleigh阻尼模型频率选取场地基频；完全Rayleigh阻尼模型频率的选取，文献[8]建议选取场地的第1阶和第3阶自振频率，文献[12]和[13]推荐选取场地基频和5倍场地基频，文献[6]也比较了两种选取方法结果的差异，结果表明二者计算精度相当，但文献[13]的方法更简便；扩展Rayleigh阻尼模型频率的前两阶与完全Rayleigh阻尼模型相同，第3、4阶频率的间隔约为10 Hz，其选取是通过扩展Rayleigh阻尼曲线与目标阻尼交点计算得到[13]。

对于Ⅲ类场地，简化Rayleigh阻尼模型的1阶频率选择场地基频0.73 Hz，即SRF(0.73 Hz)；完全Rayleigh阻尼的1、2阶频率选择场地基频和场地基频的5倍，即FRF(0.73、3.65 Hz)；扩展Rayleigh阻尼的前两阶频率和完全Rayleigh阻尼相同，3、4阶阻尼为35、45 Hz，即ERF(0.65、3.23、36、46 Hz)。对于Ⅳ类场地，Rayleigh阻尼模型频率的选取结果为SRF(0.65 Hz)、FRF(0.65、3.23 Hz)、ERF(0.65、3.23、35、45 Hz)。

3 场地地震响应分析

利用DEEPSOIL中的时域非线性方法对上述钻孔场地剖面的60种工况进行了计算。着重分析在不同频谱、强度输入地震动的作用下，3种Rayleigh阻尼模型的地表加速度反应谱和土层峰值加速度的响应特征。

3.1 地表加速度反应谱

图4～6为不同输入地震动情况下3种Rayleigh阻尼模型的部分地表加速度反应谱。

图4～6给出了在时域非线性下简化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼、扩展Rayleigh阻尼及频域无关解的计算结果，通过对比分析，地表加速度反应谱结果有如下特征:

图4 0.05 g输入地震动下Ⅳ类场地地表加速度反应谱图

(1)与输入地震动的频谱特征相比，地表加速度反应谱谱型基本类似于输入地震波的谱型。地表加速度反应谱在不同地震波作用下的谱型差异较大，在同一地震波的不同输入强度下谱型整体差异不明显。

(2)对于El-Centro波，5种输入地震动强度工况下，3种Rayleigh阻尼模型的反应谱频谱特征基本一致，地表加速度反应谱均在周期0.5～2.0 s之间出现双峰现象。但简化Rayleigh模型在周期约为0.5 s发生较大突变，出现了明显的高频放大现象，峰值甚至大于频率无关解。Ⅳ类场地基频为0.65 Hz，输入地震动El-Centro波和Nahanni波的傅氏谱卓越频率分别为1.46和16.06 Hz。文献[9]提到，输入地震动的卓越频率和土层基频接近时，在场地地震反应分析中应用简化Rayleigh阻尼模型是可行的。简化Rayleigh阻尼模型在实际应用中应注意输入地震动的频谱特性。在全局反应谱谱值大小上，基本上是完全Rayleigh阻尼模型＞扩展Rayleigh阻尼模型＞频率无关解＞简化Rayleigh阻尼模型。对于扩展Rayleigh阻尼模型和完全Rayleigh阻尼模型，二者在周期1.0～10.0 s的低频部分谱值几乎一致，在周期0.01～1.0 s的中高频部分完全Rayleigh阻尼稍大于扩展Rayleigh阻尼。其原因在于扩展Rayleigh阻尼模型有4个频率与目标阻尼比相满足。在输入地震动强度＞0.25g后，反应谱谱值和谱型均变化不大。

图5 0.1g输入地震动下Ⅳ类场地地表加速度反应谱图

图6 0.25 g输入地震动下Ⅲ类场地地表加速度反应谱图

(3)对于Nahanni波，不同于El-Centro波，各Rayleigh阻尼模型的频谱特征一致性较差，只有在周期2.0～10.0 s内一致性较好，可能与Nahanni波高频成分丰富有关。在0.05g和0.10g输入地震动强度下，反应谱卓越周期约为0.5s。随着输入地震动强度的加大，周期在1.0～2.1 s内的3种Rayleigh阻尼模型的反应谱谱值逐渐增长并占优，而且反应谱谱型并没有发生太大变化；简化Rayleigh阻尼模型反应谱峰值逐渐向长周期方向偏移；完全Rayleigh阻尼模型的谱值稍大于扩展Rayleigh阻尼模型，这点与El-Centro波相似。

(4)对于深厚软土场地，简化Rayleigh阻尼模型的应用应输入地震动的频谱特性相匹配，扩展Rayleigh阻尼模型比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反应谱的高频分量。

3.2 地表峰值加速度

在不同输入地震动工况下采用不同Rayleigh阻尼模型场地的地表峰值加速度(Peak Ground Acceleration，PGA)变化情况。表5和图7为不同输入地震动工况下，使用不同Rayleigh阻尼模型计算得到的Ⅲ类场地场地地表峰值加速度放大倍数和Ⅳ类场地地表峰值加速度关系。

表5 Ⅲ类场地下不同输入地震动下地表峰值加速度放大倍数表

图7 不同输入地震动下Ⅳ类场地地表峰值加速度图

通过对比分析表5和图7可以发现不同Rayleigh阻尼模型的地表峰值加速度及加速度放大倍数有如下特征:

(1)对于地表峰值加速度，3种Rayleigh阻尼模型的PGA随输入地震动强度的增加变化趋势相似；0.25g输入强度以下的3种Rayleigh阻尼模型所得到的PGA在数值上接近，＞0.25g以后差距逐渐变大；但是在0.6gNahanni波的工况下，3种Rayleigh阻尼的PGA反而变小，甚至＜0.5gNahanni波输入时的结果。PGA的整体数值关系上，完全Rayleigh阻尼模型的结果最大，大于扩展Rayleigh阻尼，简化Rayleigh阻尼最小。

(2)对于地表峰值加速度放大系数，3种Rayleigh阻尼模型的PGA放大随输入地震动强度的增加变化趋势相似，总体上表现为先快速减小然后相对慢速减小。不管是El-Centro波和Nahanni波，除0.05gEl-Centro波输入的工况外，其PGA放大系数都＜1.0。

对于软土场地，DEEPSOIL的时域非线性计算方法得到的场地地表峰值加速度放大倍数偏小，对比文献[14]和[15]，同样出现了低估场地土层放大效应，使其结果与实际场地地表反应严重不符。

4 结论

文章比较了软土场地中不同Rayleigh阻尼模型在时域非线性下的地震响应结果，主要得到以下结论:

(1)3种Rayleigh阻尼模型结果的差异主要与振型频率有关，理论上扩展Rayleigh阻尼模型中有4个频率满足目标阻尼，场地阻尼衰减曲线更符合工程实际。随着输入地震动强度的增大，3种Rayleigh阻尼模型在地表加速度反应谱谱值上差异逐渐加大，完全Rayleigh阻尼模型结果略大于扩展Rayleigh阻尼，简化Rayleigh阻尼模型的应用应与输入地震动的频谱特性相匹配。

(2)扩展Rayleigh阻尼模型虽然比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反应谱的高频分量，但计算量繁多，所需时间长，计算结果与完全Rayleigh阻尼模型在结果上的相差最大仅为6.8%。因此，工程应用期间，推荐使用完全Rayleigh阻尼模型。