试卷讲评贵在“评”中“悟”

[摘要] 试卷讲评是重要的纠错与思维提升的机会。教师可以通过创设认知冲突，引发学生探究的兴趣：在“为什么会错”的冲突中，经由自我否定，实现自主建构;在“为什么做不下去”的冲突中，借由“相互比较”，实现解题方法的自我领悟，从而逐步学会思考。

[关键词] 试卷讲评;认知冲突;学会思考

试卷讲评课是一种比较特殊的课型，也是宝贵的纠错与思维提升的机会。但在平常的试卷讲评中，我们经常发现教师讲解是苦口婆心的，学生听讲是心不在焉的，讲评效果十分低下。对于试卷来说应如何讲评才能更加有效呢？本文试着阐述一定的理解和做法。

一、试卷讲评：以“评”促“悟”的好时机

其实，学生检测成绩偏低主要是基于两个原因：

（1）出现知识性错误;（2）面对复杂化的问题情境不能有效地制定出解题方案。在日常学习中，学生往往不太在意这些，但当检测中出现问题后，他们往往会产生认知冲突：为什么会这样？因此试卷讲评就是利用学生这种原生的认知冲突，促进学生经由自我领悟，实现自主建构、思维提升的课堂目标。

1.对于知识性错误，关键在于引导学生在“自我否定”中自主建构

建构主义学习观告诉我们：学习不是学生对老师知识的全盘接受，而是以学生已有知识、经验为基础的自主建构。而“纠错”则是对认知的自我否定，它对应于认知过程中的顺应。纠错的主体是学生自己，而不是老师。因此，简单的外在评价或老师对错因的直接解说都不能替代学生的内在理解，学生的错误也不可能单纯依靠正面示范和反复练习来得到纠正。相反，引导学生主动地发现错误则可能是明智之举，这既有利于学生理解错因，也有利于学生重建正确解答，从而有效地防止此类错误的再现。

2.对于解题策略问题，关键在于引导学生在相互比较中学会思考

不会思考、分析能力弱，面对复杂化的问题情境不能有效地制定出解题方案，这是数学检测中最为常见的问题。但学生的数学解题分析能力却不是教师讲出来的，而只能是学生自我发展出来的：只有通过方法论的重建，才能使方法对于学生而言真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“可以加以推广应用的”。在对学生的解题过程进行分析之后，我们可以明确感受到：元认知水平的高低也是成功的解题者与不成功解题者的一个重要区别所在，并且在事实上构成了决定解题活动成功与否的一个重要因素。因此，方法论的重建和元认知的渗透是提高学生解题的有效途径。

事实上，试卷讲评课恰好为师生提供了一个宝贵的时机：多种方法的比较，多种问题的比较。在这种相互比较中，在“我为什么做不下去”的认知冲突当中激发起学生积极的心向，使其在对比中逐步学会思考：体验方法的重构过程，体验元认知自我监控过程。

二、创设冲突：以“评”促“悟”的好方法

如何利用好学生原生的认知冲突，从而引发学生自我领悟呢？事实上，检测中的问题与错误本身就会引发学生的认知冲突，因此试卷讲评的主要任务是通过学生自暴矛盾——为什么会错？为什么做不下去？来营造一种外在的氛围，引发学生认知上的不平衡，产生自我否定的积极心向，从而激发追求正确理解与深入思考的念想。

1.在“為什么会错”的自我矛盾中，领悟正确的逻辑关系，建立正确认知

纠错是自我否定，而自我否定是以自我反省，特别是内在的观念冲突作为必要前提的。因此，纠错的关键就在于提供适当的外部环境来激发学生的观念冲突。老师可以在顺应学生思路的基础上使其自然地推演出矛盾，从而营造这种外部环境引发学生形成“为什么会错”的认知冲突。

[案例1]在△ABC中，已知，，求CosC.

[典型错误描述]

CosC=-Cos（A+B）=SinA·SinB-CosA·CosB=

或.

上述错误中我们发现，在△ABC中，SinA>

SinBA>B，由A是锐角可知，B是锐角。错解

中忽略了对B角的挖掘，从而误以为有两解。要让学生主动认识到这个解法有错，老师可以动员学生进行逆运算，即在△ABC中，已知，，

求SinB。事实上，可算出此时。

这时，学生将会很着急地去查找原因。

[案例2]已知如下两个命题，p：不等式x2-x-12>0

的解集是{x│x>4};q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x<-3}。写出复合命题p或q的形式。

[典型错误描述]p或q：不等式x2-x-12>0的解集是{x│x>4或x<-3}。

对于这一道题，若让老师直接向学生解说此题错误的原因，显然不容易说清楚，即使老师认为说得明白了，学生也不一定能深刻理解。怎么办呢？不妨顺应学生的思路，假设这种写法是正确的，则p或q为真。这样，p假q假p或q真，这与真值表有矛盾。这样，在矛盾的强烈激荡下，学生就会产生纠错的积极心向了。

试卷讲评课中仅仅讲出正确的答案，而没有提供给学生一个辨认错误、建构正确认识的讲评是无效的。因此，我们要创设认知冲突，让学生自主去领悟为什么错，怎样才正确，在此过程中，不同的思维之间产生了新的碰撞，让学生进一步理解了本质，也领悟出了知识背后的逻辑关系。

2.在多种解法的比较中，领悟思维的灵活性，学会思考

思维的灵活性就是学生会从多个角度来考察问题，能够在事物的多元表征中选择出最优化的、最适合于自己的解题方法。因此，对于试卷中经典的一题多解现象，教师要格外重视，要充分发挥它的作用，因为它给学生提供了相互比较的时机，在“我为什么做不下去”的认知冲突下，激发出学生积极探究的心向。

对于试卷中经典的一题多解现象，教师在组织讲评时，一方面要让学生在理解别人的解法后，深刻去理解某一知识的多元表征，实现多元表征之间的相互转换;同时更要通过学生相互交流、讨论，实现思维的充分交互，使得学生可以在赏析别人智慧的同时学会思考。

[案例3]如图所示，已知圆C：（x-3）2+（y-4）2，直线l1：y=k（x-1），若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ中点为M，A（1，0），l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，问AM·AN是否为定值，若是求出定值，如不是，请说明理由。

[案例描述]在学生的解法中主要是两种，一种是直接计算AM·AN=f（k），最后消去k，AM·AN就是常数，另一种是将AM·AN=-AM·AN，简化了计算。大部分学生选择了第一种解法，但是做到了一半就放弃了，还有部分学生虽然坚持到了最后，但结果错了。当然，本题还有一种几何方法，即利用三角形相似来解题，没有学生想到。

[案例分析]本题的已知条件叙述方式比较隐晦：A，M，N三个点分别从三个角度描述，掩盖了三点共线的信息，直线AC与l2垂直也需要学生主动发现，才可能辨识出相似三角形。这种叙述方式将大部分学生的思维限制在方法一的框架内难以变通。但也有少数学生为了减少现实的运算量，选择跳出细节站在整体的高度思考问题，这样可能就会产生好的思路。讲评的关键是让学生在欣赏别人的解法基础上，理解别人是怎样想的、为什么这样想，并且体会到同一个量可以有不同的表达方式，不同的表达带来不同的解题路径、不同的计算长度，从而逐步建立多元表征的意识。

为了充分发挥这道题的价值，我们可以分为三个阶段来组织讲评：（1）逐步引导学生发现三种不同的算法;（2）组织讨论——三种解法的比较;（3）组织讨论——如何学会思考，特别是在条件较多、计算量明显很大的情况下，如何灵活处理？

在解法比较环节，学生基本形成了共识：第一种解法顺藤摸瓜，比较自然，符合大部分人的思维状态，在紧张状态下想一步算一步，一步一个脚印，扎扎实实地算，这种坚持算下去的态度很实在;第二种解法将距离表达为数量积，结构简单了，便于化简，但是难以发现三点共线现象;第三种解法最简单，但是对解题者的要求更高：不仅要发现三点共线，直线AC与l2垂直，还要求解题者能够整体地思考问题，在图形的整体结构下展开类比联想。

在讨论“如何学会思考”环节，学生基本形成了共识：（1）要有强烈的分析意识与化简意识：想找一种简便方法是出发点，因此要观察元素关系，这是破题的关键;（2）看出来才是王道：不仅仅要多观察几何元素之间的关系，还要多观察式子结构的特点，以及元素之间的关系，这样才有机会找到简便方法;（3）学会自我监控：解题过程中如果一时看不出来，还可以重新观察，寻找已有经验，而不是盲目下手。

在这种讲评中，教师没有满足于启发学生仅仅是想出这些方法;而是将重点放在了让学生在充分理解别人的做法后，去思考别人是怎样想的，为什么这样想，怎样才能这样想，从而获得思维上的启示：感受到化简意识、观察意识、自我监控意识的必要性;领悟了数形结合、观察、尝试、自我监控等解题活动的意义。

3.在多种问题的比较中，领悟事物的本质，学会思考

在试卷中有些题目具有特定的背景和明显的规律性，因此，教师可以将其变更条件加以推广，使得学生在不断地探究中理解题目背后的知识背景，在多种问题的比较中，领略其中的思维规律，从而洞察一系列问题的背后本质，做到纲举目张，举一反三。

[案例4]已知椭圆的左、右顶点分别为A、

B，S點是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS

与直线分别交于M，N两点。判断以线段MN为直

径的圆是否经过x轴上的定点？

[案例描述]绝大部分学生没有计算下去，半途而废，还有一部分学生没有明确的思路。

[案例分析]显然，本题的背景指向圆锥曲线的另

一种几何本质，即是一个定值，其他的

定值现象都源于此。

为了让学生更加深入地理解问题，在引导学生分析完试题后，教师将问题进行推广，设计了一组变式题。

初步探究1：MS与NS的斜率之积是否为定值？点M，N的纵坐标之积是否为定值？

深入探究2：试求MN的最小值为多少？

拓展探究3：设直线l⊥x轴，且与椭圆交于P1，P2两点，椭圆的左右焦点分别为F1，F2，AP1，BP2相交于点P，试判断|PF1|-|PF2|是否为定值？

在这一组变式题的探究过程中，学生将体验如何用函数观点去求解定值问题，学会如何依据条件选择算法，掌握两种基本的处理点坐标的方法，同时也体验到数形结合思想的重要性，领悟到探求事物规律背后的艰辛努力和理性精神。

总之，学生在检测中对每一道题都是认真思考的，因此每一个问题的解答不论对错，作为教师都要善待它，认识到它的意义与价值。错的，应当分析它为什么错，直接原因是什么？教师要思考如何创设认知冲突，让学生建立起正确的概念。对于没有做出来的也要分析原因：是没有算对，还是意志力缺失，还是知识的表征不对？教师要在讲评课中通过方法的对比与择优引发学生的思考，从而逐步让他们学会在不同表征中转换，学会选择适合自己的方法，从而逐步学会思考。当试题具有很好的背景，教师可以变更条件引导学生去探究，这样既拓宽了知识面，又在探究过程中洞察了问题的本质，体会了思想方法。

正是基于以上想法，教师要把学生的思维作品——试卷展示出来，以他们的思维过程为教学的素材，实现在思考中学会思考，在评价与欣赏中体验数学思维。正因如此，试卷讲评重在评中悟。

[本文系江苏省南京市教学研究室2019年度课题“认知学徒制教学：指向高中数学活动经验的实践研究”（项目编号：2019NJJK——L11）阶段性研究成果]

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