基于鲁棒滑模策略的电机伺服系统内模控制*

2022-04-27袁绩海郭迎清厉天凯

火力与指挥控制 2022年3期

袁绩海，郭迎清，厉天凯，陈建

（1.河南水利与环境职业学院，郑州 450011；2.西北工业大学动力与能源学院，西安 710072；3.解放军95903 部队，武汉 432200）

0 引言

伺服电机作为一种常用的控制单元，在诸多领域均能够看到其身影。由于伺服电机所处的工作环境往往是高温高速，因此，如何实现恶劣环境下的精确控制一直是研究的热点问题。

内模控制（Internal Model Control，IMC）为分析和设计控制系统提供了一个有效、直观、简单的框架，因此，在电机控制中应用广泛。文献［6］利用自适应补偿策略实现了电机调速系统的分段控制；文献［7］考虑到系统跳变，结合最小二乘支持向量机补偿策略，提出了一种内模控制方法；文献［8］提出了一种双自由度内模控制（2 Degree of Freedom，2DOF-IMC），并且利用改进遗传算法优化其中相应参数，有效提升了控制效果。不过以上研究给出的控制器性能对参数与经验有较高依赖性，因而控制水平有限。有的参数还需在线调整，为满足收敛性要求，还需要进行复杂的处理，这对其实际应用产生很不利影响。

滑模变结构控制（Sliding Mode Control，SMC）由于其强大的非线性控制能力得到了广泛关注。在各个领域均有应用，例如航空动力、工业控制、医疗器械等。不过为提高其跟踪性能，还需要控制抖振。对具体系统而言，其一般存在未建模动态，这种情况下在处理时如果基于边界层解抑制抖振，则会导致恒扰动时的稳态误差问题，而不满足精度要求。

本文在研究时对以上控制策略的缺陷进行具体分析，然后引入滑模与内模控制模型，且结合本系统的控制要求，而建立了基于鲁棒滑模控制律的改进内模控制器，通过其对伺服电机进行控制。这种控制器在受扰与模型不确定条件下也可以满足控制精度要求。该控制器主要基于SMC 结构确定出IMC 控制器的性能，且利用SMC 技术进行控制，而满足相应的鲁棒性要求。为处理稳态误差且提高控制鲁棒性，而结合了2DOF-IMC 结构的增强型IMC策略。

1 系统建模

伺服系统的组成单元为交流伺服电机和驱动器，可通过如下表达式描述其惯性荷载方程：

其中，θ 表示角位移，J 是惯性负载、D（t）对应于未建模干扰；对式（1）进行转换处理，而确定出如下的状态空间模型：

假设1.参数不确定性的边界已知，即：

假设2.未知干扰d（t）的边界为：

2 控制器设计

2.1 基于IMC 的标准控制器设计

由式（1）可得伺服系统的传递函数G（s）为

式中，J和B分别为参数J 和B 的标称值，在研究时选择的IMC 滤波器可表示如下：

其中，R 为参考轨迹。考虑到R（s）=0，D=0 的调节器情况，假设G（s）=G（s），则输出可表示为：

分析以上公式可知，在输入扰动恒定条件下，必然导致稳态误差，因而控制精度受到影响。

2.2 基于SMC 的鲁棒SIMC-PD 控制器设计

鲁棒滑模控制结合标准内模控制（Standard Internal Model Controller，SIMC）的控制结构如图1 所示，该控制器可表示为：

图1 SMC-SIMC-PD 控制器的结构

符合以上条件的u在设计时，可参考文献［14-15］。以下进行举例说明，如令g 为平滑函数

若存在环境扰动，且模型不确定性，则根据以上方法提出的SIMC-PD-SMC 模型可满足系统跟踪精确性和稳定性要求。由于引入了不确定界限，这种情况下式（15）可等效于高增益反馈控制律，由于ε 值和控制带宽存在负相关关系，因而其过小可能导致不稳定。为此就需要适当限定ε 值，这样可确保在原点附近系统保持稳定。

2.3 2DOF-IMC 控制器设计

2DOF-IMC 滤波器为：

为确保恒扰动状态下，系统在控制时零稳态误差，就需要符合如下要求：

令基于2DOF-IMC 的控制器为：

为满足特定的跟踪性能要求，就需要引入如下表达式对应的定点滤波器F（s）：

然后，设置滤波参考轨迹R为：

图2 显示出上述增强型内模控制器的结构相关情况，其控制律可描述如下：

图2 2DOF-IMC-SMC 控制器的结构

定义另一个跟踪误差函数为：

从p到z的传递函数可以表示为：

由于G（s）是渐进稳定的，所以p收敛到零意味着使z也收敛到零。

结合以上三式，而得到p的动力学模型：

考虑到假设1 和假设2，同样存在满足以下条件的u：

定理1：若目标轨迹函数二阶连续可微分，且对应的约束条件式（22）可确保系统有界。这种情况下可通过如下表达式描述出李亚普诺夫函数V：

上式满足：

证明：

联立式（6）、式（9）、式（19）、式（20）可得：

对式（32）积分，可得：

由式（29）和式（35）得到V的导数：

注意到条件（28），则有：

根据以上分析可知函数V有界，可很好地控制u 有界。

具体分析定理1 的结果可发现，p对z表现出相同的稳定性，由此可判断出在同样有限的ε 值条件下，z和p的解可能相一致。不过二者和误差z的关系存在明显差异，这可基于函数G（s）和G（s）进行解释。由于k=k，这样可确定出表达式：

3 仿真结果

3.1 阶跃扰动下的阶跃响应

首先进行仿真验证，给定伺服系统的标称模型如下所示：

1）SIMC-PD：此种控制器单纯基于内模控制，在控制过程中可以方便地确定出其参数，即k=0.1，k=0.1。

4）2DOF-IMC-SMC：在研究过程中为了进行客观的对比分析，而控制PID 与2DOF-IMC-PID 控制器的参数相一致。

首先，输入阶跃扰动，然后进行仿真分析，确定出各控制器的阶跃响应性能，在此基础上对比确定出性能最优的控制器。设置阶跃响应R（t）=1 rad，阶跃扰动大小等于0.3 Nm。目标模型描述为G（s）=G（s）。在此条件下仿真分析确定出结果如图3 所示。根据图3 可发现各控制器的定点跟踪目标都能实现。在有阶跃扰动情况下，其中SIMC-SMC 控制器分稳态误差最低，其和SIMC-PD 控制器的稳态跟踪误差都非零。而其余两个控制器的跟踪误差收敛至零，因而可更好地满足控制精确性要求。根据图3结果还可看出，其中2DOF-IMC-PID 控制器的跟踪误差最大为0.1 rad，而2DOF-IMC-SMC 的为0.04 rad。由此可判断出在前者中引入鲁棒滑模控制律，可使得跟踪误差进一步减小。带入参数进行仿真分析还可看出，对SIMC-PD、2DOF-IMC-PID 控制器而言，引入鲁棒滑模控制进行改进后，对应的扰动都有一定幅度降低，相应的跟踪精确性提高。在最优化条件下跟踪误差可利用ε 进行任意的调节。

图3 在阶跃扰动下的位置阶跃响应

具体分析定理1 可发现，对有限小的ε，恒扰动情况下，z和p都会产生稳态误差。而根据图4 结果发现，在频率趋于零条件下，相应的G（s）也基本上恒定，G（s）趋于零。由此也说明在同样条件下，2DOF-IMC-SMC 控制器分稳态误差可趋于零。在各频率条件下，G（s）值都低于G（s）。这也可判断出，在其他参数同样条件下，2DOF-IMC-SMC 控制器的瞬态跟踪性能更好，且产生的跟踪误差低。在频率很大情况下，二者的跟踪精度基本相同。

图4 波德图

3.2 参数不确定性时的阶跃响应

图6 J=0.5Jn，B=Bn 时的阶跃响应

图7 B=10Bn，J=Jn 时的阶跃响应

图5 J=2Jn，B=2Bn 时的阶跃响应

图8 B=0.1Bn，J=Jn 时的阶跃响应

表1 跟踪响应的Max|z1|和IAE

不确定性情形下，SIMC-SMC 控制器会产生一定跟踪误差。对比分析以上的控制结果可知，将这种控制结构引入高鲁棒性的改进IMC 控制器时，相应的跟踪性能会明显提升。

由此说明在模型不确定和外部干扰扰动条件下，本文建立的这种2DOF-IMC-SMC 控制器都表现出良好的控制性能，和其他控制器相比性能更优。

4 实验验证

4.1 实验设置

在实验时建立了如图9 所示的实验平台。对应的软件主要有监控软件（Twincat 3.0 Scope View）和实时控制软件。在进行代码编程时应用了C/C++语言，设置的步长为0.25 ms。根据系统控制要求和实验平台情况而编写对应的控制代码，通过实控软件模拟外界扰动与参数不确定性。相应的实验情况具体如下：通过工控机设置控制器，且计算确定参数，CAN 总线进行数据通信，针对伺服电机进行控制。检测伺服电机的状态变量，形成相应的偏差。然后根据控制目标而确定出控制量，据此满足控制要求。