基于混沌-鲸鱼优化算法的MIMO 雷达相位编码信号集设计

杨晓倩，李 琦，韩壮志，李豪欣

（1.河北工业大学电子信息工程学院，天津 300401；2.陆军工程大学石家庄校区电子与光学工程系，石家庄 050003）

0 引言

MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）雷达作为一项新兴的探测技术［1］，与传统相控阵雷达相比，可以提高抗截获和探测弱目标的能力，因此，受到国内外学者的广泛关注。

近年来，智能优化算法成为研究热点并逐渐用来解决各种优化问题，吸引国内外学者进行了广泛研究，优化设计相关性能良好［2］的MIMO 雷达相位编码信号集就是其中之一。董洁等利用遗传算法对MIMO 雷达波形进行优化，以降低MIMO 雷达的旁瓣电平，但因遗传算法收敛能力较差，使得旁瓣电平优化能力受限［3］。Hong S 等采用自适应克隆选择算法对混沌相位编码波形进行优化，获得较低的峰值旁瓣电平［4］。梁浩等提出一种改进的自适应遗传算法，增加获得全局最优解的概率［5］。

混沌（Chaos）［6-7］是一种由确定性系统产生的类似随机且极其复杂的状态，是一种非线性动力系统。因其具有很强的初值敏感性，只要改变初值，就会产生具有一定正交性且不同的序列［8］，操作简单，因此，混沌越来越多地应用于雷达波形相位编码信号集设计。申东等基于混沌序列设计了MIMO雷达互补相位编码波形，有效地抑制高脉冲压缩输出旁瓣，提高了MIMO 雷达的相关性能［9］。周云等联合调频、调相的混沌雷达信号得到了低的自相关旁瓣峰值，与单一的调频或调相信号相比，其相关性能有所提高［10］。

以上研究成果虽然得到的信号集相关性能良好，但自相关旁瓣和互相关峰值仍然较高。本文基于混沌序列，提出了一种混沌-鲸鱼优化算法，针对此算法提出了两种改进策略，通过采用Chebyshev 映射［11］、Logistic 映射［12］、Tent 映射［13］3 种离散映射产生混沌序列替代随机方法进行初始化，增加种群数量，扩大搜索范围；并在鲸鱼优化算法中引入了惯性权重［14］改变自适应更新方程，提高收敛精度。实验结果表明，本文混沌-鲸鱼优化算法在收敛速度和收敛精度上均有明显提高，与现有成果相比，采用混沌-鲸鱼优化算法优化生成的准正交信号相关性能较好。

1 MIMO 雷达相位编码信号集设计原理

若MIMO 雷达有P 个信号序列，每个信号序列长度为L，则信号集S 为：

信号长度为L，信号序列为P 的信号集S，可以表示为一个P×L 的相位矩阵：

正交信号的非周期相关函数需满足以下要求：

MIMO 雷达相位编码信号集要求具有良好的相关性能，而信号集优化问题可以转换为代价函数最小化问题。因此，本文采取的代价函数E 由自相关旁瓣峰值（Auto-correlation Sidelobe Peak，ASP）、互相关峰值（Cross-correlation Peak，CP）、自相关旁瓣峰值总能量和互相关峰值总能量组成。

2 混沌-鲸鱼优化算法

2.1 鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［15］通过对座头鲸的捕食行为进行模拟，构造出包围、追捕和攻击猎物等理论模型，对目标问题的寻优，包含包围猎物、气泡网狩猎以及猎物搜索3个阶段。WOA 算法具有结构简单、易于理解、参数少、寻优能力强的优点［16］，并且此算法在水资源优化配置、桁架设计、故障诊断、光伏电池参数估计等方面都有广泛应用。

2.1.1 包围猎物

鲸鱼在捕食猎物时，需要提前找到猎物的位置才能对猎物进行包围，但是猎物的位置一般是未知的，此时，WOA 算法假设种群个体中适应度值最小的解为猎物的位置或最接近猎物的位置，再根据此最优解来更新其他搜索个体的位置。更新公式如下：

其中，X 为搜索体的位置向量，X*表示当前最优解的位置向量。参数A 用于调节算法全局探索和局部搜索能力，D 为当前最优解与搜索体的距离向量，两个参数的计算公式如下：

其中，a 随迭代次数由2 线性递减为0，公式如下：

t 为当前迭代次数，T 为最大迭代次数，r 为［0，1］内的随机向量，C 为系数向量，公式如下：

2.1.2 气泡网狩猎

WOA 算法根据鲸鱼气泡网狩猎的行为设计了两种位置更新策略，分别为收缩包围和螺旋位置更新。其中，收缩包围通过减小式（10）中的收敛因子a的值实现，此时A 为［-a，a］的随机数。当|A|≤1 时，更新位置后的个体由原来位置向目标位置靠近，根据式（13）进行收缩包围。而螺旋位置更新则是模拟鲸鱼螺旋运动状态，公式如下：

其中，b 是定义对数螺旋形状的常量系数，l 表示区间［-1，1］内的随机数。

由于鲸鱼在螺旋位置更新的同时缩小包围圈，为了模拟这种同步过程，WOA 算法选择用概率p 来确定是进行收缩包围还是螺旋位置更新，公式为：

2.1.3 猎物搜索

当|A|＞1 时，WOA 算法不再通过目标位置来更新其他个体的位置，而是在种群中随机寻找一个搜索体的位置来代替目标位置，以便增强算法的全局搜索能力，更新公式如下：

其中，Xrand表示当前种群中随机一个搜索体所在的位置。

2.2 混沌-鲸鱼优化算法

WOA 算法在迭代过程中存在易早熟收敛的问题，而混沌具有遍历性和随机性，因此，本文将混沌思想引入算法当中，提出了混沌-WOA 算法。

2.2.1 混沌初始化

初始种群质量影响智能优化算法的收敛速度和解的质量，初始种群的多样性程度较高有利于提高算法的寻优性能。鲸鱼优化算法采用随机方式初始化种群，无法做到种群在整个搜索空间中均匀分布，导致在搜索过程中算法收敛精度降低。混沌映射具有遍历性和随机性的特点，能在一定范围内更全面地探索搜索空间。

本文将采用3 种离散混沌映射来产生原始混沌序列，分别为Chebyshev 映射、Logistic 映射和Tent 映射，其产生法则如下：

1）Chebyshev 映射定义为：

本文以四阶Chebyshev 映射进行研究，即ω=4，其中，ω 为Chebyshev 映射的阶数，n 为时间序列，x∈［0，1］。

2）Logistic 映射是应用比较广泛的一种映射，其数学表示形式非常简单，定义为：

其中，μ∈［0，4］为控制参数，x∈［0，1］。

3）Tent 映射也是使用较为广泛的一种混沌映射，其在混沌扩频码的产生、混沌加密系统构造和混沌优选算法的实现等领域中都有广泛应用。定义为：

其中，Mc为编码相数，ceil 为取整函数。

步骤4 根据式（2）产生MIMO 雷达混沌相位编码信号集。

通过上述4 个步骤，只需设置不同的初始值，就可以在短时间内产生任意数量、任意长度的混沌相位编码信号集，具有良好的相关性能。

2.2.2 设计惯性权重

WOA 算法在迭代后期容易陷入局部最优，而惯性权重在平衡算法全局搜索和局部搜索中起到重要的作用，因此，本文在WOA 位置更新方程中引入权重思想来提高收敛精度，并经过大量实验得出，在当前迭代次数大于最大迭代次数的1/3 时，采用惯性权重可以更好地均衡全局搜索和局部搜索，即：

其中，t 为当前迭代次数；T 为最大迭代次数。改进后的位置更新公式如下：

当|A|≤1，

当|A|＞1，

其中，ω（t）为惯性权重。

2.2.3 混沌-WOA 算法流程

本文混沌-WOA 算法流程图如图1 所示，具体步骤如下：

图1 混沌-WOA 算法流程图

步骤1 利用混沌映射进行初始化：对参数进行初始化，确定参数信号序列P、序列长度L、种群规模N 以及最大迭代次数T，并通过式（18）～式（20）产生N 个维度为P×L 的相位矩阵X。

步骤2 计算适应度值：根据式（8）计算个体的适应度值并进行排序，将适应度值最小的个体保存下来作为个体的最优位置。

步骤3 更新每个搜索代理的参数：根据式（10）～式（13）更新搜索代理的参数A、C、D。

步骤4 更新个体位置：设计惯性权重ω，用改进的式（24）～式（26）在空间位置区域进行优化搜索，并根据参数A 和概率p 产生的随机数判断是进行包围猎物、气泡网狩猎以及猎物搜索这3 个阶段中的哪一个阶段。

步骤5 输出最优解：更新后返回继续执行步骤2～步骤4，直到满足终止条件，即，找到适应度值最小的位置，并输出最优解。

3 MIMO 雷达相位编码信号集设计

根据上节所叙述的步骤，采用混沌-WOA 算法对所得信号集进行优化，实验参数设置如下：发射信号序列数P=4，序列长度L=40，相数为4，算法最大更新次数为2 000。在迭代2 000 次后，采用混沌-WOA 算法生成的正交相位编码信号集的ASP 值如表1 所示。

表1 所得平均ASP 值

为了进一步体现算法的适用性，在其他参数不变的情况下，本文还做了序列长度L=100 的实验。在迭代2 000 次后，也得到了较低的ASP 值，生成的正交相位编码信号集的ASP 值如下页表2 所示。

从表1、表2 中的数据可以看出，通过混沌-WOA 算法所得信号集的ASP 值较低，能够满足MIMO 雷达相位编码信号集的设计要求。

表2 所得平均ASP 值

4 实验结果分析

在实验参数相同的情况下，将本文混沌-WOA算法所得结果分别于没有添加惯性权重的混沌-WOA 算法和基本WOA 算法所得结果进行对比分析，表3 为本文信号集与没有添加惯性权重的混沌-WOA 算法和基本WOA 算法所得信号集在平均ASP 上的对比结果。

表3 3 种算法的平均ASP 值对比结果

由表3 可知，混沌-WOA 算法得到信号集的平均ASP 值均低于没有添加惯性权重的混沌-WOA算法和基本WOA 算法所得结果，由此说明，采用混沌-WOA 算法设计的MIMO 雷达相位编码信号集具有更加优良的相关性能。

本文还分别对混沌-WOA 算法、混沌-WOA算法（无权重）、WOA、模拟退火（Simulate Anneal，SA）进行实验，并将实验结果进行对比分析。由于本文采用3 种映射所得平均ASP 曲线非常接近，为更加清晰地看出算法的优越性，本文采用3 种映射中结果较好的Tent-WOA 算法进行对比，图2 分别为4 种算法的平均ASP 值随更新次数变化曲线。

图2 平均ASP 值变化曲线

从图2 中可以看出，在更新次数均为2 000 的情况下，与其他3 种算法相比，在前500 次迭代中可以清晰地看出，混沌-WOA 算法在收敛速度方面要快于基本WOA、未加权重的混沌-WOA 以及SA。在收敛精度方面，SA 算法曲线没有收敛，而未加权重的混沌-WOA 算法和基本WOA 算法虽然最终收敛于某一个较小的值，但平均ASP 值相对较高，均高于混沌-WOA 算法。因此，混沌-WOA 算法能够在最短时间内取得最低的ASP 值，具有比较理想的收敛速度和收敛精度。

最后，选取实验参数相同的文献，将其结果与本文混沌-WOA 算法的结果进行对比分析，表4 为本文信号集与文献［17-20］所得信号集在平均ASP上的对比结果。

表4 本文方法与其他文献平均ASP 值比较

表4 表明：与其他文献相比，本文混沌-WOA算法得到信号集的平均ASP 值较低，由此说明，采用混沌-WOA 算法设计的MIMO 雷达相位编码信号集具有更加优良的相关性能。

5 结论

通过引入混沌思想，基于鲸鱼优化算法提出了两种改进策略，一是采用混沌初始化，提高种群解的质量，增加种群数量；二是在鲸鱼优化算法更新位置方程中引入惯性权重，并应用到MIMO 雷达相位编码信号集优化设计中。实验结果表明：与其他智能优化算法相比，优化设计出的MIMO 雷达相位编码信号集相关性能良好，满足相位编码信号集设计要求，而且混沌-WOA 算法在算法的收敛速度和收敛精度上均有明显提高。