基于层次分析和熵权TOPSIS法的快递配送点选址问题研究
2022-04-27汪义霞康乃馨刘明
汪义霞 康乃馨 刘明
（铜陵学院数学与计算机学院，安徽 铜陵 244061)
选址问题是通过计算得到最优方案的一个过程，自1909年，Weber研究了在平面上确定一个仓库与多个顾客之间的总距离最小问题，正式开始了选址问题的研究。之后，20世纪70年代，美国运筹学家Saaty提出了层次分析法，此方法特别适用于分析解决一些结构比较复杂，难于量化的多目标决策问题中因素的权重确定和方案排序等。
简单地讲，选址问题有定量和定性两种分析方法。其中定量分析法主要包括重心法，物流作业量法，启发式方法，线性整数规划，盈亏平衡点法。定性方法也称为多准则决策，层次分析法和熵权TOPSIS法就包含在其中。这两种方法虽然不是唯一的研究快递配送点选址问题的方法，但是胜在思路简单，熵权TOPSIS法有数据支持，层次分析法具有自己的主观想法，两者其中一个主观意识强烈，一个客观观念较强，将两者进行对比可以看出其中不同的优劣势。
一、层次分析法
（一）构建层次分析模型。
（二）构建判断矩阵。在这之前，需要了解确定判断矩阵的9级标度，如表1所示。
表1
标度定义1同等重要2介于同等与略微重要之间3略微重要4介于略微与明显重要之间5明显重要6介于明显与十分明显重要之间7十分明显重要8介于十分明显与绝对重要之间9绝对重要
（三）计算判断矩阵的特征向量(w,…,w),，求特征向量可应用求和法或求根法进行。
（四）求最大特征值λ，这里λ的值为
若CR＜0.1，此时判定其判断矩阵具有一致性。而其中RI的值随着n的增大而增大。
（五）最后的一步就是对方案进行排序。计算公式为
二、熵权TOPSIS法的研究
（一）TOPSIS法求解相对接近度C
1.就成本和交通为指标分析，不难发现这些指标的选择标准不是唯一的。此时，需要将这些数据正向化，也就是说将所有指标数据都转化为极大型指标。常见的数据指标可以分为四类：一是极大型指标；二是极小型指标；三是中间型指标；四是区间型指标。假设一个指标的所有数据记为大写的X，其中的元素记为x，改正后的元素记为。
2.经过了正向化后，由于成本的数值大小比交通要大许多的，如果直接计算，其实是不公平的，此时，为了消除数据量纲的影响，需要对数据进行标准化处理。换算公式如下。
3.经过正向化和标准化的处理之后，可得到一个新的矩阵，将这些最大值和最小值组成两个不同的集合，最大值的集合记为I,，也称为理想计划，j=1，2，…，n，最小值的集合记为I，也称为负理想计划，j=1，2，…，n，公式如下。
（二）熵权法求解权重
由于每项指标的重要程度不一致，故此时需要利用熵权法求出权重系数。这里，假设给出的矩阵D如下。
假设矩阵D是经过了正向化和归一化的矩阵，此时，需要先计算信息熵。
三、算例
某一物流公司W要在M市建造一个快递配送点，其中需要考虑的因素（指标）有成本，货物分布和数量，交通以及经营环境，最后备选的有三个方案，分别为A，B，C，三个地点。每种方案在对应指标下的情况如下表2所示（表2中数据皆为虚拟，切勿考究）。
表2
成本 发展前景 交通 公共设施A 5100 1.2 8 2.7 B 4500 0.9 7 2.0 C 5200 0.8 10 2.8
（一）层次分析法
1.这里，我们直接给出所有的判断矩阵，如下表3、4、5、6、7所示。
表3
A B C 1 1/3 2 3 1 5 1/2 1/5 1
表4
发展前景 A B C A 1 3 1/7 B 1/3 1 1/9 C 7 9 1
表5
交通 A B C A 1 1/5 1/8 B 1/5 C 8 5 1 5 1
表6
公共设施 A B C A 1 1/4 1/5 B 1/3 C 5 3 1 4 1
表7
总目标 成本 发展前景 交通 公共设施成本 1 4 2 2货物分布和数量 1/4 1 1/2 1/2交通 1/2 2 1 1经营环境 1/2 2 1 1
由此可判断出此判断矩阵的一致性成立，其他判断矩阵同上计算，得其判断矩阵一致性成立。
3.最后，需要综合计算结果并得方案排序优选。此时，将之前所得的特征向量全部带入到（4）中，可得
观察这个结果，可看出，三种方案的权重大小相差无几，但方案C的权重更大，结果更优。
（二）熵权TOPSIS法
1.需先将成本化为极大型指标，结果如表8所示。
表8
成本 发展前景 交通 公共设施A 100 1.2 8 2.7 B 700 0.9 7 2.0 C 0 0.8 10 2.8
2.利用公式（5）消除量纲的影响，将数据标准化，结果如表9所示。
表9
成本 发展前景 交通 公共设施A 0.141 0.706 0.548 0.617 B 0.990 0.529 0.480 0.457 C 0 0.471 0.685 0.640
3.由表2可得到多维的指标最大值集合为{0.990，0.706，0.685，0.640}，多维的指标最小值集合为{0，0.471，0.480，0.457}，接下来需要通过公式（6）求C，以A为例，其中A的
，
同样的，我们可求出出C=0.752，
C=0.213，，从这个结果来看，最好的方案是B，当然，我们这个结果是我们没有加权重的结果，下一步我们就需要通过熵权法加入各个指标的权重值，得到我们最终的结果。4.我们将正向化和标准化后的矩阵通过公式（8）求得p的矩阵如下。
将其带入到公式（3）中，这里的m=3，分别依次求得E=0.343，E=0.905，E==0.990，E=0.991。
5.最后，我们利用公式（9）将上述所求的的E归归一化，得到最终的各个指标的权重为（0.852，0.123，0.013，0.012），将所求得的权重带入计算可求出最优方案为B。这个结果与层次分析法求得的结果还是有一些出入，最主要的还是层次分析法的判断矩阵是具有非常强的主观意识的，难以把控，所以在选择快递配送点地址时需要判断是否要介入较强的自我想法，再决定所使用的方法。
四、结束语
本文主要是探究了层次分析法和熵权TOPSIS法，这两种方法的使用范围都比较广泛，运算原理也通俗易懂，但是这些方法的计算量极大，由于上述的算例我们采用得指标数量较小，所以计算比较方便。如果指标数量较为庞大的时候，运用上述方法显然困难重重，此时，我们可以将公式代入编程解决这个问题，期待其他学者可为此解答。
